第五章-基本图像变换优秀PPT.ppt

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1、长安大学地测学院长安大学地测学院1/85第五章 基本图像变换v本章实质:频率域变换v重中之重:傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院2/85第5章 图象变换基础 为了有效和快速地对图象进行处理，常常为了有效和快速地对图象进行处理，常常 须要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换须要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质便利地进行确定的加工，最终再转换回图象空间便利地进行确定的加工，最终再转换回图象空间以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着重介绍和探讨的图象变换技

2、术重介绍和探讨的图象变换技术 变换是双向的，或者说须要双向的变换。变换是双向的，或者说须要双向的变换。在图象处理中，一般将从图象空间向其他空间的在图象处理中，一般将从图象空间向其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称为反变换或逆变换变换称为反变换或逆变换 长安大学地测学院长安大学地测学院3/85第5章 图象变换基础5.1 可分别和正交图象变换5.2 傅里叶变换 5.3 沃尔什/哈达玛变换 5.4 离散余弦变换5.5 Radon变换长安大学地测学院长安大学地测学院4/855.1 可分别和正交图象变换v分别变换目的:简化计算,长安大学地测

3、学院长安大学地测学院5/855.1 可分别和正交图象变换1-D1-D可分别变换可分别变换正变换正变换反变换反变换 正向变换核反向变换核长安大学地测学院长安大学地测学院6/855.1 可分别和正交图象变换2-D2-D可分别变换可分别变换（傅里叶变换是一个例子）（傅里叶变换是一个例子）反向变换核正向变换核变换核与原始函数及变换后函数无关长安大学地测学院长安大学地测学院7/85可分别可分别1 1个个2-D2-D变换分成变换分成2 2个个1-D1-D变换变换对称对称 (h1 (h1与与h2h2的函数形式一样的函数形式一样)5.1 可分别和正交图象变换长安大学地测学院长安大学地测学院8/85可分别且对称

4、可分别且对称 图象矩阵对称变换矩阵反变换矩阵变换结果5.1 可分别和正交图象变换反变换反变换完全复原不完全复原长安大学地测学院长安大学地测学院9/85正交正交考虑变换矩阵：考虑变换矩阵：酉矩阵（酉矩阵（*代表共轭代表共轭 ）：）：假如假如A A为实矩阵，且：为实矩阵，且：则则A A为正交矩阵，为正交矩阵，式式(5.1.3)(5.1.3)和式和式(5.1.4)(5.1.4)构成正交变换对构成正交变换对 5.1 可分别和正交图象变换长安大学地测学院长安大学地测学院10/855.2傅里叶变换5.2.1 2-D傅里叶变换 5.2.2 傅里叶变换定理 5.2.3 快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地

5、测学院11/855.2傅里叶变换周期为 的周期函数用一系列三角函数 的和来表示为:这种绽开称为谐波分析。其中，为直流重量，为一次谐波（又做基波），而 依次称为二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数（三角级数）傅里叶级数（三角级数）长安大学地测学院长安大学地测学院12/855.2 傅里叶变换若函数若函数 以以为为周期的光滑或分段光滑函数，即周期的光滑或分段光滑函数，即为为将将绽开为傅里叶级数绽开为傅里叶级数长安大学地测学院长安大学地测学院13/855.2傅里叶变换欧拉公式欧拉公式:长安大学地测学院长安大学地测学院14/855.2 傅里叶变换+复数形式的傅里叶级数长安大学地测学院长安大学地测学院15/

6、855.2 傅里叶变换傅里叶绽开的复数形式上式的物理意义为上式的物理意义为:一个周期为一个周期为2l 的函数的函数 可以分解可以分解为频率为为频率为，复振幅为，复振幅为 的复简谐波的叠加的复简谐波的叠加 称为谱点，称为谱点，全部谱点的集合称为谱对于周期函数全部谱点的集合称为谱对于周期函数 而言，谱是离散的而言，谱是离散的长安大学地测学院长安大学地测学院16/855.2 傅里叶变换傅里叶变换对(三种):(1)(1)(2)(2)(3)(3)三者之间的关系:长安大学地测学院长安大学地测学院17/855.2傅里叶变换傅里叶谱（频谱，幅度）傅里叶相位角傅里叶功率谱长安大学地测学院长安大学地测学院18/8

