第三章-平面力系的合成与平衡.ppt

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1、第三章平面力系的合成与平衡第三章平面力系的合成与平衡1243 35第一节平面汇交力系第一节平面汇交力系第二节平面力偶系第二节平面力偶系第三节平面一般力系第三节平面一般力系第四节平面平行力系第四节平面平行力系第五节物体系统的平衡第五节物体系统的平衡返回第三章平面力系的合成与平衡第三章平面力系的合成与平衡教学教学:通过本章内容的学习，掌握力在坐标轴上的投影原理，掌握平面汇通过本章内容的学习，掌握力在坐标轴上的投影原理，掌握平面汇交力系、平面力偶系、平面一般力系、平面平行力系的合成与平衡条件，交力系、平面力偶系、平面一般力系、平面平行力系的合成与平衡条件，掌握物体系统的平衡条件。掌握物体系统的平衡条

2、件。能力能力:1.理解合力投影定理，能熟练计算力在坐标轴上的投影。理解合力投影定理，能熟练计算力在坐标轴上的投影。2.能用几何法和解析法求解平面汇交力系的合力。能用几何法和解析法求解平面汇交力系的合力。3.能根据力偶的等效性求解平面力偶的合成结果。能根据力偶的等效性求解平面力偶的合成结果。4.能对平面一般力系简化结果进行讨论。能对平面一般力系简化结果进行讨论。5.能列出平面一般力系的平衡方程。能列出平面一般力系的平衡方程。6.能利用平衡方程求解支座的约束反力。能利用平衡方程求解支座的约束反力。下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力

3、系称为平力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到平面汇交力系。例如在施工中吊车的吊面汇交力系。在工程中经常遇到平面汇交力系。例如在施工中吊车的吊钩所受各力就构成一平面汇交力系，如钩所受各力就构成一平面汇交力系，如图图3-1所示。所示。一、力在平面直角坐标轴上的投影一、力在平面直角坐标轴上的投影如如图图3-2所示，设力所示，设力F作用在物体上某点作用在物体上某点A处，用处，用AB表示。通过力表示。通过力F所在所在的平面的任意点的平面的任意点O作直角坐标系作直角坐标系xOy。从力。从力F的起点的起点A及终点召分别作垂及终点召分别作垂直于直于x轴的垂

4、线，得垂足轴的垂线，得垂足a和和b，并在，并在x轴上得线段轴上得线段ab，线段，线段ab的长度加的长度加以正负号称为力以正负号称为力F在在x轴上的投影，用轴上的投影，用X表示。同理可以确定力表示。同理可以确定力F在在y轴上轴上的投影为线段的投影为线段a1b1,用用Y表示。表示。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向一致时，力的投影取当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值，反之，当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向相反时，正值，反之，当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值

5、。从图力的投影取负值。从图3-2中的几何关系得出，力在某轴上的投影，等于中的几何关系得出，力在某轴上的投影，等于力的大小乘以该力与该轴正向间夹角的余弦，即力的大小乘以该力与该轴正向间夹角的余弦，即式中，式中，为力为力F与与X轴所夹的锐角，轴所夹的锐角，90时力在时力在x轴上的投影值为正，轴上的投影值为正，90时力在时力在x轴上的投影值为负，轴上的投影值为负，90时力在时力在x轴上的投影等于零。轴上的投影等于零。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系由式由式(3-1)可知：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；当力可知：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；当力与坐标轴

6、平行时，力在该轴上投影的绝对值与该力的大小相等。与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值与该力的大小相等。如果已知力如果已知力F的大小及方向，就可以用式的大小及方向，就可以用式(3-1)方便地计算出投影方便地计算出投影X和和Y；反之，如果已知力反之，如果已知力F在在x轴和轴和y轴上的投影轴上的投影X和和Y，则由图，则由图3-2中的几何中的几何关系关系，可用式可用式(3-2)确定力确定力F的大小和方向的大小和方向。式中，式中，为力为力F与与x轴所夹的锐角，力轴所夹的锐角，力X的具体方向可由的具体方向可由X、Y的正负号确的正负号确定。定。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系此外，

