无穷大与无穷小极限性质.ppt

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1、 第二章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 问题问题:根据极限的定义根据极限的定义,只能验证某个常数只能验证某个常数 A A 是是否为某个函数否为某个函数(x x)的极限的极限,而不能求出函数而不能求出函数(x x)的的极限极限.为了解决极限的计算问题为了解决极限的计算问题,下面介绍极限下面介绍极限的运算法则的运算法则.当一、一、无穷小无穷小定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：无穷小 是一个量，和变化过程有关.定理定理定理定理1.1.有界函数与无穷小的乘积

2、是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论.常数与无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1.求求解解:利用定理1 可知二、二、无穷大无穷大定义定义2（直观定义）（直观定义）.若当 时，|f(x)|无限增大，则称函数当时为无穷大,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.例如：任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有 使对正数正数 X,总存在三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理定理2.在自变量的同一变化过程中,机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、

3、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理 4 4 .若若则有推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)定理定理定理定理 5.5.若若且 B0,则有因此有：1、设 n 次多项式则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:1、因为数列是一种特殊的函数,因此定理3,4,5 对数列也是成立的.2、上述定理可推广到有限个情形.2 2、设分式函数、设分式函数其中都是多项式,则 若 x=3 时分母为 0!例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.求例例例例5.5.5.5.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返

4、回 结束 例例例例6 6 6 6.求求解解:分子分母同除以则原式比如比如：例例7.7.=0定理定理7.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则例例例例7.7.求求求求解解:令已知 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例8.8.求求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例9.9.试确定常数试确定常数 a a 使使解解:令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小性质(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法1）对型,约去公因子（有理化，因式分解等）(2)复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）对型，分子分母同除以最高次幂3）对 ，化为 型思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束