《n阶行列式》PPT课件.ppt

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1、第三章第三章 行列式行列式第一节第一节n阶行列式的定义阶行列式的定义 1二阶和三阶行列式是由解二元和三元线二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的性方程组引入的.二阶行列式对角线法二阶行列式对角线法（1）二阶行列式共有）二阶行列式共有2!项，即项，即2项项（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的两个元）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的两个元素的下标排列素的下标排列2(1)(1)三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标3 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解

2、二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算4 2.全排列及其奇偶性全排列及其奇偶性引引例例 把把3个个不不同同的的数数字字1、2、3排排成成一一列列，共共有有多多少少种排法？种排法？显显然然，左左边边位位置置上上可可以以从从1、2、3三三个个数数字字中中任任选选一一个个，所所以以有有三三种种放放法法；中中间间位位置置上上只只能能从从剩剩下下的的两两个个数数字字中中选选一一个个，所所以以有有2种种放放法法；右右边边位位置置上上只只能能放最后剩下的一个数字，所以只有放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法种放法因因此此共共有有321=6种种

3、放放法法.这这6种种不不同同的的排排法法是是123，231，312，132，213，321.5 对对于于n n个个不不同同的的元元素素，也也可可以以提提出出类类似似的的问问题题，把把n n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？把把n n个个不不同同的的元元素素排排成成一一列列，叫叫做做这这n n个个元元素素的的全全排排列列（简简称称排排列列）.一一般般,n,n个个自自然然数数1,2,1,2,n,n的的一一个个排排列可以记作列可以记作 其其中中 是是某某种种次次序序下下的的自自然然数数1,2,n.n个个不不同同元元素素的的所所有有排排列列的的种种

4、数数，通通常常用用 Pn表表示示.由由引引例例结结果可知果可知 仿照引例的推导方式我们容易得到仿照引例的推导方式我们容易得到 6 在任意在任意n阶排列阶排列 中，当某两个数大数排在中，当某两个数大数排在小数的前面，就称这两个数构成一个逆序。小数的前面，就称这两个数构成一个逆序。一个一个n阶排列阶排列 所有逆序的总数称为这个所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作排列的逆序数，记作7计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排在分别计算出排在 1,2

5、,n-1 前面比它们大的前面比它们大的数的个数分别为数的个数分别为m1,m2,mn-1,则则m1+m2+mn-1即即为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数.即即t(i1i2in)=m1+m2+mn-18例例1 1 (1)求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个；个；2的前面比的前面比2大的数有大的数有1个个;3的前面比的前面比3大的数有大的数有0个个;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个;故故t(32514)=3+1+0+1=5,该排列是奇排列。该排列是奇排列。9解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇

6、排列.10解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.11定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如对换的定义对换的定义12定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.对换与排列的奇偶性的关系对换

7、与排列的奇偶性的关系13当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与14a依次与依次与b1,b2,，bm.b交换共交换共m+1次，然后次，然后b 与与bm,b2,b1交换，共交换交换，共交换m次，两次共交换次，两次共交换2m+1次，故奇次，故奇偶性改变。偶性改变。15推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标

8、准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.例例：同为同为偶数。偶数。对换对换次数为次数为2次，次，16三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积三、三、n n阶行列式的定阶行列式的定义义17（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不

9、同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列18定义定义1920说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5前面的符号为（前

10、面的符号为（1）t21例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解22即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式23分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解24同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式25特别地，特别地，对角行列式对角行列式26定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中t t 为行标排列为行标排列

11、的逆序数的逆序数.证明证明按按行列式定义有行列式定义有27记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而28定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.其中其中 是两个是两个 阶排列，

12、阶排列，t为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和29下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.30例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.31行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.32矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考题解答思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区

13、别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.思考题思考题33例如例如四、行列式按行（列）展开34在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如3536引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末

14、这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如37证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时38得得39得得4041中的余子式中的余子式42故得故得于是有于是有43定理定理2 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证4445例例64647推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证48同理同理相同相同49例例7 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得按第二行展开，得按第二行展开，得50例例8，解：解：等于用等于用 代替代替 的的 第第1行所得的行列式，即行所得的行列式，即设设。5152同理：同理：53思考：思考：54