7、必须要注意的是，不能将力的投影与分力两个概念混淆，分力是此外，必须要注意的是，不能将力的投影与分力两个概念混淆，分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。力在平面直角坐标轴上的投影矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。【例例3-1】已知力已知力F1=100V,F2=50V,F3=80V,F4=60V，各力的方向如，各力的方向如图图3-3所示，试求各力在所示，试求各力在x轴和轴和y轴上的投影。轴上的投影。【解解】F1的投影：的投影：X1=0 Y1=100NF2的投影：的投影：X2=

8、F2cos45=50 X 0.707=35.36(N)Y2=F2sin45=50 X 0.707=35.36(N)上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系F3的投影的投影:X3=-F3cos30=-80 X 0.866=-69.28(N)Y3=F3sin30=80 X 0.5=40(N)F4的投影的投影:X4=-F4cos60=-60X0.5=-30(N)Y4=-F4sin60=-60X0.866=-51.96(N)二、合力投影定理二、合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。合力在任一轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合

9、力投影定理。这就是合力投影定理。如如图图3-4(a)所示，设有一平面汇交力系所示，设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的作用在物体的O点。点。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系从任一点从任一点A作力多边形作力多边形ABCD。在其平面内任取一坐标轴。在其平面内任取一坐标轴x，则各分力及，则各分力及合力在合力在x轴上的投影轴上的投影X1,X2,X3,X4，由图，由图3-4(b)可知可知 X1=-ab,X2=bc，X3=cd，XR=ad而而 ad=-ab十十bc十十cd所以所以 XR=X1十十X2十十X3三、用几何法求平面汇交力系的合力三、用几何法求平面汇交力系的合力1

10、.两个汇交力的合成两个汇交力的合成如如图图3-5(a)所示，设在物体上作用有汇交于所示，设在物体上作用有汇交于A点的两个力点的两个力F1和和F2，根据，根据力的平行四边形法则可求得合力力的平行四边形法则可求得合力R。用作图法求合力矢量时，可以不作。用作图法求合力矢量时，可以不作图图3-5(a)所示的力的平行四边形，而采用作力三角形的方法得到。所示的力的平行四边形，而采用作力三角形的方法得到。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系做法是做法是:选取适当的比例尺表示力的大小，按选定的比例尺依次作出两个选取适当的比例尺表示力的大小，按选定的比例尺依次作出两个分力矢量分力矢量F1和和

11、F2，并使二矢量首尾相连。再从第一个矢量的起点向另一，并使二矢量首尾相连。再从第一个矢量的起点向另一矢量的终点引矢量矢量的终点引矢量R，它就是按选定的比例尺所表示的合力矢量，如图，它就是按选定的比例尺所表示的合力矢量，如图3-5(b)所示。上述方法又称为力的三角形法则。所示。上述方法又称为力的三角形法则。我们可以利用几何关系计算出合力我们可以利用几何关系计算出合力R的大小和方向。如果给定两个分力的大小和方向。如果给定两个分力F1和和F2的大小及它们之间的夹角的大小及它们之间的夹角，应用余弦定理，如图，应用余弦定理，如图3-5(b)所示，所示，可求得合力可求得合力R的大小为的大小为再用正弦定理确

12、定合力再用正弦定理确定合力R与分力与分力F1的夹角的夹角:上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系 2.多个汇交力的合成多个汇交力的合成如图如图3-6所示，设作用于物体上所示，设作用于物体上A点的力点的力X1,X2,X3,X4组成平面汇交力组成平面汇交力系，现求其合力。系，现求其合力。应用力的三角形法则，首先将应用力的三角形法则，首先将F1和和F2合成得合成得R1，然后把，然后把R1与与F3合成得合成得R2，最后将，最后将R2与与F4合成得合成得R，力，力R就是原汇交力系就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，的合力，图图3-6 (b)所示即是此汇交力系合成的几何示意图，矢

