高二数学课件第三讲数学归纳法证明不等式 柯西不等式 人教.ppt

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1、第三讲第三讲柯西不等式与柯西不等式与排序不等式排序不等式2021/8/11 星期三1 一一 二二维形式的维形式的柯西不等式柯西不等式2021/8/11 星期三2若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:你能证明吗你能证明吗？2021/8/11 星期三3推论推论2021/8/11 星期三4 向量形式：向量形式：2021/8/11 星期三5设设,是两个向量是两个向量,则则 当且仅当当且仅当是零向量是零向量,或存在实数或存在实数k,使使=k时时,等号

2、成立等号成立.定理定理2:（柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）2021/8/11 星期三6xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0 xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的根据两点间距离公式以及三角形的边长关系边长关系:观观察察2021/8/11 星期三7定理定理（二维形式的三角不等式）（二维形式的三角不等式）设，那么设，那么2021/8/11 星期三8 例题例例1.已知已知a,b为实数为实数,证明：证明：(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)22021/8/11 星期三92021/8/11 星期三10例例3.设设a,bR+,a+b=1,求证求证

3、2021/8/11 星期三11练习：2021/8/11 星期三12作业第第37页页,第第1,5,6题题2021/8/11 星期三13 二二 一般形式的一般形式的 柯西不等式柯西不等式2021/8/11 星期三14(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）维形式的柯西不等式）:2021/8/11 星期三15定理定理 设设是实数，则是实数，则当且仅当当且仅当 (i=1,2,n)或或 存在一存在一个个 数数k使得使得 (i=1,2,n)时等号时等号成立。成立。以上不等式称为以上不等式称

4、为一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。2021/8/11 星期三16一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式2021/8/11 星期三17例例1 已知已知都是实数，求证：都是实数，求证：2021/8/11 星期三18例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：是不全相等的正数，证明：ab+bc+cd+da.2021/8/11 星期三19例例3 已知已知x+2y+3z=1,求求 的最小值。的最小值。2021/8/11 星期三20例例4：设：设a、b、c为正数且各不相等。为正数且各不相等。求证：求证：又又a、b、c各不相等，故等号不能成立各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。原不

5、等式成立。2021/8/11 星期三21例5 若abc 求证：2021/8/11 星期三22例6：若求证：分析：左端变形分析：左端变形只需证此式只需证此式 即可即可 2021/8/11 星期三23 三三 排序不等式排序不等式2021/8/11 星期三24反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和2021/8/11 星期三25例例1：有：有10人各拿一只水桶去接水，设水人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第龙头注满第i(i=1,2,10)个人的水桶需要个人的水桶需要ti分，假定这些分，假定这些ti各不相同。各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们

6、等候的总时间最少？人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？这个最少的总时间等于多少？2021/8/11 星期三26解：解：总时间总时间(分）是分）是10t1+9t2+2t9+t10根据排序不等式，当根据排序不等式，当t1t2t9t10时，时，总时间取最小值。总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，即：按水桶的大小由小到大依次接水，则则10人等候的总时间最少。人等候的总时间最少。最少的总时间是最少的总时间是:10t1+9t2+2t9+t102021/8/11 星期三27例例2 设设a1,a2,an是是n个互不相等的正整数，个互不相等的正整数，求证：求证：2021/8/11 星期三28证明证明：设：设b1,b2,bn是是a1,a2,an的一个排列，的一个排列，且有且有 b1b2bn因为因为b1,b2,bn是互不相等的正整数，是互不相等的正整数，所以所以b11,b22,bnn.又因又因由排序不等式，得：由排序不等式，得：2021/8/11 星期三29练习练习2021/8/11 星期三30练习练习2021/8/11 星期三31练习练习2021/8/11 星期三32练习2021/8/11 星期三33