利用函数性质判断方程解的存在.ppt

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1、 利用函数性质利用函数性质 判断判断 方程解的存在方程解的存在提出问题（1 1）求方程）求方程 的根，画出的根，画出的图像；的图像；（2 2）求方程）求方程 的根，画出的根，画出 的图像；的图像；（3 3）求方程）求方程 的根，画出的根，画出 的图像的图像.方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx0121

2、12y=x22x+3思考（1）方程的根与函数图像和）方程的根与函数图像和x轴交点的横坐轴交点的横坐标之间有什么关系？标之间有什么关系？（2）如何判断一元二次方程根的个数？如何）如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之轴交点的个数？它们之间有什么关系？间有什么关系？方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),

3、(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2新课讲解：新课讲解：1、函数零点函数零点的定义：把函数的定义：把函数yf(x)的图像与的图像与x轴轴的交点的横坐标称为这个函数的的交点的横坐标称为这个函数的零点零点。2、函数零点与方程的解的关系：、函数零点与方程的解的关系：方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf（x）的图像与）的图像与x轴有交点轴有交点函数函数yf（x）有零点）有零点 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。函数零点的另一种定义：函数零点的另一种定义：注意：注

4、意：零点指的是一个实数零点指的是一个实数.零点是一个点吗?3.函数零点的判定函数零点的判定方法方法1：作出函数的图像，找出图像与：作出函数的图像，找出图像与x轴轴 交点的横坐标；交点的横坐标；方法方法2：分解因式（如：分解因式（如f(x)=(x+2)(x-1)(x-3),则则 函数有函数有3个零点）；个零点）；方法方法3：令：令f(x)=0,求出方程的根；求出方程的根；方法方法4：对于二次函数，可用判别式判定：对于二次函数，可用判别式判定.课堂练习：课堂练习：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3）

5、x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.1(1)1(1)1(1)1(1)解：令解：令解：令解：令f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=x23x5,作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个有两个不不相等的实数根。相等的实数根。1(1)x23x50课堂练习课堂练习 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(x)=2x24x3,作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象的图象,如下：如下：xy0132112543.它

6、与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根无实数根。1(2)2x(x2)3课堂练习课堂练习1(3)解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令，令f(x)=x24x4，作出，作出函数函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：.它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根数根。xy0132112543641(3)x2 4x4课堂练习课堂练习1(4)解：解：5x2+2x3x2+5可化为可化为2x2 2x50，令令令令f(x)=2f(x)=2f(x)=2f(x)=2x22x5,作出函数作出

7、函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422.它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2+2x3x2+5有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根。1(4)5 x2 2x3 x2 5课堂练习课堂练习注：求方程注：求方程f(x)=0的根实际上也是求函数的根实际上也是求函数y=f(x)的零点。的零点。有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种方法是否有效呢？方法是否有效呢？0123

8、4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究探究结论结论 若函数若函数yf(x)，在闭区间，在闭区间a，b上的图像是上的图像是连连续续的曲线的曲线,并且在区间端点的函数值得并且在区间端点的函数值得符号相反符号相反，即即f(a)f(b)0，则在（，则在（a，b）内至少有一个零点。即）内至少有一个零点。即方程方程f(x)0在区间（在区间（a，b）内至少有一个实数解。）内至少有一个实数解。说明：由于我们所研究的大部分函数的图像都是连续说明：由于我们所研究的大部分函数的图像都是连续的，所以，上述结论是判断方程有无实数根或者函数的，所以，上述结论是判断方程有无实数根或者函数有无零点的一种重要方法。有

9、无零点的一种重要方法。例1:例2:判定方程（x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.解:考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1,f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在（5，+）内有一个交点，在（-，2）内也有一个交点.所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.但此结论反过来不成立。但此结论反过来不成立。请举一反例。请举一反例。注意注意:如果函数如果函数y=f(x)在在a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并

10、且的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,这个这个c 就是方程就是方程f(x)=0的根。的根。如 f(x)=图象如下：-11有有f(-1)f(1)0但没有零点，为什么？但没有零点，为什么？例：例：求求f(x)=lnx+2x-6的零点个数。的零点个数。解：解：此函数定义域为（此函数定义域为（0，+）x 1 23456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972从列表和图象可看出，f(2)0即f(2)f(3)0,所以函数在（2，3）内有零点。又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个零点。课堂小结：2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。作业：P119A1、21、函数零点的定义；