13、量关系的数学表达所示即是此汇交力系合成的几何示意图，矢量关系的数学表达式为式为 R=F1+F2+F3+F4实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和和R2，只要按照，只要按照一定的比例尺将表达各力矢量的有向线段首尾相接，就形成一个不封闭一定的比例尺将表达各力矢量的有向线段首尾相接，就形成一个不封闭的多边形，如图的多边形，如图3-6(c)所示。所示。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系然后再画一条从起点指向终点的矢量然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图，即为原汇交力系的合力，如图3-6 (d)所

14、示。这种由各分力和合力构成的多边形所示。这种由各分力和合力构成的多边形abcd。称为力多边形。称为力多边形。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点，这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法。通过汇交点，这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法。上述方法可以推广到包含上述方法可以推广到包含n个力的平面汇交力系中，得出结论如下个力的平面汇交力系中，得出结论如下:平面平面汇交力系合成的最

15、终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，即分力的矢量和，即由此可见，合力的作用线通过各力的汇交点。由此可见，合力的作用线通过各力的汇交点。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系值得注意的是，作力多边形时，改变各力的顺序，可得不同形状的力多值得注意的是，作力多边形时，改变各力的顺序，可得不同形状的力多边形，但合力矢的大小和方向并不改变。边形，但合力矢的大小和方向并不改变。四、用解析法求平面汇交力系的合力四、用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，可选定直角坐标系求得力系中各力在当平面汇

16、交力系为已知时，可选定直角坐标系求得力系中各力在x、y轴轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在在x、y轴上的投影轴上的投影RX,RY。则合力的大小及方向则合力的大小及方向(合力合力R与与x轴所夹的锐角为轴所夹的锐角为)由下式确定。由下式确定。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系此外，必须注意的是，力的投影是标量。合力此外，必须注意的是，力的投影是标量。合力R的指向由的指向由Rh,R,.的正负的正负号确定。合力的作用线通过原力系的汇交点。号确定。合力的作用线通过原力系的汇交点。例例3-2某平面汇交力系如某平面汇交力系如图图3-7所示，已

17、知所示，已知F1=520 kN,F2=30kN,F3=10 kN,F4=kN，万试求该力系的合力。，万试求该力系的合力。【解解】(1)建立坐标轴系建立坐标轴系xOy为如图所示，计算合力在为如图所示，计算合力在x、y轴上的投影。轴上的投影。RX=X =F1cos30-F2cos60-F3cos45+F4cos45 =20X0.866-30 X 0.5-10 X 0.707+2;X 0.707 =12.93 (kN)RY=Y =F1sin30+F2sin60-F3sin45-F4sin45 上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系=20X0.+30 X 0.866-10 X 0.7

18、07-25X 0.707=11.24(kN)(2)计算合力的大小与方向。计算合力的大小与方向。由于由于X0,艺艺Y0，所以合力，所以合力R指向右上方，作用线通过原汇交力系的指向右上方，作用线通过原汇交力系的汇交点汇交点O如图如图3-7所示。所示。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系五、平面汇交力系平衡的解析条件五、平面汇交力系平衡的解析条件物体在平面汇交力系作用下处于平衡的充分必要条件是物体在平面汇交力系作用下处于平衡的充分必要条件是:合力合力R的大小等的大小等于零，即于零，即式中式中(X)2、(Y)2均为非负数，要使上式成立则要使均为非负数，要使上式成立则要使R=0，即，

