数学人教选修44（A）极坐标系1ppt.ppt

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1、1.2极坐标系2021/8/8 星期日1从这向北从这向北2000米。米。请问：去请问：去?中学怎么走？中学怎么走？2021/8/8 星期日2请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从从这这向向北北走走2 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。基本思想。2021/8/8 星期日3一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内

2、取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO2021/8/8 星期日4二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M的的极坐标。极坐标。

3、特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。2021/8/8 星期日5题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标2021/8/8 星期日6平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定：当当M在极点时，它的极在

4、极点时，它的极坐标坐标=0，可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？2021/8/8 星期日7三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角2021/8/8

5、星期日8题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点2021/8/8 星期日9ABCDEFGOX2021/8/8 星期日10四、四、1、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）负值。（？）对于点对于点M（，）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M2021/8/8 星期日11OXP=/4M四、四、2、负极径的实例、负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐

6、标系中画出点M（3，/4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延的反向延长线上取一点长线上取一点M，使使 OM=32021/8/8 星期日12说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：2021/8/8 星期日13四、四、3、关于负极径的思考、关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确

7、定过程相比较，看看有什么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？2021/8/8 星期日14四、四、4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM=31作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM=3M画出点画出点（3，/4）和（和（3，/4）给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找找到到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负

8、和数值在在这条射线或其反向延长线上描点。这条射线或其反向延长线上描点。M2021/8/8 星期日15四、四、5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成是旋转是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向”。2021/8/8 星期日16负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写

9、出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6，）答：（答：（6，+）或（或（6，+）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。2021/8/8 星期日17五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3，/4）的）的所有极坐标所有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：2极径是负的时候：极径是负的时候：2021/8/8 星期日18六、极坐标系下点与它的极坐标的六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（,）,就可以就可以在在极坐标极坐标平面内确

10、定唯一平面内确定唯一的一点的一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)2021/8/8 星期日19一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.2021/8/8 星期日202.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴关于极轴对称的点是对称的点是()A.(,)B.(,

11、)C.(,)D.(,)CD题组三题组三 1.在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3,)重合重合的点是的点是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)2021/8/8 星期日213.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8,)关关于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ()A.(8,)B.(8,)C.(8,)D.(8,)A2021/8/8 星期日223一点的极坐标有否统一的表达式一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（有。（，2k+）2021/8/8 星期日23作作 业业优化设计优化设计P13 1,2,3,4预习：预习：极坐标与直角坐标的极坐标与直角坐标的互化互化2021/8/8 星期日242021/8/8 星期日25