7、55.2 傅里叶变换v傅立正反变换对是怎么确立的？假设非周期函数假设非周期函数 是一个周期函数是一个周期函数 的周期的周期 时的极限状况。由此，时的极限状况。由此，的傅里叶级数绽开式的傅里叶级数绽开式在在 时的极限形式就是所要找寻的非周期函数时的极限形式就是所要找寻的非周期函数 的傅里叶绽开的傅里叶绽开长安大学地测学院长安大学地测学院19/855.2傅里叶变换 设不连续的参量设不连续的参量 则傅立叶级数写为：则傅立叶级数写为：傅里叶系数为傅里叶系数为长安大学地测学院长安大学地测学院20/855.2傅里叶变换 对于系数对于系数，若，若 有限，则有限，则 对于余弦部分：对于余弦部分：当当，不连续参

8、变量，不连续参变量 变为变为 连续参量，以符号连续参量，以符号 代替对代替对 的求和变为对连续参量的求和变为对连续参量 的积分。的积分。长安大学地测学院长安大学地测学院21/855.2傅里叶变换同理可得正弦部分同理可得正弦部分长安大学地测学院长安大学地测学院22/855.2傅里叶变换若令若令则傅里叶变换可表示为：长安大学地测学院长安大学地测学院23/855.2 傅里叶变换由欧拉公式得：反变换反变换长安大学地测学院长安大学地测学院24/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换 1-D正变换对1个连续函数 f(x)等间隔采样长安大学地测学院长安大学地测学院25/855.2.1 2-D傅里叶变换傅

9、里叶变换 1-D反变换 变换表达频谱（幅度）相位角长安大学地测学院长安大学地测学院26/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换 二维傅里叶变换频谱（幅度）相位角功率谱 长安大学地测学院长安大学地测学院27/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换傅里叶频谱图，就是图像梯度的分布图。（事实上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小 长安大学地测学院长安大学地测学院28/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换v频率域v由傅立叶变换和频率变量(u,v)定义的空间v基本性质v（1）变更最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度v（2）低频（原点旁边）对应

10、图像灰度变更慢的像素v（3）高频（远离原点）对应图像灰度变更快的像素长安大学地测学院长安大学地测学院29/855.2.1 2-D傅里叶变换傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院30/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 0、分别性质 1次2-D 2次1-D O(N 4)减为O(N 2)长安大学地测学院长安大学地测学院31/851 1、平移定理、平移定理 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 长安大学地测学院长安大学地测学院32/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理2、旋转定理、旋转定理借助极坐标：表明：表明：对 旋转 对应于将其傅里叶变换 也旋转。反之亦然。长安大学地测

11、学院长安大学地测学院33/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理v旋转定理示例旋转定理示例例5.2.3长安大学地测学院长安大学地测学院34/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理3、尺度定理(相像定理)u原函数在幅度方面变更导致对其傅里叶变换在幅度方面产生对应的尺度变更。u原函数在空间尺度方面的缩放导致对其傅立叶变换在频域方面的相反缩放。长安大学地测学院长安大学地测学院35/855.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理v尺度定理例5.2.4长安大学地测学院长安大学地测学院36/854 4、剪切定理、剪切定理（水平方向）纯剪切 （垂直方向）纯剪切 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换

12、定理 图5.2.5(a)与(b)长安大学地测学院长安大学地测学院37/855 5、组合剪切定理、组合剪切定理平移旋转尺度 水平剪切 垂直剪切 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 图5.2.5长安大学地测学院长安大学地测学院38/856 6、仿射定理、仿射定理u=(eu dv)/D D和和v=(bu+av)/D D 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 长安大学地测学院长安大学地测学院39/857 7、卷积定理、卷积定理 2-D2-D 5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 u两函数在空间的卷积与其傅立叶变换在频率域的乘积构成一对变换u两函数在空间的乘积与其傅里叶变换在频率域的卷积构

13、成一对变换长安大学地测学院长安大学地测学院40/858、相关定理相互关：f(x)与g(x)不是同一个函数 自相关：f(x)=g(x)2-D5.2.2 傅里叶变换定理傅里叶变换定理 长安大学地测学院长安大学地测学院41/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换干脆进行一个N N的2-D傅里叶变换须要N4次复数乘法运算和N2(N2 1)次复数加法运算1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2 快速傅里叶变换（FFT）：将复数乘法和加法的次数削减为正比于N log2N 逐次加倍法：复数乘法次数由N2削减为(N log2 N)/2 复数加法次数由N2削减为N log2 N 长安大学地测学院长安大学地

14、测学院42/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换 考察一维有限长序列x(n)(0=n=N-1)的傅立叶变换：或记为或记为Wn，Wn-1长安大学地测学院长安大学地测学院43/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换计算困难性：一个频率重量需计算困难性：一个频率重量需N N次乘法，次乘法，N-1N-1次加法次加法 整个变换需整个变换需N2N2次乘法，次乘法，N(N-1)N(N-1)次加法次加法矩阵表示矩阵表示：长安大学地测学院长安大学地测学院44/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换结论：系数多数相同，且具有对称性结论：系数多数相同，且具有对称性例：例：N=4最小无重最小无重复

