年高考数学一轮复习 11.4 复数精品课件 理 新人教A.ppt

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1、11.4 11.4 复数复数 2021/8/8 星期日1 一一.复数的有关概念复数的有关概念 1.（1）若）若i为虚数单位，规定为虚数单位，规定i2=;实数可以与实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立的加、乘法运算律仍然成立.（2）形如）形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，的数叫做复数，a,b 分别分别叫做复数的叫做复数的 .若若b=0,则复数则复数a+bi为为 ；若若b0，则复数，则复数a+bi为为 ；-1 实部、虚部实部、虚部 实数实数 虚数虚数 考点分析考点分析考点分析考点分析2021/8/8 星期日2 （3）若）若a,

2、b,c,dR，则，则a+bi=c+di的充要条件的充要条件 是是 .（4）若）若a,b,c,dR，则，则a+bi与与c+di为共轭复数的充为共轭复数的充 要条件是要条件是 .2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫）建立直角坐标系来表示复数的平面叫 ，叫做实轴，叫做实轴，叫做虚轴叫做虚轴.（2）复数）复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点建立了与复平面内的点建立了 关系关系.一一对应一一对应 a=c且且b=d a=c且且b=-d 复平面复平面 x轴轴 y轴轴 若若b0，且，且a=0时，则复数时，则复数a+bi为为 .纯虚数纯虚数 2021/8/8 星期日3二二.复数的运算：复数的运算：1

3、.运算法则运算法则设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）z1 z2=(a+bi)(c+di)=.（2）z1z2=(a+bi)(c+di)=.（3）=.(ac)+(bd)i (ac-bd)+(ad+bc)i （4）zmzn=,(zm)n=,(z1z2)n=（其中（其中m,nZ）;zmn 2021/8/8 星期日4（5）=(a+bi)n=;（6）求）求a+bi的平方根的平方根.x2-y2=a ,2.常见的运算规律（1）i的周期性：的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=(nZ);（2）(a+bi)(a-bi)=;（3）（）（1i）2=；求出求出x,y.设

4、设(x+yi)2=a+bi，由，由2xy=b i -1 -i 1 a2+b2 2i 2021/8/8 星期日5（4）=,=;（5）=;（6）b-ai=(a+bi)(-i),-b+ai=(a+bi)i.i i -i 2021/8/8 星期日6复数复数z=+(m2-2m-15)i，求实数，求实数m，使得，使得（1）z是实数；（是实数；（2）z是纯虚数；（是纯虚数；（3）z所对应的所对应的点在复平面的第二象限；（点在复平面的第二象限；（4）z是复数是复数.考点一考点一考点一考点一 复数的基本概念复数的基本概念复数的基本概念复数的基本概念 【分析】【分析】【分析】【分析】根据复数的有关概念的定义，把此

5、复数的根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解条件这一实数问题去求解.题型分析题型分析题型分析题型分析2021/8/8 星期日7 【解析】【解析】【解析】【解析】实部为实部为 =,虚部为虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0 m+30，m=-3或或m=5 m-3.当当m=5时，时，z是实数是实数.(1)要使要使z为实数，则为实数，则 即即 2021/8/8 星期日8 =0 (m+3)(m-5)0,m=-2或或m=3 m-3且且m5,当当m=-2或或m

6、=3时，时，z是纯虚数是纯虚数.（2）要使）要使z为纯虚数，则为纯虚数，则 即即2021/8/8 星期日9（3）由复数）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知知 0,m-3或或-2m5或或m-3.当当m-3时，时，z所对应的点在第二象限所对应的点在第二象限.R (m+3)(m-5)R,当当m-3时，时，z为复数为复数.即即m0 m2-2m-80 得得-2m1或或2m0且且m2-3m-30,m=.)2021/8/8 星期日20考点四考点四考点四考点四 复数代数形式的运算复数代数形式的运算复数代数形式的运算复数代数形式的运算 计算：计算：（1）（2）

7、1+in+i2n+i2 000n(nN).【分析】【分析】【分析】【分析】（1）利用）利用(1i)2=2i这一特点进行运这一特点进行运算算;（2）利用）利用in的周期性计算的周期性计算.2021/8/8 星期日21 【解析】【解析】【解析】【解析】（1）原式）原式=（2）当）当n=4k(kN)时，时，原式原式=1+1+1=2 001；当当n4k(kN)时，时，原式原式=2 001个个2021/8/8 星期日22 【评析】【评析】【评析】【评析】（1）在计算过程中常出现一些比较有特）在计算过程中常出现一些比较有特点的式子点的式子.如（如（1i）2=2i,等，等，要抓住这一特点快速运算要抓住这一特

