人教版辽宁省沈阳市二十一中高一数学《对数函数》课件.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.指数幂的概念指数幂的概念 (1)(1)根式根式 一般地一般地,如果一个数的如果一个数的n n次方等于次方等于a a(n n1 1且且n nN N*)，那么这个数叫做那么这个数叫做a a的的n n次方根次方根.也就是也就是,若若x xn n=a a,则则x x叫叫 做做_，其中，其中n n1 1且且n nN N*.式子式子 叫做叫做 _,_,这里这里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_._.a a的的n n次方根次方根根式根式根指数根指数被开方数被开方数2.42.4 指数与指数函数指数与指数函数基础知识基础知识 自主学习自主学习2021/8/9 星期一1（2 2）根式的性质

2、）根式的性质 当当n n为奇数时为奇数时,正数的正数的n n次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n n次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，a a的的n n次方根用符号次方根用符号_ 表示表示.当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次方根有两个，它们互为次方根有两个，它们互为 相反数相反数,这时，正数的正的这时，正数的正的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示,负的负的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示.正负两个正负两个n n次方根次方根 可以合写为可以合写为_（a a0 0）.=_.=_.a a2021/8/9 星期一2当当n n为奇数时，为奇数时，

3、=_;=_;当当n n为偶数时，为偶数时，=_.=_.负数没有偶次方根负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.(3)(3)分数指数幂的意义分数指数幂的意义 =_=_（a a00，m m、n nN N*，且，且n n11）；）；=(=(a a0,0,m m、n n N N*,且且n n1).1).a a2021/8/9 星期一3思考思考 分数指数幂与根式有何关系？分数指数幂与根式有何关系？分数指数幂是根式的另一种写法分数指数幂是根式的另一种写法,因此分数指因此分数指数幂与根式之间可以相互转化数幂与根式之间可以相互转化.在分数指数幂的定义在分数指数幂的定义中中,我们只对正数和零

4、的分数指数幂进行了定义我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义,但但事实上事实上,负数也有分数指数幂负数也有分数指数幂,但必须保证相应的根式但必须保证相应的根式有意义有意义.（2 2）有理数指数幂的运算性质）有理数指数幂的运算性质 a as sa at t=_(_(a a0,0,t tQ,Q,s sQ Q););a as sa at t=_(_(a a0,0,t tQ,Q,s sQ Q););(a as s)t t=_(_(a a0,0,t tQ,Q,s sQ Q););(abab)t t=_(_(a a0,0,b b0,0,t tQ Q).).a as s+t ta aststa at tb

5、bt t提示提示a as s-t t2021/8/9 星期一42.2.指数函数指数函数 (1)(1)指数函数的定义指数函数的定义:一般地一般地,函数函数y y=a ax x(a a0 0且且a a 1)1)叫做指数函数叫做指数函数,其中其中x x是自变量是自变量.(2)(2)指数函数指数函数y y=a ax x(a a0 0且且a a1)1)的图象及性质如下的图象及性质如下 表所示表所示:a a1 10 0a a1 1图图象象性性质质y y0 0当当x x=0=0时时,y y=1=1当当x x0 0时时,y y1,1,x x0 0时时,0,0y y1.1.当当x x0 0时时,0,0y y1,

6、1,x x0 0时时,y y1.1.在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数.在在(-,+)(-,+)上是减函数上是减函数.2021/8/9 星期一5基础自测基础自测1.1.化简化简 的结果是的结果是_._.解析解析 原式原式=4-+-5=-1.=4-+-5=-1.2.2.(2010(2010淮安模拟淮安模拟)设设y y1 1=4=40.90.9,y y2 2=8=80.440.44,y y3 3=,=,则则 y y1 1,y y2 2,y y3 3的大小关系为的大小关系为_._.解析解析 y y1 1=4=40.90.9=2=21.81.8,y y2 2=8=80.440.44=2=21

