人教版高中数学选修本(理科)离散型随机变量的期望值与方差ppt.ppt

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1、离散型随机变量的期望值与方差离散型随机变量的期望值与方差 2021/8/9 星期一1一、基本知识概要：一、基本知识概要：1 1、期望的定义：、期望的定义：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量的分布列为的分布列为 Pn P3 P2 P1 P xn x3 x2 x1 则称则称E=XE=X1 1P P1 1+X+X2 2P P2 2+X+X3 3P P3 3+X+Xn nP Pn n+为为的数的数学期望或平均数、均值，简称期望。学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。离散型随机变量取值的平均水平。2021/8/9 星期一2若若=a+b(a=a+b(

2、a、b b为常数为常数)，则，则也也是随机变量，且是随机变量，且E=aE+bE=aE+b。E(c)=c E(c)=c 特别地，若特别地，若B(nB(n，P)P)，则则E=nP E=nP 2021/8/9 星期一32 2、方差、标准差定义：、方差、标准差定义：D=(XD=(X1 1-E)-E)2 2P P1 1+(X+(X2 2-E)-E)2 2P P2 2+(X+(Xn n-E)E)2 2P Pn n+称为随机变量称为随机变量的方差。的方差。DD的算术平方根的算术平方根 =叫做随机变叫做随机变量的标准差。量的标准差。2021/8/9 星期一4随机变量的方差与标准差都反映了随机变量的方差与标准差

3、都反映了:随机变随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有且有D(a+b)=a2D,D(a+b)=a2D,可以证明可以证明D=E2-D=E2-(E)2(E)2。若若B(nB(n，p)p)，则则D=npqD=npq，其中其中q=1-p.q=1-p.2021/8/9 星期一53 3、特别注意、特别注意：在计算离散型随机变量的期：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，利用性质解题，能避免繁琐的

4、运算过程，提高运算速度和准确度。提高运算速度和准确度。2021/8/9 星期一6二、例题：二、例题：例例1 1、（、（1 1）下面说法中正确的是）下面说法中正确的是()A A离散型随机变量离散型随机变量的期望的期望EE反映了反映了取取值的概率的平均值。值的概率的平均值。B B离散型随机变量离散型随机变量的方差的方差DD反映了反映了取取值的平均水平。值的平均水平。C C离散型随机变量离散型随机变量的期望的期望EE反映了反映了取取值的平均水平。值的平均水平。D D离散型随机变量离散型随机变量的方差的方差DD反映了反映了取取值的概率的平均值。值的概率的平均值。C C2021/8/9 星期一7例例1

5、1、（2 2）（）（20012001年高考题）一个袋子里年高考题）一个袋子里装有大小相同的装有大小相同的3 3个红球和个红球和2 2个黄球，从中个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是期望是 。说明说明：近两年的高考试题与考试说明：近两年的高考试题与考试说明中的中的“了解了解，会，会”的要求一致，的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致

6、解题错误。性质应用错误等，导致解题错误。1.2 1.2 2021/8/9 星期一8例例2 2、设、设 是一个离散型随机变量，其分布是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求列如下表，试求E E 、D D12 P101 剖析剖析：应先按分布列的性质，求出：应先按分布列的性质，求出 的值的值后，再计算出后，再计算出E E 、D D 。说说明明：解解答答本本题题时时，应应防防止止机机械械地地套套用用期期望望和方差的计算公式，出现以下误解：和方差的计算公式，出现以下误解：E E 。2021/8/9 星期一9练习练习：已知：已知的分布列为的分布列为P 10-1 (1)(1)求求E,E,D,D,，(2)(

7、2)若若=2+3,=2+3,求求E,DE,D2021/8/9 星期一10例例3 3、人寿保险中（某一年龄段），在一年、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费的保险期内，每个被保险人需交纳保险费 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3 3万元，出现非意外死亡则赔付万元，出现非意外死亡则赔付1 1万元，经统万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是计此年龄段一年内意外死亡的概率是 ，非意外死亡的概率为非意外死亡的概率为 ，则，则 需满足什么需满足什么条件，保险公司才可能盈利？条件，保险公司才可能盈利？剖析剖析：要使保险公司能盈利，需盈利

8、数：要使保险公司能盈利，需盈利数 的的期望值大于期望值大于0 0，故需求，故需求E E 。2021/8/9 星期一11说说明明：（1 1）离离散散型型随随机机变变量量的的期期望望表表征征了了随机变量取值的平均值随机变量取值的平均值（2 2）本题中）本题中D D 有什么实际意义？有什么实际意义？2021/8/9 星期一12例例4 4：把：把4 4个球随机地投入个球随机地投入4 4个盒子中去，设个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求表示空盒子的个数，求E E 、D D剖剖析析：每每个个球球投投入入到到每每个个盒盒子子的的可可能能性性是是相相等等的的，总总的的投投球球方方法法数数为为 ，空空盒盒子子的

9、的个个数数可能为可能为0 0个，此时投球方法数为个，此时投球方法数为 ；空空盒盒子子的的个个数数为为1 1时，此时投球方法数为时，此时投球方法数为 ，。2021/8/9 星期一13例例5 5、已已知知两两家家工工厂厂，一一年年四四个个季季度度上上缴缴利利税如下：（单位：万元）税如下：（单位：万元）季度季度 一一 二二 三三四四 季平均值季平均值 甲厂甲厂7050804060乙厂乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。说说明明：本本题题考考查查利利用用离离散散型型随随机机变变量量的的方方差差与与期期望望的的知知识识，分分析析解解决决实实际际

10、问问题题的的能能力。力。2021/8/9 星期一14例例6 6、(1)(1)设设随随 机机 变变量量 具具有有 分分 布布列列 为为P(=k)=P(=k)=(k=1(k=1，2 2，3 3，4 4，5 5，6)6)，求求EE、E(2+3)E(2+3)和和DD。(2)(2)设随机变量设随机变量的分布列为的分布列为P(=k)=P(=k)=(k=1(k=1，2 2，3 3，n)n)，求求EE和和DD。2021/8/9 星期一15(3)(3)一一次次英英语语测测验验由由5050道道选选择择题题构构成成，每每道道有有4 4个个选选项项，其其中中有有且且仅仅有有一一个个是是正正确确的的，每每个个选选对对得

11、得3 3分分，选选错错或或不不选选均均不不得得分分，满满分分150150分分，某某学学生生选选对对每每一一道道题题的的概概率率为为0.70.7，求求该该生生在在这这次次测测验验中中的的成成绩绩的的期期望望与与方差。方差。说说明明：可可根根据据离离散散型型随随机机变变量量的的期期望望和和方方差的概念、公式及性质解答。差的概念、公式及性质解答。2021/8/9 星期一16三、课堂小结：三、课堂小结：1 1、利利用用离离散散型型随随机机变变量量的的方方差差与与期期望望的的知知识识，可可以以解解决决实实际际问问题题。利利用用所所学学知知识识分分析析和和解解决决实实际际问问题题的的题题型型，越越来来越越成成为为高高考考的的热点，应予重视。热点，应予重视。2 2、常常生生产产生生活活中中的的一一些些问问题题，我我们们可可以以转转化化为为数数学学问问题题，借借助助于于函函数数、方方程程、不不等等式式、概概率率、统统计计等等知知识识解解决决。同同时时，要要提提高高分分析析问问题题和和解解决决问问题题的的能能力力，必必须须关关注注生产和生活。生产和生活。2021/8/9 星期一17四、布置作业：四、布置作业：教材教材P195P195页闯关训练页闯关训练2021/8/9 星期一18