高二数学三垂线定理和逆定理课件.ppt

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1、三垂线定理三垂线定理aAPo2021/8/11 星期三1复习：复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/8/11 星期三2性质判定定理性质线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO 平面PAOaPO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内

2、的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理P Pa aA Ao o 2021/8/11 星期三3 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA 如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但 b不垂直于OP 思考?2021/8/11 星期三4 1 1、三垂

3、线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线)、AO(AO(射射影影)、a(a(直线直线)之间的垂直关系。之间的垂直关系。2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。说明：说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/8/11 星期三5例例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：已知：PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点 求证：

4、求证：POBD，PCBD(3)已知：已知：在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD2021/8/11 星期三6(1)PA正方形正方形ABCD所在平所在平面，面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影上的射影 PCBD

5、POBDAOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影PA平面平面ABCDBD 平面平面ABCD又2021/8/11 星期三7PMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAM证明证明:PM BCBCAMPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影PA平面平面PBCPB=PCM是是BC的中点的中点BC 平面平面PBC又2021/8/11 星期三8(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B

6、1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 2021/8/11 星期三9PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾2021/8/11 星期三10三垂线定理解题的关键：三垂线定理解题的关键：找三垂！找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的

7、内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa2021/8/11 星期三11 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面基准面基准面基准面)的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的

8、，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明abababab的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即第一、找平面第一、找平面第一、找平面第一、找平面(基准面基准面基准面基准面)及平面垂线及平面垂线及平面垂线及平面垂线 第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a a a、b b b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线。一条斜线

9、。一条斜线。一条斜线。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线a a a a垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。2021/8/11 星期三12PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂

10、直线垂直2021/8/11 星期三13线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理？2021/8/11 星期三14 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射

11、影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理2021/8/11 星期三15例例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影

12、内的射影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB得得 OEAB同理可得同理可得OFAC结结论论成成立立2021/8/11 星期三16 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线和这个平面的一条斜线的射影的射影垂直，那么它也垂直，那么它也和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。小小 结结三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影的射影垂直。垂直。2021/8/11 星期三1733操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射三证一垂二射三证”11定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言22应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照这个参照系系作业：教学与测试53 创新作业142021/8/11 星期三182021/8/11 星期三19