19、即上式表明，平面汇交力系平衡的充分和必要的解析条件为：力系中各力上式表明，平面汇交力系平衡的充分和必要的解析条件为：力系中各力的两个坐标轴上投影的代数和均等于零。称为平面汇交力系的平衡方程。的两个坐标轴上投影的代数和均等于零。称为平面汇交力系的平衡方程。这是相互独立的两个方程，所以只能求解二个未知量。这是相互独立的两个方程，所以只能求解二个未知量。上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系解题时未知力指向有时可以预先假设，若计算结果为正值，表示假设力解题时未知力指向有时可以预先假设，若计算结果为正值，表示假设力的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设力的指向与实际的指向就

20、是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设力的指向与实际指向相反。在实际计算中，适当地选取投影轴，可使计算简化。指向相反。在实际计算中，适当地选取投影轴，可使计算简化。下面举例说明平面汇交力系平衡条件的应用。下面举例说明平面汇交力系平衡条件的应用。【例例3-3】简易起重机如简易起重机如图图3-8(a)所示，被匀速吊起的重物所示，被匀速吊起的重物G=20kN，杆，杆件自重、摩擦力、滑轮大小均不计。试求件自重、摩擦力、滑轮大小均不计。试求AB、BC杆所受的力。杆所受的力。【解解】(1)选择研究对象，画其受力图。选择研究对象，画其受力图。AB杆和杆和BC杆是二力杆，不妨假设两杆均受拉力，绳索的拉力杆是

21、二力杆，不妨假设两杆均受拉力，绳索的拉力TBD和重物和重物的重力的重力G相等，所以选择既与已知力有关，又与未知力有关的滑轮犅为相等，所以选择既与已知力有关，又与未知力有关的滑轮犅为研究对象，其受力图如图研究对象，其受力图如图3-8(b)所示。所示。(2)建立坐标轴系狓建立坐标轴系狓O狔如图狔如图3-8(b)所示，列平衡方程所示，列平衡方程上一页 下一页返回第一节第一节 平面汇交力系平面汇交力系求解得到求解得到负号表示受力图中负号表示受力图中SBC的方向与实际相反，在斜杆中实为压力。的方向与实际相反，在斜杆中实为压力。上一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系一、力对点的矩及合力矩定理一、力对

22、点的矩及合力矩定理力对点的矩力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动。力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等机械搬运转动。力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来加以说明。如或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来加以说明。如图图3-9所示，在扳手上加一力所示，在扳手上加一力F，可以使扳手绕螺母的轴线旋转。，可以使扳手绕螺母的轴线旋转。实践经验表明扳手的转动效果不仅与力实践经验表明扳手的转动效果不仅与力F的大小有

23、关，而且还与的大小有关，而且还与O点到力点到力作用线的垂直距离作用线的垂直距离d有关。当有关。当d保持不变时，力保持不变时，力F越大，转动越快。当力越大，转动越快。当力F不变时，不变时，d值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用方向就会发生改变，因此，我们用F与与d的乘积和适当的正负号来表示力的乘积和适当的正负号来表示力F使物体绕使物体绕O点转动的效应。点转动的效应。下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系实践总结出以下规律：力使物体绕某点转动的效果，与力的大小成正比，实践总结出以下规律：力使物体

24、绕某点转动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离与转动中心到力的作用线的垂直距离d成正比，这个垂直距离称为力臂，成正比，这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心转动中心称为力矩中心(简称矩心简称矩心)。力大小与力臂的乘积称为力。力大小与力臂的乘积称为力F对点对点O之矩，简称力矩，记作之矩，简称力矩，记作M。(F)，计算公式为：，计算公式为：式中的正负号可作如下规定式中的正负号可作如下规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。取负号。由由图图3-10可以看出，力对点的矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底可以看出，力对点的矩还可

25、以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的两倍来表示，计算公式为边所构成的三角形的面积的两倍来表示，计算公式为:上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。显然，力矩在下列两种情况下等于零显然，力矩在下列两种情况下等于零:力等于零力等于零;力臂等于零，就是力臂等于零，就是力的作用线通过矩心。力的作用线通过矩心。力矩的单位是牛顿力矩的单位是牛顿米米(Nm)或千牛顿或千牛顿米米(kNm)。【例例3-4】分别计算分别计算图图3-11所示的所示的F1,F2对对