7、.321.32,y y1 1 y y3 3 y y2 2.y y1 1 y y3 3 y y2 2-1-12021/8/9 星期一63.3.若若a a0,0,a a1,1,则函数则函数y y=a ax x-1-1的图象一定过点的图象一定过点_._.解析解析 由函数由函数y y=a ax x的图象过点的图象过点(0,1)(0,1)可知函数可知函数y y=a ax x-1-1 的图象过点的图象过点(1,1).(1,1).4.4.当当x x0,20,2时时,函数函数y y=3=3x x+1+1-2-2的值域是的值域是_._.解析解析 y y=3=3x x+1+1是增函数是增函数,当当x x0,20,

8、2时时,33,33x x+1+1333 3,13 13x x+1+1-225.-225.(1,1)(1,1)1,251,252021/8/9 星期一7【例例1 1】(2010(2010镇江模拟镇江模拟)化简与计算化简与计算:(1)(1)(2)(2)(3)(3)有理指数幂的运算有理指数幂的运算,注意将小数化成分数注意将小数化成分数,根根 式化成分数指数幂式化成分数指数幂.典型例题典型例题 深度剖析深度剖析分析分析2021/8/9 星期一8解解 2021/8/9 星期一9跟踪练习跟踪练习1 1 已知已知a a,b b是方程是方程x x2 2-6-6x x+4=0+4=0的两根的两根(a a b b

9、),),求求:(1):(1)a a3 3+b b3 3;(2);(2)解解 (1)(1)a a,b b是方程的两根且是方程的两根且a a b b,a a+b b=6,=6,abab=4,=4,a a,b b均为正数均为正数,a a3 3+b b3 3=(=(a a+b b)()(a a2 2-abab+b b2 2)=()=(a a+b b)()(a a+b b)2 2-3-3abab,代入代入a a+b b=6,=6,abab=4=4得得 a a3 3+b b3 3=6(6=6(62 2-34)=624=144.-34)=624=144.(2)(2)a a b b0,0,代入代入a a+b

10、b=6,=6,abab=4=4 2021/8/9 星期一10【例例2 2】已知函数已知函数 (1)(1)作出图象作出图象;(2)(2)由图象指出其单调区间由图象指出其单调区间;(3)(3)由图象指出由图象指出,当当x x取什么值时有最值取什么值时有最值.先化去绝对值符号先化去绝对值符号,将函数写成分段函数的将函数写成分段函数的 形式形式,再作出其图象再作出其图象,然后根然后根据图象判断其单调性、据图象判断其单调性、最值最值.解解 (1)(1)由函数解析式可得由函数解析式可得 其图象分成两部分其图象分成两部分 分析分析2021/8/9 星期一11一部分是一部分是 (x x-2)-2)的图象的图象

11、,由下列变换可得到由下列变换可得到另一部分另一部分y y=2=2x x+2+2(x x-2)00且且a a1)1)的图象的图象 有两个公共点有两个公共点,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 (1)(1)方法一方法一 函数函数 的定义域是的定义域是R R.因为因为 当当x x00时时,0 1;,0 1;当当x x00时时,02,02x x1.00且且a a1)1)图象图象,当当a a11时时,不可能有两个公共点不可能有两个公共点,当当00a a11时时,如右图如右图.由图象可知由图象可知0202a a1,01,0a a 1,31,由复合函数的单调性可知由复合函数的单调性可知,20

12、21/8/9 星期一16 在在(-,1(-,1上是减函数上是减函数,在在4,+)4,+)上是增函数上是增函数.故故f f(x x)的增区间是的增区间是4,+),4,+),减区间是减区间是(-,1(-,1.函数的定义域为函数的定义域为R R,令令t t=(=(t t0),0),g g(t t)=-)=-t t2 2+4+4t t+5=-(+5=-(t t-2)-2)2 2+9,+9,t t0,0,g g(t t)=-()=-(t t-2)-2)2 2+99,+99,等号成立的条件是等号成立的条件是t t=2,=2,即即g g(x x)9,)9,等号成立的条件是等号成立的条件是 =2,=2,即即x

