一元函数积分学(定积分概念性质).ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.2 3.2 定积分定积分高等数学高等数学A A3.2.1 3.2.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 变速直线运动的路程变速直线运动的路程3.2.2 3.2.2 定积分的概念定积分的概念3.2.3 3.2.3 定积分的简单性质定积分的简单性质 中值定理中值定理第第3 3章章 一元函一元函数积分数积分学学3.2 3.2 定积分定积分定定积积分分的的概概念念与与性性质质3.2.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念定积分的概念3.2.3 定积分的简单性质定积分的

2、简单性质中值定理中值定理定积分的概念习例定积分的概念习例1-3 定积分的性质习例定积分的性质习例4-8 定积分的几何意义定积分的几何意义 本节内容小结本节内容小结 abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）思考方法思考方法:利用利用“矩形面积矩形面积=底底 高高”.一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演

3、示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边三角形面积的关系矩形面积和与曲边三角形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为全过程为：分割、近似求和、取极限全过程为：分割、近似求和、取极限.实例实例2 2 （求变速直线运动的路程（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间

4、的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值注意注意:上述两例的共同点上述两例的共同点(1)所求量与一个函数及区间有关所求量与一个函数及区间有关.(2)变与不变的矛盾变与不变的矛盾.(3)处理方法一样处理方法一样:分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限.(4)结果一样结果一样:都是同一形式的和式的极限都是同一形式的和式的极限.1.定义定义二、二、定积分的概念、定积分的几何意义定积分的概念、定积分的几何意义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记

5、为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：如果存在如果存在,它就是一个它就是一个确定的数值确定的数值!如如Dirichlet函数的讨论函数的讨论.若定积分存在若定积分存在,则可用特殊的区间分法和点的取法则可用特殊的区间分法和点的取法来计算定积分来计算定积分.(7)定积分的存在性有以下两个定理定积分的存在性有以下两个定理(不加证明不加证明)定理定理1 定理定理2(8)定积分是一个构造性的定义定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单可利用定义求一些简单函数的定积分函数的定积分;同时可利用定义求同时可利用定义求n项和的极限项和的极限.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的

6、负值曲边梯形的面积的负值2.定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 例例2 例例3 3.定积分的概念习例定积分的概念习例解解例例 1 例例2 解解例例3 解解xyo12证证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 1三、三、定积分的简单性质定积分的简单性质中值定理中值定理(定积分对积分区间具有可加性定积分对积分区间具有可加性)证证 性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证 性质性质4

7、 4性质性质5 5性质性质5 5的推论的推论1 1：证证 （1）证证 说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论的推论2 2：（2）证证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6证证 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：例例 6 例例 7 例例 8 定积分的性质习例定积分的性质习例解解令令于是于是解解例例 6解解例例 7 解解注意注意:这样证明正确吗？这样证明正确吗？例例 8 解解能！能！如图如图.xyo内内 容容 小小 结结.定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限.定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3.定积分的性质定积分的性质