华中科技大学线性代数第二节行列式的性质.ppt

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1、行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记一、行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明：证明：（数学归纳法）（数学归纳法）n=1时，显然成立；时，显然成立；假设对假设对n-1阶行列式也成立，下证对阶行列式也成立，下证对n阶行列式也成立阶行列式也成立（按（按j列展开）列展开）（按（按i列展开）列展开）因此因此即结论成立即结论成立是是DT中原素中原素的代数余子式，的代数余子式，是相应是相应的余子式，且为行列式的余子式，且为行列式D划去第划去第i行、第行、第j列后剩下

2、的元列后剩下的元素组成的素组成的n-1阶行列式阶行列式Mij的转置，即的转置，即由归纳假设由归纳假设Mij=MijT，故，故注：注：行列式中的行列式中的行行与与列列的地位是平等的。（的地位是平等的。（对对行行成立的性质，同样对成立的性质，同样对列列成立成立）推论推论 行列式也可按行展开，即：行列式也可按行展开，即：性质性质性质性质2 2 2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式.提示：提示：直接对等式两端的行列式按第直接对等式两端的行列式按第i行展开行展开推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所

3、有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面推论推论推论推论若行列式的某一行（列）中所有元素全为若行列式的某一行（列）中所有元素全为零零，则行列值式为则行列值式为提示：提示：令令性质性质2中的中的k=0即得结论即得结论若若n阶阶行列式的每一个元素都乘以同一数行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用等于用 乘以此行列式乘以此行列式.性质性质性质性质3 3 3 3 互换行列式的两互换行列式的两行行（列列）,行列式变号行列式变号.证明证明：（数学归纳法证明）（见课本数学归纳法证明）（见课本Page 9）n=2时，显然成立；假设对时，显然成立；假

4、设对n-1阶行列式也成阶行列式也成立，下证对立，下证对n（2）阶行列式）阶行列式也成立也成立设原设原n阶行列式为阶行列式为D,D1为交换为交换D的第的第i行与第行与第j行之后的行之后的行列式，由于行列式，由于n2，故除了交换的第，故除了交换的第i行与第行与第j行，还有行，还有一个第一个第k行，分别对行，分别对D1和和D按第按第k行展开：行展开：根据假设，根据假设，故有故有推论推论推论推论行列式中如果有两行（列）元素对应成比行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零推论推论推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

5、列式为零.证明：证明：互换相同的两行，有互换相同的两行，有 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论推论推论把行列式把行列式 按第按第 行展开有行展开有证明证明把行列式中的把行列式中的 换成换成 可得可得相同相同同理同理命题得证命题得证关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质（列）（列）（行）（行）性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则行列式等于下列两个行列式之和：则行列式等于下列两个行列

6、式之和：例例性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用运算把行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值二、计算举例二、计算举例二、计算举例二、计算举例计算行列式的原则：计算行列式的原则：尽量将行列式化为上（下）尽量将行列式化为上（下）三角形式三角形式n阶行列式的一般计算方法（阶行列式的一般计算方法（n!项代数和）项代数和）计算量非计算

7、量非常大常大n n阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零相同，则此行列式为零.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素

8、成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和.性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变例例1 1解解例例2 2解解每行所有元每行所有元素和均相同素和均相同例例3 3解解爪形爪形结构结构例例4 4解解爪形爪形结构结构例例5 5例例6 6计算范德

9、蒙德计算范德蒙德(Vander monde)行列式行列式将前一行乘以将前一行乘以 加到下一行上加到下一行上解解（从下往上）（从下往上）按第一列展开，并把每一列的共因子按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有提出，有 n n-1 1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式解解每一行提取各行的公因子每一行提取各行的公因子，于是得到，于是得到例例7 7计算计算 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知德蒙行列式知例例8 8 递归法递归法 求行列式求行列式因此因此计算行列式技巧：计算行列式技巧：1 1、分析，探求行列式的结构、分析，探求行列式的结构2 2、化零，尽可能把行列式化为爪型、化零，尽可能把行列式化为爪型4 4、边为、边为0 0，把行列式化为三角形行列式，把行列式化为三角形行列式3 3、对角化、对角化 ，边化，边化 5 5、求出行列式、求出行列式6 6、整理思路、整理思路三、小结三、小结三、小结三、小结多做题目、总结规律、灵活应用多做题目、总结规律、灵活应用