13、 x=-1,=-1,g g(x x)的值域是的值域是(-,9(-,9.2021/8/9 星期一17由由g g(t t)=-()=-(t t-2)-2)2 2+9(+9(t t0),0),而而t t=是减函数是减函数,要求要求g g(x x)的增区间实际上是求的增区间实际上是求g g(t t)的减区间的减区间,求求g g(x x)的减区间实际上是求的减区间实际上是求g g(t t)的增区间的增区间.g g(t t)在在(0,2(0,2上递增上递增,在在2,+)2,+)上递减上递减,由由000,0,且且a a1)1)在在区间区间-1,1-1,1上的最大值为上的最大值为14,14,求实数求实数a a

14、的值的值.指数函数与二次函数复合函数的性质的讨指数函数与二次函数复合函数的性质的讨 论，可用换元法论，可用换元法,同时要注意底数同时要注意底数a a对函数对函数y y=a ax x单调单调 性的影响性的影响.解解 令令y y=a a2 2x x+2+2a ax x-1=(-1=(a ax x+1)+1)2 2-2,-2,由由x x-1,1-1,1知知 当当a a11时时,显然当显然当a ax x=a a,即即x x=1=1时时,y ymaxmax=(=(a a+1)+1)2 2-2.-2.(a a+1)+1)2 2-2=14,-2=14,即即a a=3(=3(a a=-5=-5舍去舍去).).

15、分析分析2021/8/9 星期一19当当00a a11时时,则由则由x x-1,1-1,1得得a ax x 综上所述综上所述,a a=或或a a=3.=3.2021/8/9 星期一20【例例4 4】(14(14分分)已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f f(x x)有最有最小正小正 周期周期2,2,且当且当x x(0,1)(0,1)时时,f f(x x)=)=(1)(1)求求f f(x x)在在-1,1-1,1上的解析式上的解析式;(2)(2)证明证明:f f(x x)在在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数;(3)(3)当当为何值时为何值时,方程方程f f(x x)=)=在在

16、-1,1-1,1上有实数解上有实数解.解题示范解题示范 (1)(1)解解 当当x x(-1,0)(-1,0)时时,-,-x x(0,1).(0,1).f f(x x)是奇函数是奇函数,由由f f(0)=(0)=f f(-0)=-(-0)=-f f(0)(0)且且f f(1)=(1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-1)=-(-1)=-f f(1),(1),得得f f(0)=(0)=f f(1)=(1)=f f(-1)=0.(-1)=0.2021/8/9 星期一21在区间在区间-1,1-1,1上上,有有 (2)(2)证明证明 当当x x(0,1)(0,1)时时,f f(x x)=)=

17、设设00 x x1 1 x x2 21,1,2021/8/9 星期一2200 x x1 1 x x2 21,0,)0,即即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),故故f f(x x)在在(0,1)(0,1)上单调递减上单调递减.1010分分(3)(3)解解 因为当因为当x x(0,1)(0,1)时时,f f(x x)是减函数是减函数,所以所以f f(x x)同理同理x x(-1,0)(-1,0)时时,f f(x x)又又f f(1)=(1)=f f(0)=(0)=f f(-1)=0,(-1)=0,f f(x x)=)=在在-1,1-1,1上有实数解上有实数解.1414分分2021/8

18、/9 星期一23跟踪练习跟踪练习4 4 设设a a0,0,是是R R上的偶函数上的偶函数.(1)(1)求求a a的值的值;(2)(2)求证求证:f f(x x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.(1)(1)解解 f f(x x)是是R R上的偶函数上的偶函数,f f(-(-x x)=)=f f(x x),),2021/8/9 星期一24(2)(2)证明证明 在在(0,+)(0,+)上任取上任取x x1 1、x x2 2,且且x x1 1 x x2 2,f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)0,)0,即即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),故故f f(x x

19、)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.2021/8/9 星期一25本节内容在高考中占有重要地位本节内容在高考中占有重要地位,以基本概念、基本以基本概念、基本运算、数值的大小比较及以指数函数的性质为载体运算、数值的大小比较及以指数函数的性质为载体考查不等式问题考查不等式问题,有时也与函数性质、二次函数、方有时也与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容结合程、不等式等内容结合,以综合题的形式考查以综合题的形式考查.1.1.单调性是指数函数的重要性质单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的特别是函数图象的 无限伸展性无限伸展性,x x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线.当当00a