15、运算复运算N=4长安大学地测学院长安大学地测学院45/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换N点的点的DFT转化转化为两个求为两个求N/2点的点的DFT 1965 1965年，年，库利库利-图基图基提出把原提出把原始的始的N N点序点序列依次分列依次分解成一系解成一系列短序列，列短序列，削减乘法削减乘法运算运算长安大学地测学院长安大学地测学院46/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院47/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院48/85X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)-1-1-1-11111X(0)X(

16、1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)N/2点点DFTN/2点点DFTX1(0)X1(1)X1(3)X1(2)5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院49/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院50/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院51/85完整的蝶形图如下页：完整的蝶形图如下页：5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院52/855.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安

17、大学地测学院长安大学地测学院53/85时间困难性：Nlog2N留意：输出X(m)是以m从小到大排列，而输入序列x(n)不是以n从小到大排列。接受码位倒序法排序：将自然依次数转换成二进制数，然后首尾位倒序，再转换成十进制数，那么十进制数就是输入序列中的位置。如：N=8X(3)的位置是：011110(6)5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院54/85二维FFT逆逆FFT5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院55/85v傅立叶变换留意的问题v 两个缺点：v (1)要进行复数运算，计算比较费时v 好用中还接受如沃尔什(Walsh)变

18、换等。v (2)很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清晰。v 解决方法：5.2.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换长安大学地测学院长安大学地测学院56/855.3沃尔什/哈达玛变换5.3.1 沃尔什变换 5.3.2 哈达玛变换 5.3.3 关于两种变换的探讨沃尔什和哈达码变换都是可分别和正交变换 长安大学地测学院长安大学地测学院57/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换核正变换核N=2nbk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位如 n=3对 z=6（1102）有 b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1对 z=2（102）有 b0(z)=?，b1(z)=?，b2(z)=?长安大学地测

19、学院长安大学地测学院58/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换N=4N=4和和8 8时的沃尔什变换核时的沃尔什变换核长安大学地测学院长安大学地测学院59/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换正变换变换核组成的矩阵是一个对称矩阵 并且其行和列正交（反变换核与 正变换核只差1个常数1/N）反变换核反变换核反变换反变换长安大学地测学院长安大学地测学院60/852-D沃尔什变换正反 5.3.1 沃尔什沃尔什变换变换长安大学地测学院长安大学地测学院61/852-D2-D沃尔什变换核：可分别且对称沃尔什变换核：可分别且对称 都可分成两步计算都可分成两步计算,每步计算用每步计算用1D1D变换实现变换实

20、现5.3.1 沃尔什沃尔什变换变换正变换核反变换核长安大学地测学院长安大学地测学院62/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换v沃尔什变换中,正向变换核与反向变换核只依靠于x,y,u,v，而与f(x,y)或W(u,v)的值无关。这些核可看一组基本函数，一旦图像尺寸确定，这些函数也就完全确定。N=4时的二维沃尔什变换图5.3.1长安大学地测学院长安大学地测学院63/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换长安大学地测学院长安大学地测学院64/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换v离散傅里叶变换是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大；v沃尔什变换矩阵的系数是1或是1，只须要

21、运用加法即可实现，计算困难度小；v离散傅立叶转换相当于把信号拆解成在不同频率的正弦函数与余弦函数的重量，而运用沃尔什转换相当于把信号拆解成在很多不同震荡频率的方波上，因此，除非所要分析的信号拥有类似方波组合的特性，否则沃尔什转换作频谱分析的效果会比运用离散傅立叶转换分析的效果要差，这是降低运算困难度所要付出的代价。长安大学地测学院长安大学地测学院65/855.3.1 沃尔什沃尔什变换变换沃尔什变换具有某种能量集中。而且原沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始数据中数字越是匀整分布，经变换后的始数据中数字越是匀整分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔

22、什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。变换快。长安大学地测学院长安大学地测学院66/85正变换核正变换核bk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位指数上的求和以2为模正变换正变换5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换N=8时，哈达玛变换核表5.3.2长安大学地测学院长安大学地测学院67/85反变换核反变换核反变换核与正变换核只差1个常数1/N反变换反变换用于正变换的算法也可用于反变换5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换长安大学地测学院长安大学地测学院68/852-D变换核变换核2-D变换对变换对5.3.2 哈达玛哈达玛变换变换长安大学地测学院长安大学地测学院6