8、点快速运算.(2)in的运算具有周期性的运算具有周期性.2021/8/8 星期日23已知已知z=1+i.（1）设）设=z2+3z-4,求求；（2）如果）如果 ，求实数，求实数a，b的值的值.对应演练对应演练对应演练对应演练2021/8/8 星期日24（1）z=1+i,=z2+3z-4=(1+i)2+3(1+i)-4=-1-i.（2）由）由 ，把，把z=1+i代入得代入得 (a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i.a+2=1 a=-1 a+b=1 b=2.得得 2021/8/8 星期日25考点五考点五考点五考点五 复数代数形式的综合运用复数代数形式的综合运用复数代数形式的综合运用复数代数形

9、式的综合运用设设z是虚数，是虚数，=z+是实数，且是实数，且-12.(1)求求z的实部的取值范围；的实部的取值范围；(2)设设u=，求证：，求证：u是纯虚数；是纯虚数；(3)求求-u2的最小值的最小值.【分析】【分析】【分析】【分析】本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力应用，考查学生解综合题的能力.2021/8/8 星期日26【解析】【解析】【解析】【解析】(1)设设z=a+bi(a,bR，且，且b0),则则=z+=a+bi+=（a+）+（b-）i.R,b-=0.b0,a2+b2=1.此时此时=2a,又又-12,-12a2 -

10、a1.z的实部的取值范围是（的实部的取值范围是（-,1）.2021/8/8 星期日27(2)(2)证明证明证明证明：u=a（-,1）,b0,a,bR,u为纯虚数为纯虚数.(3)-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3.-a1,a+10.2(a+1)+-32 -3=1.当且仅当当且仅当a+1=，即，即a=0时取时取“=”号，号，故故-u2的最小值为的最小值为1.返回目录返回目录 2021/8/8 星期日28 【评析】【评析】【评析】【评析】本题表面上是考查复数的有关概念，但本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均实质上是借复数的知识考

11、查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力题的能力,是高考改革的方向是高考改革的方向.2021/8/8 星期日29设等比数列设等比数列z1,z2,z3,zn,.其中其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a,bR且且a0).（1）求）求a,b的值；的值；（2）试求使）试求使z1+z2+zn=0的最小自然数的最小自然数n;（3）对（）对（2）中的自然数）中的自然数n,求求z1z2z12的值的值.对应演练对应演练对应演练对应演练2021/8/8 星期日30（1）z1,z2,z3成等比数列，成等比数列，=z1z3

12、,即即(a+bi)2=b+ai,a2-b2+2abi=b+ai,a2-b2=b,2ab=a.解得解得a=,b=.(a0)2021/8/8 星期日31（2）z1=1,z2=+i,公比公比q=+i.于是于是zn=（+i）n-1.z1+z2+zn=1+q+q2+qn-1=0.qn=（+i）n=(-i)n（-+i）n=1.即即n既是既是3的倍数又是的倍数又是4的倍数的倍数.故故n的最小值为的最小值为12.2021/8/8 星期日32（3）z1z2z12=1（+i）（+i）2（+i）11=（+i）1+2+11=(-i)（-+i）66=(-i)66（-+i）66=-1.2021/8/8 星期日33考点六考

13、点六考点六考点六 简单的复数方程简单的复数方程简单的复数方程简单的复数方程（东莞高级中学（东莞高级中学2011届高三上学期届高三上学期11月教学监控测试）月教学监控测试）设关于设关于x的方程是的方程是x2-(tan+i)x-(2+i)=0,若方程有实若方程有实数数根根,求锐角求锐角和实数根和实数根.【分析】【分析】【分析】【分析】以方程为载体以方程为载体,利用复数相等的条件建立利用复数相等的条件建立方方程程,再求解再求解.2021/8/8 星期日34【解析】【解析】【解析】【解析】设实数根为设实数根为x0,则则 -(tan+i)x0-(2+i)=0,-x0tan-2-(x0+1)i=0.x0,

14、tanR,-x0tan-2=0 x0+1=0.x0=-1且且tan=1,又又0 ,=.【评析】【评析】【评析】【评析】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化化,体现了转化思想体现了转化思想.2021/8/8 星期日35z=a+bi,则则z=a-bi(a,bR).(1+2i)(a-bi)=4+3i,(a+2b)+(2a-b)i=4+3i.a+2b=4 2a-b=3,a=2,b=1,z=2+i.已知已知(1+2i)z=4+3i,求求z及及 .对应演练对应演练对应演练对应演练2021/8/8 星期日36 1.1.认清复数的表示形式认清复数的表示形式认清复数的表

15、示形式认清复数的表示形式z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR)R)，分清实部、，分清实部、，分清实部、，分清实部、虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键.2.2.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件的充

16、要条件的充要条件的充要条件.3.3.四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行.4.4.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否还适用否还适用否还适用否还适用.高考专家助教高考专家助教高考专家助教高考专家助教2021/8/8 星期日372021/8/8 星期日38