20、 a1,1,1,x x-时时,y y0;0;当当a a11时时,a a 的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望方法规律总结方法规律总结2021/8/9 星期一26 当当00a a11时，时，a a的值越小，图象越靠近的值越小，图象越靠近y y轴，递减的轴，递减的 速度越快速度越快.2.2.画指数函数画指数函数y y=a ax x的图象的图象,应抓住三个关键点应抓住三个关键点:(1,:(1,a a)、(0,1)(0,1)、3.3.熟记指数函数熟记指数函数y y=10=10 x x,y y=2

21、=2x x,y y=,=,y y=,=,在同一在同一 坐标系中图象的相对位置坐标系中图象的相对位置,由此掌握指数函数图象由此掌握指数函数图象 的位置与底数大小的关系的位置与底数大小的关系.4.4.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要要 注意运用方程的观点处理问题注意运用方程的观点处理问题,通过解方程通过解方程(组组)来来 求值求值,或用换元法转化为方程来求解或用换元法转化为方程来求解.2021/8/9 星期一27一、填空题一、填空题1.1.(2010(2010镇江模拟镇江模拟)若若00 x x1,22-x x0.20.2x x定时检测定时检测20

22、21/8/9 星期一282.2.(2011(2011江苏江苏)已知已知a a=,=,函数函数f f(x x)=)=a ax x,若实若实 数数m m、n n满足满足f f(m m)f f(n n),),则则m m、n n的大小关系为的大小关系为_._.解析解析 00a a=1,=)f f(n n),),m m n n.3.3.(2011(2011山东烟台模拟山东烟台模拟)函数函数y y=2=2-|-|x x|的单调增区间是的单调增区间是 _._.解析解析 画出函数画出函数 的图象的图象,如图如图 m m n n(-,0(-,02021/8/9 星期一294.4.(2010(2010泰州月考泰州

23、月考)设函数设函数 若若f f(x x)是奇函数是奇函数,则则g g(2 2)=_.)=_.解析解析 f f(-2)=2(-2)=2-2-2=-=-f f(2)(2)f f(2)=(2)=又又f f(2)=(2)=g g(2),(2),g g(2)=(2)=2021/8/9 星期一305.5.(2010(2010扬州调研扬州调研)若函数若函数y y=4=4x x-32-32x x+3+3的定义域为的定义域为 集合集合A A,值域为值域为1,7,1,7,集合集合B B=(-,01,2,=(-,01,2,则集则集 合合A A与集合与集合B B的关系为的关系为_._.解析解析 因为因为y y=4=4

24、x x-32-32x x+3+3的值域为的值域为1,71,7,所以所以1(21(2x x)2 2-32-32x x+37,+37,所以所以x x00或或11x x2.2.6.6.(2010(2010南京调研南京调研)若若f f(x x)=-)=-x x2 2+2+2axax与与g g(x x)=()=(a a+1)+1)1-1-x x 在区间在区间1,21,2上都是减函数上都是减函数,则则a a的取值范围是的取值范围是 _._.解析解析 f f(x x)=-)=-x x2 2+2+2axax与与g g(x x)=()=(a a+1)+1)1-1-x x在区间在区间1,21,2 上都是减函数上都

25、是减函数,即即 故故000,0,且且a a1)1)在在1,2 1,2 上的最大值比最小值大上的最大值比最小值大 ,则则a a的值是的值是_._.解析解析 当当a a11时时,y y=a ax x在在1,21,2上单调递增上单调递增,当当00a a1”,“”,“”填空填空)解析解析 f f(1+(1+x x)=)=f f(1-(1-x x).).f f(x x)的对称轴为直线的对称轴为直线x x=1,=1,由此得由此得b b=2=2 又又f f(0)=3,(0)=3,c c=3,=3,f f(x x)在在(-,1)(-,1)上递减上递减,在在(1,+)(1,+)上递增上递增.若若x x0,0,则

26、则3 3x x22x x1,1,f f(3(3x x)f f(2(2x x)若若x x0,0,则则3 3x x22x x1,)f f(2(2x x),),f f(3(3x x)f f(2(2x x).).2021/8/9 星期一339.9.(2011(2011湖北黄冈四市联考湖北黄冈四市联考)设函数设函数 f f(x x)=|2)=|2x x-1|-1|的的 定义域和值域都是定义域和值域都是a a,b b(b b a a),),则则a a+b b=_.=_.解析解析 因为因为f f(x x)=|2)=|2x x-1|-1|的值域为的值域为a a,b b,所以所以b b a a0,0,而函数而函