23、9/855.3.2 哈达玛哈达玛变换变换v二维哈达玛变换（正变换和反变换）都可分成两个步骤计算，每个步骤用一个1维变换实现。长安大学地测学院长安大学地测学院70/855.3.3 关于两种变换的探讨关于两种变换的探讨v两种变换核里的数值都是1和-1，但是在行列的秩序上两者有所不同。（下页说明）v在绝大多数图像变换应用中，常混合运用沃尔什变换和哈达玛变换，所以被统称为“沃尔什哈达玛”变换，通常用来指两者中的随意一个。长安大学地测学院长安大学地测学院71/85 阶（序）阶（序）列中符号变换的次数表中8列的序依次为0，7，3，4，1，6，2，5随 u 增加而序也增加 的哈达玛变换核5.3.3 关于两种

24、变换的探讨关于两种变换的探讨对比表5.3.2与表5.3.3长安大学地测学院长安大学地测学院72/85N=8 N=8 时经过排序的时经过排序的1-D1-D哈达玛变换核的值哈达玛变换核的值行和列都满足序单增的条件行和列都满足序单增的条件 5.3.3 关于两种变换的探讨关于两种变换的探讨长安大学地测学院长安大学地测学院73/85哈达玛矩阵的迭代哈达玛矩阵的迭代便利地获得变换矩阵便利地获得变换矩阵5.3.3 关于两种变换的探讨关于两种变换的探讨同样适合于哈达玛反变换长安大学地测学院长安大学地测学院74/85沃尔什变换和哈达玛变换比较沃尔什变换和哈达玛变换比较可分别且对称，正反变换核相同可分别且对称，正

25、反变换核相同行列正交（即各行向量与各列向量的行列正交（即各行向量与各列向量的内积为内积为0 0）沃尔什变换特点沃尔什变换特点有快速算法（类似快速傅里叶变换）有快速算法（类似快速傅里叶变换）哈达玛变换特点哈达玛变换特点有迭代性质有迭代性质5.3.3 关于两种变换的探讨关于两种变换的探讨长安大学地测学院长安大学地测学院75/85一种可分别、正交、对称的变换一种可分别、正交、对称的变换1-D1-D离散余弦变换（离散余弦变换（DCTDCT）5.4 离散余弦变换长安大学地测学院长安大学地测学院76/852-D2-D离散余弦变换（离散余弦变换（DCTDCT）图图5.4.2N=45.4.2N=4时时2D2D

26、的的DCTDCT基本函数基本函数+可分别性和对称性可分别性和对称性 5.4 离散余弦变换长安大学地测学院长安大学地测学院77/855.4 离散余弦变换长安大学地测学院长安大学地测学院78/85原始图像原始图像 傅立叶变换傅立叶变换离散余弦变换离散余弦变换 沃尔什变换沃尔什变换5.4 离散余弦变换长安大学地测学院长安大学地测学院79/855.4 离散余弦变换v可借助离散傅里叶变换的实部计算来进行（公式5.4.6)v可削减图像分块边界处的间断，在图像压缩中（特殊是JPEG标准）中得到广泛应用。v与傅立里变换一样都定义在整个空间，随意变换域点都要用到全部原始数据的信息，被认为是全局基本函数。长安大学

27、地测学院长安大学地测学院80/855.5 Radon变换变换vRadon(拉东)变换是投影重建（第9章）的基础。长安大学地测学院长安大学地测学院81/855.5 Radon变换变换radon变换大致可以这样理解：一个平面内沿不同的直线（直线与原点的距离为p，方向角为）对f（x，y）做线积分，得到的像F(p,)就是函数f 的Radon变换。长安大学地测学院长安大学地测学院82/855.5 Radon变换变换v也就是说，平面（p，）的每个点的像函数值对应了原始函数的某个线积分值。v直观的理解是，假设你的手指被一个很强的平行光源透射，你迎着光源看到的手指图像就是手指的光衰减系数的三维Radon变换在给定方向（两个角坐标）的时候的值，v最简洁而干脆的应用就是拿来检测图像里面含有的直线成分，因为，任何直线都会导致Randon像在该直线对应（p，）处的极值。长安大学地测学院长安大学地测学院83/855.5 Radon变换变换vf(x,y)的2-D傅里叶变换与f(x,y)先进行Radon变换后再进行1-D傅里叶变换得到结果相等。式5.5.3对f(x,y)沿固定角度 的投影的1-D傅里叶变换是f(x,y)的2-D傅里叶变换中的一层，而且这层在傅里叶空间由角度所确定。长安大学地测学院长安大学地测学院84/85本章结束本章结束作业：深化学习傅里叶变换的特点。自学快速离散傅立叶变换的原理。