高考数学一轮复习 第41讲空间向量及运算精品课件 理 新人教课标A.ppt

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1、第第4141讲讲 空间向量及运算空间向量及运算 第第4141讲空间向量及运算讲空间向量及运算2021/8/11 星期三1知识梳理第第4141讲讲 知识梳理知识梳理两两垂直两两垂直 1空空间间直角坐直角坐标标系及有关概念系及有关概念 (1)如图如图411,OABCD1A1B1C1是是单位正方体，以单位正方体，以O为原点，分别以为原点，分别以OA，OC，OD1的长为单位长度，建立三条的长为单位长度，建立三条_的数轴：的数轴：x轴，轴，y轴，轴，z轴，轴，则称建立了空间直角坐标系则称建立了空间直角坐标系Oxyz，其中，其中点点O叫做叫做_，x轴，轴，y轴，轴，z轴轴叫做叫做_，通过每两个坐标轴的平，

2、通过每两个坐标轴的平面叫做面叫做_坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴坐标平面坐标平面2021/8/11 星期三2 (2)空间一点空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组序实数组(x，y，z)表示，记作表示，记作M(x，y，z)，其中，其中x叫做叫做点点M的的_，y叫做点叫做点M的的_，z叫做点叫做点M的的_横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标第第4141讲讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三3 2空空间间向量的概念及运算向量的概念及运算 空空间间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循遵循_，数乘运算

3、和数量，数乘运算和数量积积运算与平面向量的数乘运算和数量运算与平面向量的数乘运算和数量积积运算相同；坐运算相同；坐标标运算与运算与平面向量的坐平面向量的坐标标运算运算类类似，似，仅仅多出了一个多出了一个竖竖坐坐标标 3空空间间向量的数量向量的数量积积及运算律及运算律 (1)定定义义 已知两个非零向量已知两个非零向量a，b，在空，在空间间任取一点任取一点O，作，作a，b，则则AOB叫做向量叫做向量a，b的的夹夹角，角，记记作作_ 已知两个非零向量已知两个非零向量a，b，则则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的的_，记记作作ab.即即_|a|b|cosa，b三角形法则或平行四边形法则三角形法则或

4、平行四边形法则数量积数量积a ab b第第4141讲讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三4p p=xa a+yb b+zc c基底基底基向量基向量第第4141讲讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三5 (2)空空间间向量的正交分解向量的正交分解 如果如果i i，j j，k k是空是空间间三个两两垂直的向量，那么，三个两两垂直的向量，那么，对对空空间间任一向量任一向量p p，存在一个有序，存在一个有序实实数数组组x，y，z，使得，使得p pxi iyj jzk k.我我们们称称xi i，yj j，zk k为为向量向量p p在在i i，j j，k k上的上的_ (3)空空间间向量

5、的坐向量的坐标标 设设e e1，e e2，e e3为为有公共起点有公共起点O的三个两两垂直的的三个两两垂直的单单位向位向量量(我我们们称它称它们为单们为单位正交基底位正交基底)，对对于空于空间间任一向量任一向量p p，存，存在有序数在有序数组组x，y，z，使得，使得p pxe e1ye e2ze e3.我我们们把把x，y，z称作向量称作向量p p在在单单位正交基底位正交基底e e1，e e2，e e3下的坐下的坐标标，记记作作_此此时时向量向量p p的坐的坐标标恰是点恰是点P在空在空间间直角坐直角坐标标系系Oxyz中的坐中的坐标标_分向量分向量p p=(x,y,z)(x,y,z)第第4141讲

6、讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三6 5空空间间向量的坐向量的坐标标表示及表示及应应用用 (1)空空间间向量运算的坐向量运算的坐标标表示表示 设设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则则a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a a(a1，a2，a3)，a ab ba1b1a2b2a3b3.(2)重要重要结论结论 a ab ba ab ba1b1，a2b2，a3b3(R R，b b0 0)；第第4141讲讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三7第第4141讲讲 知识梳理知识梳理2021/8/11 星期三

7、8要点探究探究点探究点1空间向量的线性运算空间向量的线性运算第第4141讲讲 要点探究要点探究图图4122021/8/11 星期三9第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三10第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三11 点评点评 本题要解决的是空间问题，但所用的则是平面本题要解决的是空间问题，但所用的则是平面向量的知识，将空间问题分解为几个平面问题，并在各个向量的知识，将空间问题分解为几个平面问题，并在各个平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一另

8、目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一另外，注意到用一组基向量表示空间向量的唯一性，可利用外，注意到用一组基向量表示空间向量的唯一性，可利用其确定未知参数，如下面的变式题：其确定未知参数，如下面的变式题：第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三12变式题第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三13图图413第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三14第第4141讲讲 要点探究要点探究变式题2021/8/11 星期三15第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三16探究点探究点2空间直角坐标系的建立空间直角坐标

