年上学期北京市清华附中高一数学正弦定理 余弦定理四.ppt

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1、高中数学第一册高中数学第一册(下下)正余弦定理的正余弦定理的应用用(2)(2)三角形中的三角函数问题三角形中的三角函数问题2021/8/8 星期日1 (1)两个定理形式不同，但实质上能相两个定理形式不同，但实质上能相互推出，是等价的互推出，是等价的.在解题中要灵活选用，在解题中要灵活选用，以达到最简便的解题目的以达到最简便的解题目的.(2)两个定理的作用：解斜三角形；实两个定理的作用：解斜三角形；实现边、角两类元素之间的相互转化现边、角两类元素之间的相互转化.2.三角形的性质：三角形的性质：(1)A+B+C=；一、基础知识一、基础知识1.正、余弦定理：正、余弦定理：2021/8/8 星期日22

2、.三角形的性质：三角形的性质：(2)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=cosC;(3)A B sinA sinB.一、基础知识一、基础知识(由正弦定理易证由正弦定理易证)(4)cosA+cosB 0.3.解决三角形问题的依据解决三角形问题的依据:(1)正余弦定理正余弦定理;(2)三角形性质三角形性质;(由余弦定理易证由余弦定理易证)2021/8/8 星期日3一、基础知识一、基础知识3.解决三角形问题的依据解决三角形问题的依据:(3)三角变换三角变换;4.解决三角形问题的关键解决三角形问题的关键:边、角两类元素间的相互转化及解决边、角两类元素间的相互转化及解决三角函数问题的方法的灵活

3、掌握三角函数问题的方法的灵活掌握.特别是要注意体会转化思想的作用特别是要注意体会转化思想的作用.(4)三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质.2021/8/8 星期日4二、典型例题二、典型例题 例例1 ABC中，三条边中，三条边a，b，c依次成等依次成等比数列，化简：比数列，化简：cos(A C)+cos2B+cosB.分分析析：这这是是一一个个三三角角形形中中的的三三角角函函数数问问题题.题题目目给给出出的的是是边边元元素素条条件件，而而待待求求的的是是角角元元素素结结论论，故故解解决决问问题题的的第第一一个个关关键键是是统统一一条条件件与与结结论论中中的的元元素素.考考虑虑到到三三角角公

4、公式式及及三三角角变变形形手手段段的的灵灵活活性性，可可把把条条件与结论中的元素都统一为角元素件与结论中的元素都统一为角元素.即：即：b2=ac sin2B=sinA sinC.2021/8/8 星期日5 例例1 ABC中，三条边中，三条边a，b，c依次成等依次成等比数列，化简：比数列，化简：cos(A C)+cos2B+cosB.分分析析：解解决决问问题题的的第第二二个个关关键键是是统统一一题题目目条条件件与与结结论论中中的的角角和和三三角角函函数数名名称称.观观察察题题目目条条件件与与结结论论式式子子的的结结构构形形式式及及角角与与角角的的关关系系，考考虑虑：把把待待求求结结论论向向已已知

5、知条条件统一件统一.原式原式=1.b2=ac sin2B=sinA sinC.2021/8/8 星期日6例例2 在在ABC中，求证：中，求证：分分析析：由由例例1的的解解题题经经验验，首首先先，我我们必须们必须统一统一题目中的题目中的元素元素：证明三角恒等式的常用证明三角恒等式的常用方法方法有哪些有哪些？(1)从一端向另一端；从一端向另一端；(4)转化恒等式转化恒等式(更一般地：分析法更一般地：分析法).(2)从两端向中间；从两端向中间；(3)比较法；比较法；2021/8/8 星期日7例例2 在在ABC中，求证：中，求证：分分析析：观观察察等等式式两两端端式式子子的的结结构构形形式式及及角角与

6、与角角的的关关系系：式式子子结结构构形形式式较较复复杂杂，且且两两端端的的角角有有单单角角和和复复角角，可可考考虑虑先先化化简简式式子子的的结结构构形形式式并并把把角角统统一一为为A、B(先先转转化恒等式化恒等式).怎样证明本题？怎样证明本题？2021/8/8 星期日8例例2 在在ABC中，求证：中，求证：证明证明:原式原式 原原 式得证式得证.sin2A sin2B=sin(A B)sin(A+B).sin(A B)sin(A+B)=sin2Acos2B cos2Asin2B=sin2A(1 sin2B)(1 sin2A)sin2B=sin2A sin2B.(又采取了从一端向另一端又采取了从

7、一端向另一端)2021/8/8 星期日9解完后，停下来！回顾：解完后，停下来！回顾：(1)解解决决三三角角形形中中的的三三角角函函数数问问题题,首首先应先应统一统一两类元素两类元素依据依据:正余弦定理正余弦定理!解解决决问问题题的的过过程程中中，三三角角公公式式及及三角形性质三角形性质都是重要的解题依据都是重要的解题依据.(2)由由于于三三角角公公式式的的灵灵活活性性和和丰丰富富性性，在在解解决决三三角角形形中中的的三三角角函函数数问问题题时时，常常常常把边元素统一为角元素把边元素统一为角元素.2021/8/8 星期日10 (3)解解决决三三角角函函数数问问题题的的关关键键：做做好好两两个个观