27、数f f(x x)=|2)=|2x x-1|-1|在在0,+)0,+)上是单调递增函数上是单调递增函数,因此应有因此应有 所以有所以有a a+b b=1.=1.1 12021/8/9 星期一34二、解答题二、解答题10.10.(2011(2011广东韶关一模广东韶关一模)要使函数要使函数y y=1+2=1+2x x+4+4x xa a在在x x (-,1 (-,1上上y y00恒成立恒成立,求求a a的取值范围的取值范围.解解 由题意得由题意得1+21+2x x+4+4x xa a00在在x x(-,1(-,1上恒成立上恒成立,2021/8/9 星期一3511.11.(2011(2011江苏苏

28、北四市期末江苏苏北四市期末)设设f f(x x)=)=a ax x+b b同时满足同时满足 条件条件f f(0)=2(0)=2和对任意和对任意x xR R都有都有f f(x x+1)=2+1)=2f f(x x)-1)-1成立成立.(1)(1)求求f f(x x)的解析式的解析式;(2)(2)设函数设函数g g(x x)的定义域为的定义域为-2,2,-2,2,且在定义域内且在定义域内 g g(x x)=)=f f(x x),),且函数且函数h h(x x)的图象与的图象与g g(x x)的图象关于直的图象关于直 线线y y=x x对称对称,求求h h(x x););(3)(3)求函数求函数y

29、y=g g(x x)+)+h h(x x)的值域的值域.2021/8/9 星期一36 解解 (1)(1)由由f f(0)=2,(0)=2,得得b b=1,=1,由由f f(x x+1)=2+1)=2f f(x x)-1,)-1,得得a ax x(a a-2)=0,-2)=0,由由a ax x00得得a a=2,=2,所以所以f f(x x)=2)=2x x+1.+1.(2)(2)由题意知由题意知,当当x x-2,2-2,2时时,g g(x x)=)=f f(x x)=2)=2x x+1.+1.设点设点P P(x x,y y)是函数是函数h h(x x)的图象上任意一点的图象上任意一点,它关于它

30、关于 直线直线y y=x x对称的点为对称的点为P P(y y,x x),),依题意点依题意点P P(y y,x x)应应 该在函数该在函数g g(x x)的图象上的图象上,即即x x=2=2y y+1,+1,所以所以y y=log=log2 2(x x-1),-1),即即h h(x x)=log)=log2 2(x x-1).-1).2021/8/9 星期一37(3)(3)由已知得由已知得,y y=log=log2 2(x x-1)+2-1)+2x x+1+1，且两个函数的公共，且两个函数的公共 定义域是定义域是 ,2,2,所以函数所以函数y y=g g(x x)+)+h h(x x)=lo

31、g)=log2 2(x x-1)-1)+2+2x x+1(+1(x x ,2,2).).由于函数由于函数g g(x x)=2)=2x x+1+1与与h h(x x)=log)=log2 2(x x-1)-1)在区间在区间 ,2,2上均为增函数上均为增函数,当当x x=2=2时时,y y=5,=5,所以函数所以函数y y=g g(x x)+)+h h(x x)()(x x ,2,2)的的值域为值域为2021/8/9 星期一3812.12.(2010(2010南通模拟南通模拟)已知函数已知函数 (1)(1)求求f f(x x)的定义域的定义域;(2)(2)讨论讨论f f(x x)的奇偶性的奇偶性;(3)(3)证明证明:f f(x x)0.)0.解解 (1)(1)由由2 2x x-10-10得得x x0,0,定义域为定义域为(-,0)(0,+).(-,0)(0,+).2021/8/9 星期一39(3)(3)当当x x00时时,2,2x x1,1,x x3 30.0.f f(x x)为偶函数为偶函数,当当x x00.)0.综上可得综上可得f f(x x)0.)0.返回返回 2021/8/9 星期一40