26、O点的力矩。点的力矩。2.合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的作用效应可以用它的合力来代替。作用效应包括移动效平面汇交力系的作用效应可以用它的合力来代替。作用效应包括移动效应和转动效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量。应和转动效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量。由此可得，平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各由此可得，平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各分力对同一点之矩的代数和，这就是平面汇交力系的合力矩定理。分力对同一点之矩的代数和，这就是平面汇交力系的合力矩定理。上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系证明证明:如如图图

27、3-12所示，设物体所示，设物体O点作用有平面汇交力系点作用有平面汇交力系F1,F2其合力为其合力为F。在力系的作用面内取一点在力系的作用面内取一点A，点，点A到到F1,F2合力合力F三力作用线的垂直距离三力作用线的垂直距离分别为分别为d1,d2和和d,以以OA为为x轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，F1,F2合力合力F与二轴的与二轴的夹角分别为夹角分别为1、2、，则：，则：等式两边同时乘以长度等式两边同时乘以长度OA得得:上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系上式表明上式表明:汇交于某点的两个分力对汇交于某点的两个分力对A点的力矩的代数和等于其合力对点的力矩的代数和等于其

28、合力对A点的力矩。点的力矩。上述证明可推广到上述证明可推广到n个力组成的平面汇交力系，即个力组成的平面汇交力系，即:上式就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式。利用合力矩定理可以简上式就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式。利用合力矩定理可以简化力矩的计算。化力矩的计算。二、力偶与力偶矩二、力偶与力偶矩1.力偶力偶在生产实践中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、在生产实践中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上，方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上，如如图图3-13所示。所示。上一

29、页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系由此，得出力偶的定义由此，得出力偶的定义:大小相等、方向相反且不共线的两个平行力称为大小相等、方向相反且不共线的两个平行力称为力偶。用符号力偶。用符号(F,F)表示。两个相反力之间垂直距离表示。两个相反力之间垂直距离d叫力偶臂，如叫力偶臂，如图图3-14所示。两个力的作用平面称为力偶面。所示。两个力的作用平面称为力偶面。2.力偶矩力偶矩力偶矩是用来度量力偶对物体转动效果的大小。它等于力偶中的任一个力偶矩是用来度量力偶对物体转动效果的大小。它等于力偶中的任一个力与力偶臂的乘积。以符号力与力偶臂的乘积。以符号m(F，F)表示，或简写为表示，或简写为m

30、，即，即力偶矩与力矩一样，也是以数量式中正负号表示力偶矩的转向。通常规力偶矩与力矩一样，也是以数量式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定定:若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位和力矩的单位相同，是牛顿力偶矩的单位和力矩的单位相同，是牛顿米米(N m)或千牛顿或千牛顿米米(Nm)。作用在某平面的力偶使物体转动的效应是由力偶矩来衡量的。作用在某平面的力偶使物体转动的效应是由力偶矩来衡量的。上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系力偶的作用效果取决于以下三个要素力偶的作用效果取决于以下三个要素:(1)构成力

31、偶的力的大小。构成力偶的力的大小。(2)力偶臂的大小。力偶臂的大小。(3)力偶的转向。力偶的转向。3.力偶与力偶矩的基本性质力偶与力偶矩的基本性质(1)力偶没有合力，所以不能用一个力来代替，也不能用一个力来与之平力偶没有合力，所以不能用一个力来代替，也不能用一个力来与之平衡。衡。由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在任一轴上的投影，如图任一轴上的投影，如图3-15所示，设力与轴二的夹角为所示，设力与轴二的夹角为，由，由图图3-15可可得得:上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系由此得出，力偶中的