8、观察察，以以便便合合理理选选用用公公式式，统统一一题题目目中中的的角角和三角函数和三角函数名称名称.一一是是观观察察题题目目中中式式子子的的结结构构形形式式;二二是是观察角与角的关系观察角与角的关系.解完后，停下来！回顾：解完后，停下来！回顾：(4)要要注注意意总总结结问问题题的的类类型型和和解解决决问问题题的的一一般般方方法法.如如:化化简简三三角角函函数数式式的的方方法法；证证明明三三角角恒恒等等式式的的方方法法.并并能能利利用用方方法法去去解决同类问题解决同类问题.2021/8/8 星期日11例例2 在在ABC中，求证：中，求证：证明证明:右边右边=思维发散：思维发散：本题还有其它证法吗

9、？本题还有其它证法吗？考虑：考虑：把角元素统一为边元素可以吗？把角元素统一为边元素可以吗？比第一种证法更简洁！比第一种证法更简洁！=左边左边,原原 式得证式得证.2021/8/8 星期日12再一次回顾：再一次回顾：(1)一个解题过程可采用多个解题方法一个解题过程可采用多个解题方法 一解多法！一解多法！(2)一个问题的解法往往不止一个一个问题的解法往往不止一个 一题多解！一题多解！(3)同一类问题的最终解法是一致的同一类问题的最终解法是一致的 多解归一！多解归一！2021/8/8 星期日13例例3 ABC中中,分析分析:仍然是先仍然是先统一元素统一元素:把条件中的元把条件中的元素统一为角元素素统

10、一为角元素:本题是一个本题是一个给值求值给值求值问题问题.回顾此类回顾此类问题的解法：问题的解法：关关键键:观观察察题题目目条条件件与与结结论论中中的的角角和和式式子子的结构形式的结构形式,以以便便统一角统一角和三角函数和三角函数名称名称.(1)条件条件结论；结论；(2)结论结论条件；条件；(3)条件条件中间中间 结论结论.2021/8/8 星期日14 对对本本题题，条条件件较较复复杂杂，而而结结论论较较简简单单，考虑条件向结论靠拢，用考虑条件向结论靠拢，用“方程法方程法”解：解：从从而而A=60,故故2021/8/8 星期日15 例例4 已已知知 O的的半半径径为为R，ABC为为 O的的内内

11、接接三三角角形形，2R(sin2A sin2C)=(a b)sinB，求，求SABC的最大值的最大值.分分析析：要要求求SABC的的最最大大值值，关关键键是是建建立立相相应应的的函函数数表表达达式式.由由于于题题目目给给出出的的是是三三角角函函数数式式的的条条件件，可可考考虑虑建建立立面面积积的的三三角函数表达式角函数表达式.先看如何用条件：先看如何用条件：首首先先要要统统一一条条件件中中的的元元素素.若若考考虑虑把把边元素统一为角元素：边元素统一为角元素：2021/8/8 星期日16 出现了二次式，应考虑降幂出现了二次式，应考虑降幂.但很容但很容易发现，降幂后的式子仍较复杂，进一步易发现，降

12、幂后的式子仍较复杂，进一步变形较困难变形较困难思路受阻！思路受阻！到这儿，应到这儿，应“换一种思路换一种思路”考虑：把考虑：把条件中的元素统一为条件中的元素统一为边边元素元素:符合余弦定理的形式！符合余弦定理的形式！2021/8/8 星期日17再考虑待求结论：再考虑待求结论：由由于于a、b间间关关系系不不明明显显，故故若若想想建建立立关关于于a或或b的的代代数数函函数数表表达达式式较较困困难难！因因此此，再再考考虑虑边边化化角角，建建立立面面积积的的三三角角函函数数表表达达式：式：2021/8/8 星期日18 观观察察上上式式的的结结构构形形式式，联联想想到到两两角角和和与差的余弦公式的与差的

13、余弦公式的变形：变形：时时,2021/8/8 星期日19停下来！回顾：停下来！回顾：(1)数数学学中中的的最最大大值值、最最小小值值问问题题一一般般是是要要建建立立相相应应的的函函数数表表达达式式，把把问问题题转转化为求函数化为求函数最值最值.(2)在在解解决决数数学学问问题题的的过过程程中中要要注注意意总总结结类类型型、方方法法，进进而而形形成成“系系统统”，是是学学习习中中的的重重要要环环节节.但但当当我我们们用用经经验验解解题题思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新.换一种思路！换一种思路！2021/8/8 星期日20小结：小结：1.要要注注意意养养成成

14、解解完完题题善善于于“停停下下来来”的的好好习习惯惯.既既要要注注意意总总结结一一般般的的解解题题方方法法,又又要要注注意意解解题题的的灵灵活活性性一一题题多多解解、一解多法、多解归一！一解多法、多解归一！2.注注意意体体会会转转化化的的思思想想和和函函数数思思想想在解题中的应用在解题中的应用作业2021/8/8 星期日21 ABC中中,4sinBsinC=1,b2+c2 a2=bc,B C.求求A,B,C.巩固练习：巩固练习：解：解：2021/8/8 星期日221.数学之友数学之友T5.22 作业作业作业作业 4.如图，在如图，在 ABC中，中，a、b、c分别为角分别为角A、B、C的对的对边，边，a2+b2 c2=ab，CM是是 ABC外接圆的直径，外接圆的直径，BM=11，AM=2，求，求CM的长的长 3.在在 ABC中中,acos2 +ccos2 =b,求证：求证：a、b、c成等差数列成等差数列 2.ABC中中，sinAcosBsinB=sinCsinAcosC,判断判断ABC的形状的形状.2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日242021/8/8 星期日25