线性代数—相似矩阵PPT课件.ppt

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1、第二第二节1.一、相似矩一、相似矩阵的概念和性的概念和性质定定义 对于于n阶方方阵A和和B，若存在若存在n阶可逆可逆方方阵P，使得使得 则称称A与与B 相似相似,记为矩矩阵的的“相似相似”关系具有以下特性：关系具有以下特性：(1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：称性：证(3)(3)传递性：性：证2.相似矩相似矩阵的性的性质：定理定理 相似矩相似矩阵有相同的特征多有相同的特征多项式式,从而特征从而特征值相同相同.证推推论1 相似矩相似矩阵的行列式相等；的行列式相等；推推论2 相似矩相似矩阵的迹相等；的迹相等；推推论3 若矩若矩阵A与一个与一个对角角阵相似相似,3.注意注意:特征特征值相

2、同的矩相同的矩阵不一定相似不一定相似.但它但它们不相似不相似,因因为对任意可逆任意可逆阵P,即与即与 E 相似的矩相似的矩阵只有它自己。只有它自己。相似矩相似矩阵的其它性的其它性质：相似矩相似矩阵的秩相等；的秩相等；若若P,Q为可逆矩可逆矩阵,则有有4.A,B 同同为可逆或不可逆可逆或不可逆,可逆可逆时它它们的逆矩的逆矩阵及伴随矩及伴随矩阵也分也分别相似。相似。只只证(3)，其余，其余证明留作明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6)5.例例1解解另解另解相似矩相似矩阵有相同的特征多有相同的特征多项式，由式，由得得6.计算上面两个行列式，得到算上面两个行列式，得到比比较等式两等式两边 同

3、次同次幂的系数，得的系数，得7.n阶矩矩阵A与一个与一个对角角阵相似的充分必要条件相似的充分必要条件是是A有有n个个线性无关的特征向量。性无关的特征向量。二、矩二、矩阵可相似可相似对角化的条件角化的条件 定理定理 如果一个矩如果一个矩阵能与一个能与一个对角角阵相似相似,称称该矩矩阵可以可以(相似相似)对角化角化。证 必要性：必要性：设A与一个与一个对角角阵相似相似,即存在一个可逆即存在一个可逆阵P,使使8.即即即即即得即得必要性得必要性得证。上述步上述步骤倒倒过来写来写,即得充分性即得充分性证明。明。9.推推论1 如果矩如果矩阵A的特征的特征值互不相同互不相同,则A必可必可对角化角化.因因为属

4、于不同特征属于不同特征值的特征向量是的特征向量是线性无关的性无关的.注意注意:这个个条件是充分的而不是必要的条件是充分的而不是必要的.如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此，此时不一定有不一定有n个个线性性无关的特征向量，从而矩无关的特征向量，从而矩阵A不一定能不一定能对角化；但如角化；但如果能找到果能找到n个个线性无关的特征向量性无关的特征向量,A还是能是能对角化角化 即即齐次次线性方程性方程组 的基的基础解系所含的向量个数等于特征根解系所含的向量个数等于特征根 的重数的重数 。10.解解例例2设求可逆求可逆阵P，11.特征向量特征向量特征向量特征向量12.特征向量特征向量特征向量特

5、征向量特征向量特征向量13.令令则14.解解例例3判断矩判断矩阵 能否能否对角化，若能，角化，若能，特征向量特征向量求可逆求可逆阵P，15.特征向量特征向量可可对角化角化,16.解解只有一个只有一个线性无关的特征向量性无关的特征向量,例例4判断矩判断矩阵 能否能否对角化，若能，角化，若能，所以不能所以不能对角化角化.求可逆求可逆阵P，17.例例5解解得得A的特征的特征值为 18.19.例例6解解20.从而从而A可相似可相似对角化角化.秩秩为1，21.从而从而A不可相似不可相似对角化角化.秩秩为2，22.一般来一般来说，求矩，求矩阵的高次的高次幂比比较困困难，但若矩，但若矩阵A能能对角化，即存在可逆角化，即存在可逆阵P，使得使得 则于是于是转化化为对角角阵求求幂.23.例例7解解设 24.25.END26.