32、二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和由此得出，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，所以力偶对物体只有转动效应，而一个力在一般情况下对物体恒为零，所以力偶对物体只有转动效应，而一个力在一般情况下对物体有移动和转动两种效应。因此，力偶与力对物体的作用效应不同，不能有移动和转动两种效应。因此，力偶与力对物体的作用效应不同，不能用一个力代替，即力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶用一个力代替，即力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平衡。平衡。(2)力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩

33、心位置无关。力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。如力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。如图图3-16所示，所示，一力偶一力偶(F,F)作用于某物体上，其力偶臂为作用于某物体上，其力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩，逆时针转向，其力偶矩为为m=Fd，在该力偶作用面内任选一点，在该力偶作用面内任选一点O为矩心，设矩心与为矩心，设矩心与F的垂直距离的垂直距离为为x。上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系由此力偶对由此力偶对O点的力矩为点的

34、力矩为:(3)同一平面的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这同一平面的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效，称为力的等效性。两个力偶等效，称为力的等效性。三、平面力偶系的合成三、平面力偶系的合成作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。作用在物体上同一作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。其合成的结果为平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。其合成的结果为:平面力平面力偶系可以合成为一个合力偶

35、，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。即和。即上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系若计算结果为正值，则表示合力偶是逆时针方向转动若计算结果为正值，则表示合力偶是逆时针方向转动;若计算结果为负值，若计算结果为负值，则表示合力偶是顺时针方向转动。则表示合力偶是顺时针方向转动。【例例3-5】如如图图3-17所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设F1=200N F2=400N m=150Nm，求其合成的结果。，求其合成的结果。【解解】三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各

36、分力偶矩为三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为合力偶矩合力偶矩上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系因此合力偶矩的大小等于因此合力偶矩的大小等于250Nm，转向为逆时针方向，作用在原力偶，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。系的平面内。四、平面力偶系的平衡条件四、平面力偶系的平衡条件平面力偶系合成的结果只能是一个合力偶，当平面力偶系的合力偶矩等平面力偶系合成的结果只能是一个合力偶，当平面力偶系的合力偶矩等于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩与使物体逆时针方向转动于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物体

37、必处于平衡状态的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物体必处于平衡状态;反之，若合力反之，若合力偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。这样可得到平面力偶系偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。这样可得到平面力偶系平衡的必要和充分条件是平衡的必要和充分条件是:力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即:M=m=0【例例3-6】三铰刚架如图三铰刚架如图3-18所示，求在力偶矩为所示，求在力偶矩为m的力偶作用下，支座的力偶作用下，支座A和和B的约束反力。的约束反力。上一页 下一页返回第二节第二节 平面力偶系平面力偶系【解解】(1)取分离体，作受力图。取三铰刚架为分

38、离体，其上受到力偶及取分离体，作受力图。取三铰刚架为分离体，其上受到力偶及支座支座A和和B的约束反力的作用。由于的约束反力的作用。由于BC是二力杆，支座是二力杆，支座B的约束反力的约束反力NB的作用线应在铰的作用线应在铰B和铰和铰C,的连线上。支座的连线上。支座A的约束反力的约束反力NA的作用线是未的作用线是未知的。考虑到力偶只能用力偶来与之平衡，由此断定知的。考虑到力偶只能用力偶来与之平衡，由此断定N:与与N,:必定组成一必定组成一力偶。即力偶。即NA与与NB平行，且大小相等方向相反，如平行，且大小相等方向相反，如图图3-18所示。所示。(2)列平衡方程，求解未知量。列平衡方程，求解未知量。

39、分离体在两个力偶作用下处于平衡，由力偶系的平衡条件，得分离体在两个力偶作用下处于平衡，由力偶系的平衡条件，得:上一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系在平面力系中，若各力的作用线都处于同一平面内，它们既不完全汇交在平面力系中，若各力的作用线都处于同一平面内，它们既不完全汇交于一点，相互间也不全部平行，此力系称为平面一般力系于一点，相互间也不全部平行，此力系称为平面一般力系(也称为平面任也称为平面任意力系意力系)。平面一般力系是工程中很常见的力系，很多实际问题都可简化。平面一般力系是工程中很常见的力系，很多实际问题都可简化成一般力系问题得以解决。成一般力系问题得以解决。一、力的平移定理一

