第二节抽样分布-仲恺农业工程学院.ppt

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1、第二节第二节 抽样分布抽样分布一一.统计量统计量1.定义定义6.2.1 假定假定 X1，Xn 是来自总体是来自总体X 的的 一组样本，一组样本，g()是一个完全已知的函数，是一个完全已知的函数，则称则称 g(X1，Xn)是一个统计量。是一个统计量。当样本当样本 X1，Xn 有了观察值有了观察值 x1，xn 以后，统计量以后，统计量 g(X1，Xn)的相应的观察值的相应的观察值就是就是 g(x1，xn)。统计量自身带有总体中未知参数的信息，统计量自身带有总体中未知参数的信息，但统计量的表达式中不能出现任何未知的参数。但统计量的表达式中不能出现任何未知的参数。Remark 把样本把样本“加工加工”

2、成统计量，含有成统计量，含有“数据压缩数据压缩”的意的意思思 X1，Xn g(X1，Xn)对于要解决的不同的统计问题，必须构造出对于要解决的不同的统计问题，必须构造出不同的统计量去处理。不同的统计量去处理。例例6.2.1 X1，X2，Xn 是来自总体是来自总体 X N(,02)的一组样本。的一组样本。其中其中 是未知的参数，是未知的参数，02 已知。已知。下面哪些是统计量？相应地又服从是什么分布？下面哪些是统计量？相应地又服从是什么分布？Xk Xk 0 二二.常用的统计量常用的统计量1.表示表示“平均平均”的统计量：的统计量：样本均值、中位数、众数样本均值、中位数、众数2.表示表示“变差变差”

3、的统计量：的统计量：样本方差样本方差(或标准差或标准差)、极差、极差1.1 样本均值样本均值(Sample mean)如两组样本数据：如两组样本数据：2，4，6，8，10 与与 4，5，6，7，8 样本均值都是样本均值都是 6，即平均程度都相同。，即平均程度都相同。反映了样本这组数据的反映了样本这组数据的(算术算术)平均值平均值1.2 样本中位数样本中位数(Median)1.3 众数众数 (Mode)样本按照取值大小排列后居中的那个样本。样本按照取值大小排列后居中的那个样本。例如：例如：n 奇数：奇数：2，1，6，4，3 3 n 偶数：偶数：2，1，6，4，3，7 3+4/2=3.5样本数据中

4、出现次数最多的样本，例如：样本数据中出现次数最多的样本，例如：1，1，3，3，4，2，3，8 3(1).中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时 常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。Remark(2).样本的众数适用于离散的总体样本的众数适用于离散的总体2.样本方差样本方差(Sample variance)S 称为是样本标准差称为是样本标准差(Standard deviation)，与样本均值量纲相同。反映了样本的离散程度。与样本均值量纲相同。反映了样本的离散程度。如两组样本数据：如两组样本数据

5、：2，4，6，8，10 与与 4，5，6，7，8 样本均值都是样本均值都是 6，但，但 S12=10，S22=2.5；第二组数据相对于均值第二组数据相对于均值 6 更为集中更为集中。(1).极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。(2).对于大多数单峰对称分布，标准差大约对于大多数单峰对称分布，标准差大约 等于极差的四分之一。等于极差的四分之一。(3).大多数情况下，数据基本上落在大多数情况下，数据基本上落在“均值均值2个个 标准差标准差”的区间内，否则这个数据就被认为是的区间内，否则这个数据就被认为是 异常的大异常的大或或异常的小异常的小。在绝大多数情况下

6、，一组正常的数据基本上在绝大多数情况下，一组正常的数据基本上 落在落在“均值均值3个标准差个标准差”的区间内。的区间内。Remark例例6.2.2 关于关于平均值平均值的理解的理解 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖一些极端的情况，一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理所以有时候样本均值不一定合理。思考思考1.甲同学听说，有个身高甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在米的成年人在 平均水深为平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议

7、。米的小河中淹死了，他觉得不可思议。这件事情是否是一个玩笑？这件事情是否是一个玩笑？思考思考2.一位统计学家把一只脚放进一位统计学家把一只脚放进 100 的开水里，的开水里，另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的意义上，我感觉很舒服。意义上，我感觉很舒服。例例6.2.3 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说，乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说，公司平均月薪是公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到元。一个月后乙同学得到 工资工资1000元，据了解，公司共有元，据了解，公司共有21人，和自己人，和自己 职位相同的业务员共有职位相同的