9、系的建立 例例2 已知直三棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，BAC90，ABACAA12，M为为BC1的中点，的中点，N为为A1B1的中点，求的中点，求|MN|.第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三17第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三18变式题 如图如图414所示，在正四棱锥所示，在正四棱锥PABCD中，底中，底面边长和侧棱长都为面边长和侧棱长都为2，点，点E在侧棱在侧棱PC上，点上，点F在底面在底面ABCD的对角线的对角线BD上，试求上，试求E、F两点间的最短距离两点间的最短距离图图414第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/

10、8/11 星期三19第第4141讲讲 要点探究要点探究变式题2021/8/11 星期三20第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三21探究点探究点3空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 例例3 (1)已知向量已知向量a(2，1,3)，求向量，求向量b b，使得，使得b ba a，且且|b b|3|a a|；(2)已知向量已知向量a a(2，1,3)，b b(1,2,1)，若，若(ka ab b)(a a3b b)，求，求k.第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三22第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三23变式题第第4141讲讲

11、要点探究要点探究2021/8/11 星期三24第第4141讲讲 要点探究要点探究变式题2021/8/11 星期三25探究点探究点4空间向量的数量积空间向量的数量积图图415第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三26第第4141讲讲 要点探究要点探究2021/8/11 星期三27第第4141讲讲 规律总结规律总结规律总结 1空空间间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过过来的，来的，要通要通过类过类比的方法来掌握在比的方法来掌握在进进行空行空间间向量的向量的线线性运算性运算时时可以沿可以沿用平面向量用平面向量线线性运算的方法；空性运算的方

12、法；空间间向量的坐向量的坐标标运算与平面向量的运算与平面向量的坐坐标标运算相似，只是多出一个坐运算相似，只是多出一个坐标标，与平面向量的坐，与平面向量的坐标标运算作一运算作一些些对对比，可以比，可以较较容易地掌握空容易地掌握空间间向量的坐向量的坐标标运算运算问题问题 2用已知向量表示未知向量，以及用已知向量表示未知向量，以及进进行向量表达式的化行向量表达式的化简简时时，一定要注意，一定要注意结结合合实际图实际图形，以形，以图图形形为为指指导导是解是解题题的关的关键键，同，同时时注意首尾相接的向量和向量的化注意首尾相接的向量和向量的化简简方法，以及从同一个点出方法，以及从同一个点出发发的两个向量

13、的差向量的运算法的两个向量的差向量的运算法则则，避免出，避免出现现方向方向错误错误2021/8/11 星期三28第第4141讲讲 规律总结规律总结 3利用向量解立体几何利用向量解立体几何题题的一般方法：把的一般方法：把线线段或角度段或角度转转化化为为用向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通用向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过过向量的运向量的运算或算或证证明去解决明去解决问题问题在在这这里，恰当地里，恰当地选选取基底可使向量运算取基底可使向量运算简简捷，或者是建立空捷，或者是建立空间间直角坐直角坐标标系，使立体几何系，使立体几何问题问题成成为为代数代数问题问题，在，在这这里，熟里，熟练

14、练准确地写出空准确地写出空间间中任一点的坐中任一点的坐标标是解决是解决问问题题的基的基础础 4用空用空间间向量解决立体几何中的平行或共向量解决立体几何中的平行或共线问题线问题一般用向一般用向量的共量的共线线定理；解决两点定理；解决两点间间距离或某一距离或某一线线段的段的长长度，一般用向度，一般用向量的模来解决；求异面直量的模来解决；求异面直线线的的夹夹角，一般可以角，一般可以转转化化为为两向量的两向量的夹夹角，但要注意两种角的范角，但要注意两种角的范围围不同，不同，应应注意注意转转化；解决垂直化；解决垂直问问题题一般可一般可转转化化为为向量的数量向量的数量积为积为零零2021/8/11 星期三29第第4141讲讲 规律总结规律总结 5空空间间中的两个向量的数量中的两个向量的数量积积是平面向量中两向量的数量是平面向量中两向量的数量积积的延伸和推广，工具性特的延伸和推广，工具性特别别强强，可借助向量的数量，可借助向量的数量积积解决两解决两直直线线的平行与垂直的平行与垂直问题问题，求解空，求解空间间角和空角和空间间的距离的距离问题问题；向量；向量的数量的数量积积的坐的坐标标表示即数量表示即数量积积的代数化，可以将数量的代数化，可以将数量积积的运算的运算转转化化为为代数运算，使运算代数运算，使运算简简化化2021/8/11 星期三30