40、、力的平移定理作用在刚体上的一个力作用在刚体上的一个力F，可以平移到同一刚体上的任一点，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点对新作用点O的矩。这就是称为力的矩。这就是称为力的平行移动定理，简称力的平移定理。的平行移动定理，简称力的平移定理。下面对定理进行论证。首先，设在刚体下面对定理进行论证。首先，设在刚体A点上作用有一力点上作用有一力F，如，如图图3-19(a)所示，然后在刚体上任取一点所示，然后在刚体上任取一点B，现要将力，现要将力F从从A点平移到刚体点平移到刚体B点。点。下一页返回第三节第三节 平面

41、一般力系平面一般力系在召点加一对平衡力系在召点加一对平衡力系F1与与F1，其作用线与力，其作用线与力F的作用线平行，并使的作用线平行，并使F1=F1 =F,如图如图3-19 (b)所示。由加减平衡力系公理知，这与原力系所示。由加减平衡力系公理知，这与原力系的作用效果完全相同，此三力可看做一个作用在召点的力的作用效果完全相同，此三力可看做一个作用在召点的力F1和一个力偶和一个力偶(F,F1)，其力偶矩，其力偶矩m=MB(F)=Fd，如图，如图3-19(c)所示。所示。这表明，作用于刚体上的力可平移至刚体内任一点，但不是简单的平移，这表明，作用于刚体上的力可平移至刚体内任一点，但不是简单的平移，平

42、移时必须附加一力偶，该力偶的矩等于原力对平移点之矩。平移时必须附加一力偶，该力偶的矩等于原力对平移点之矩。根据力的平移定理可说明一个力可以和一个力加上一力偶等效。因此，根据力的平移定理可说明一个力可以和一个力加上一力偶等效。因此，也可将同平面内的一个力和一个力偶合为另一个力。也可将同平面内的一个力和一个力偶合为另一个力。力的平移定理是力系简化的基本依据，不仅是分析力对物体作用效应的力的平移定理是力系简化的基本依据，不仅是分析力对物体作用效应的一个重要手段，而且还可以用来解释一些实际问题。一个重要手段，而且还可以用来解释一些实际问题。上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系二、平

43、面一般力系的简化二、平面一般力系的简化设在物体上作用有平面一般力系设在物体上作用有平面一般力系F1,F2,，Fn ，如，如图图3-20所示。为将所示。为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，根据作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到力的平移定理，将各力全部平移到O点后其就得到一个作用于点后其就得到一个作用于O点的平面点的平面汇交力系汇交力系F1,F2,，Fn和力偶矩为和力偶矩为m1,m2,，mn的附加平面的附加平面力偶系。力偶系。其中平面汇交力系其中平面汇交力系F1,F2,，Fn中各力的大小和方向分别与原中各力的大小和方

44、向分别与原力系中对应的各力相同，即力系中对应的各力相同，即 F1=F1，F2=F2，Fn=Fn各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点的矩，即点的矩，即 m1=MO(F1)，m2=MO(F2)，mn=MO(Fn)上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系由平面汇交力系合成的理论可知，由平面汇交力系合成的理论可知，F1,F2,，Fn可合成为一个可合成为一个作用于作用于O点的力点的力F并称为原力系的主矢量，简称主矢，即并称为原力系的主矢量，简称主矢，即 F=F1+F2+Fn=F1+F2+Fn F=F1=0显然，主矢量并不能代替原力系