8、业务员共有 10 人，每人的月薪都是人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇元。应该如何理解乙同学的遭遇？总经理总经理 15,000；两个副总经理每人；两个副总经理每人 8,000；3 个部门经理每人个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员每个财务等行政人员每人人 2000；10 个业务员每人个业务员每人 1000。一共一共 21 人，每月支出工资人，每月支出工资 63,000。平均值平均值 3000，中位数，中位数 2000，众数，众数 1000，极差，极差 14,000下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据：下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据：速度速度 km

9、/h数量数量小于小于 70大于大于 18070 18012323 丙同学由此得出结论说：统计数据显示，丙同学由此得出结论说：统计数据显示，在高速公路上，汽车速度越高，也就越安全。在高速公路上，汽车速度越高，也就越安全。实际上绝大多数的汽车行驶速度都在实际上绝大多数的汽车行驶速度都在 70 180，因此发生事故的次数也就多。因此发生事故的次数也就多。例例6.2.4 关于正确解释统计数据关于正确解释统计数据三三.统计学中的三大分布统计学中的三大分布1.卡方分布卡方分布1.1 卡方分布的构造卡方分布的构造 如果如果 X1，Xn 独立同分布于独立同分布于 N(0,1)，则称则称 K2=X12+X22+

10、Xn2 2(n)卡方分布具有卡方分布具有“可加性可加性”X、Y 独立，独立，X 2(n1)，Y 2(n2)则则 X+Y 2(n1+n2)独立标准正态平方和的分布独立标准正态平方和的分布 xokn(x)1.2 卡方分布卡方分布 的上侧分位点的上侧分位点假定假定 X 2(n)，给定：给定：0 1 ，如果一个数如果一个数 c 满足：满足：P X c =，则称这个数则称这个数 c 是自由度是自由度 n 的的 卡方分布卡方分布的上侧的上侧 分位点分位点(数数)，记成，记成 2(n)。2(n)2.t 分布分布2.1 t 分布的构造分布的构造 如果如果 X、Y 独立，并且独立，并且 X N(0,1)，Y 2

11、(n)；则称：则称：服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布，记为分布，记为 T t(n)。独立标准正态与卡方商的分布独立标准正态与卡方商的分布2.2 t 分布的双侧分位点分布的双侧分位点假定假定 X t(n)，给定：给定：0 1 ，如果一个数如果一个数 c 满足：满足：P|X|c =，则称这个数则称这个数 c 是自由度是自由度n 的的 t 分布分布的双侧的双侧 分位点分位点(数数)，记成，记成 t /2(n)。/2 o xtn(x)t/2(n)t/2(n)/2对称分布的双侧对称分布的双侧 分位点就是上侧分位点就是上侧 /2 分位点分位点/2 o x (x)u/2 u/2 /2 记为记为：

12、u /2 如：双侧如：双侧 0.05 分位点分位点 u0.025 =1.96 标准正态分布标准正态分布 N(0,1)的双侧的双侧 分位点分位点3.F 分布分布3.1 F 分布的构造分布的构造 X、Y 独立并且独立并且 X 2(m)，Y 2(n)；则称则称 F=服从自由度服从自由度(m,n)的的 F 分布，分布，记为记为 F F(m,n)X/m Y/n两个独立卡方商的分布两个独立卡方商的分布练习练习6.2.5 如果如果T t(n)，证明证明 T 2 F(1,n)四四.(正态总体正态总体)的抽样分布的抽样分布定理定理6.2.1 样本均值与样本方差的分布样本均值与样本方差的分布 假定假定 X1，X2，Xn 是来自总体是来自总体 X N(,2)的一组简单随机样本；的一组简单随机样本；与与 S2 分别是样本均值与样本方差。分别是样本均值与样本方差。(3)与与 S2 独立。独立。定理定理6.2.2 一个正态总体的抽样分布一个正态总体的抽样分布 对于一个方差未知的正态总体，可以用这个定理对于一个方差未知的正态总体，可以用这个定理来构造区间估计或者检验与期望有关的假设。来构造区间估计或者检验与期望有关的假设。假定假定 X1，X2，Xn 是来自总体是来自总体 X N(,2)的一组简单随机样本；的一组简单随机样本；与与 S2 分别是样本均值与样本方差。分别是样本均值与样本方差。则有：则有：