人教版辽宁省北票市高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列的性质课件 新人教B必修5.ppt

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1、等差数列2021/8/9 星期一1知识回顾知识回顾等差数列 AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是 唯一唯一 的常数。的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都等差数列各项对应的点都在同一条直线上在同一条直线上.2021/8/9 星期一2一、判定题：下列数列是否是等差数列？.9，7，5，3，,-2n+11，；.-1，11，23，35，,12n-13，；.1，2

2、，1，2，；.1，2，4，6，8，10，；.a,a,a,a,，a，；复习巩固：复习巩固：2021/8/9 星期一3(1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第5项是项是(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是 -4an=-5+(n-1).(-4)10二、填空题：二、填空题：简言之“知三求一知三求一”(3)已知已知an为等差数列，为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则，则n=【说明说明】在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中 a1、d、an、n 任知任知 三三 个，个，可求出可求出 另外一个另外一个2021/8/9 星期一4例例1.三数成等差数列，它们的和为三

3、数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为，首尾二数的积为12，求此三数，求此三数.设这三个数分别为设这三个数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6结论结论:三数成等差数列可三数成等差数列可设这三个数分别为设这三个数分别为 a-d a，a+d 四数成等差数列可四数成等差数列可设这四个数分别为设这四个数分别为 a-3d a-d,a+d,a+3d等差数列的性质等差数列的性质2021/8/9 星期一5例例2：已知数列的通项公式为：已知数列的通项公式为an=pn+q，其中其中p,q是常数且是常数且p0，那么这个数列是否一定是，那么这个数列是否一定是等差数

4、列？如果是，其首项与公差分别是什么？等差数列？如果是，其首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看是不是等差数列，只要看是否是一个与是否是一个与n无关的常数无关的常数解：取数列解：取数列an中任意相邻两项中任意相邻两项an与与an-1,它是一个与它是一个与n无关的常数，则这个数列是等差数列。无关的常数，则这个数列是等差数列。且公差为且公差为p,a1=p+q结论结论:数列的通项公式为数列的通项公式为an=pn+q，(其中其中p,q是是常数常数)等价与这个数列是等差数列等价与这个数列是等差数列关于关于n的一次函数的一次函数2021/

5、8/9 星期一6例例3、已知数列、已知数列an,bn都为等差数列，都为等差数列，求证：数列求证：数列an+bn为等差数列为等差数列证法证法1：设：设an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中（其中a1、b1、d1、d2均均为常数）为常数）所以所以an+bn=a1+(n-1)d1+b1+(n-1)d2 =(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)所以所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=(a1+b1)+(n+1-1)(d1+d2)-(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)=d1+d2（常数）（常数）故数列故数列an+bn为等差数列为等差数列问题问题1：通过刚才的证明你能得出

6、数列：通过刚才的证明你能得出数列an+bn的首项和的首项和公差吗？它的首项和公差与数列公差吗？它的首项和公差与数列an,bn的首项和公差的首项和公差有什么关系？有什么关系？2021/8/9 星期一7证法证法2：设：设an=A1n+B1，bn=A2n+B2(其中其中A1,A2,B1,B2为常数）为常数）所以所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2）=（A1+A2）n+（B1+B2）所以所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=（A1+A2）(n+1)+（B1+B2）-（A1+A2）n-（B1+B2）=A1+A2（为常数）（为常数）例例3、已知数列、已知数列an,bn都为等差数列，都为等

7、差数列，求证：数列求证：数列an+bn为等差数列为等差数列思考：（思考：（1）数列）数列an-bn是否为等差数列？若是，首项、是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。公差为多少？若不是，请说明理由。（2）数列）数列pan+qbn（其中（其中p、q为常数）是否为等差数为常数）是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。性质1:若an、bn都是等差数列，且公差分别为d1,d2,(1).则 anbn也是等差数列,且公差为d1d2。(2).则 panqbn也是等差数列,且公差为pd1qd2 2021/8/9 星期一8性

8、质性质2.若若 aan n 是等差数列是等差数列,且且p+q=m+np+q=m+n，(p,q,m,n(p,q,m,n为正整数），则为正整数），则a ap p+a+aq q=a=am m+a+an n。即下标和即下标和相等，则相应项和也相等（两边项数一样）相等，则相应项和也相等（两边项数一样）证明：证明：a ap p+a+aq q=a=a1 1+(p-1)d+a+(p-1)d+a1 1+(q-1)d=2a+(q-1)d=2a1 1+(p+q-2)d+(p+q-2)da am m+a+an n=a=a1 1+(m-1)d+a+(m-1)d+a1 1+(n-1)d=2a+(n-1)d=2a1 1+(

9、m+n-2)d+(m+n-2)d又因为又因为p+q=m+n p+q=m+n，所以所以a ap p+a+aq q=a=am m+a+an n如：如：a a2 2+a+a9 9=a=a5 5+a+a6 6a a6 6+a+a1010=a=a8 8+a+a8 8=2a=2a8 8特别地特别地,若若 ,则则注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的的2021/8/9 星期一9例例4.在等差数列在等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3)已知已知 a4+a5+

10、a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可，可得得a1+a20=10分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ，解解、得得a4=17a7=11 a4=11a7=17 或或 d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31结论应用2021/8/9 星期一10性质性质3:若若an是等差数列是等差数列,则从中抽取间隔相等的

11、则从中抽取间隔相等的项也是等差数列项也是等差数列an=am+(n-m)dan-am=(n-m)da1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12 a1a4a7a10性质性质4:若若an是等差数列是等差数列,则长度相等的连续则长度相等的连续k项的项的和也是等差数列和也是等差数列,如如:a1+a2+ak,ak+1+ak+2+.+a2k,a2k+1+.+a3k,也是等差数列也是等差数列a1+a2+ak,a2+a3+.+ak+1,a3+a4.+ak+2,也是等差数列也是等差数列2021/8/9 星期一11结论应用(3)(3)若若 求求 例例5.在等差数列在等差数列an中中m2b-a130性质性质5:若若an是等差数列是等差数列,则则也是等差数列。也是等差数列。2021/8/9 星期一12祝同学祝同学们学学习进步！步！2021/8/9 星期一13