45、对刚体的作用，因而它不是原力系的合显然，主矢量并不能代替原力系对刚体的作用，因而它不是原力系的合力。其大小和方向利用合力投影定理计算公式如下力。其大小和方向利用合力投影定理计算公式如下主矢的大小主矢的大小:上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系主矢与主矢与x轴所夹的锐角轴所夹的锐角:F指向由指向由Fx,Fy的正负号判断。附加的平面力偶系可以合成一合力的正负号判断。附加的平面力偶系可以合成一合力偶，并称为原力系向偶，并称为原力系向O点简化的主矩点简化的主矩由此可以得出，平面一般力系向作用内任一点简化的结果是一个力和一由此可以得出，平面一般力系向作用内任一点简化的结果是一个力和一

46、个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和原力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。并等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系此外，必须注意的是，作用于简化中心的力此外，必须注意的是，作用于简化中心的力F一般并不是原力系的合力，一般并不是原力系的合力，力偶矩为力偶矩为MO的力偶也不是原力系的合力偶，只有的力偶也不是原力系的合力偶，

47、只有F与与MO两者相结合才与两者相结合才与原力系等效。原力系等效。三、平面一般力系简化结果的讨论三、平面一般力系简化结果的讨论平面一般力系向作用面内一点简化的结果，一般可得到一主矢和一主矩，平面一般力系向作用面内一点简化的结果，一般可得到一主矢和一主矩，但这并非简化的最后结果，根据主矢和主矩是否存在，有可能出现以下但这并非简化的最后结果，根据主矢和主矩是否存在，有可能出现以下四种情况四种情况:(1)主矢不为零，主矩为零，即主矢不为零，主矩为零，即 F0，MO=0 这种情况下说明作用于简化中心的这种情况下说明作用于简化中心的F即为原力系的合力，作用线通过简即为原力系的合力，作用线通过简化中心。化

48、中心。上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系(2)主矢、主矩均不为零，即主矢、主矩均不为零，即 F0，MO 0这种情况下说明，力系等效于一作用于简化中心这种情况下说明，力系等效于一作用于简化中心O的力的力F和一力偶矩为和一力偶矩为MO的力偶。由力的平移定理知，一个力可以等效地变换成为一个力和一的力偶。由力的平移定理知，一个力可以等效地变换成为一个力和一个力偶，反之也可将一个力和一个力偶等效地变换成为一个力，如个力偶，反之也可将一个力和一个力偶等效地变换成为一个力，如图图3-21所示。所示。将力偶矩为将力偶矩为MO的力偶用两个反向平行力的力偶用两个反向平行力F,F表示，并使表示

49、，并使F和和F等值，等值，共线，使它们构成一平衡力，如图共线，使它们构成一平衡力，如图3-21所示，为保持所示，为保持MO不变，取力臂不变，取力臂d为为将将F和和F这一平衡力系去掉，这样就只剩下力这一平衡力系去掉，这样就只剩下力F与原力系等效。合力与原力系等效。合力F在在O点的哪一侧，由点的哪一侧，由F对对O点的矩的转向与主矩点的矩的转向与主矩MO的转向相一致来确定。的转向相一致来确定。上一页 下一页返回第三节第三节 平面一般力系平面一般力系(3)主矢为零，主矩不为零，即主矢为零，主矩不为零，即 F=0，MO=0 这种情况下说明，平面任意力系中各力向简化中心等效平移后，所得到这种情况下说明，平

50、面任意力系中各力向简化中心等效平移后，所得到的汇交力系是平衡力系，原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合的汇交力系是平衡力系，原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合力偶，该力偶的矩就是原力系相对于简化中心力偶，该力偶的矩就是原力系相对于简化中心O的主矩的主矩MO由于原力系等由于原力系等效于一力偶，而力偶对平面内任意一点的矩都相同，因此当力系简化为效于一力偶，而力偶对平面内任意一点的矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主矩相同。一力偶时，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主矩相同。(4)主矢与主矩均为零，即主矢与主矩均为零，即 F=0，M