材料力学圆轴扭转内力、应力.ppt

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1、扭扭转转的的概概念念，扭扭转转内内力力，薄薄壁壁圆圆筒筒的的扭扭转转，剪剪切切虎虎克克定定律律,圆圆轴扭转时横截面上的应力。轴扭转时横截面上的应力。教学要求：教学要求：1 1、理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；2 2、掌握扭转内力掌握扭转内力扭矩与扭矩图；扭矩与扭矩图；3 3、掌握切应力互等定理、剪切胡克定律；掌握切应力互等定理、剪切胡克定律；4、掌握圆轴扭转时横截面上的应力掌握圆轴扭转时横截面上的应力重点：重点：扭转内力、应力。扭转内力、应力。难点：难点：切应力互等定理的证明。切应力互等定理的证明。学时安排：学时安排：2 2教学内容：

2、教学内容：MechanicofMaterials第八讲的第八讲的内容、要求、重难点内容、要求、重难点1目录目录第三章第三章 扭扭 转转 3.1 3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例和和实实例例3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 3.33.3 纯剪切纯剪切 3.4 3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials第八讲内容目录第八讲内容目录2 3.1 3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例汽车传动轴汽车传动轴MechanicofMaterials3汽车方向盘操纵杆汽车方向盘操纵杆MechanicofMaterials3.1

3、扭转的概念和实例扭转的概念和实例4请判断哪一杆件请判断哪一杆件将发生扭转？将发生扭转？拧紧螺母的工具拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，杆不仅产生扭转，而且产生剪切。而且产生剪切。MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例5MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例6请判断哪一杆件将发生扭转？连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例7请判断哪一部件将发生扭转？唱机的心轴将产生扭转。MechanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例8M

4、echanicofMaterials3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例9变形特征：变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。的转动。受力特征：受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。扭转角扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。MechanicofMaterials

5、3.1扭转的概念和实例扭转的概念和实例101 1、直接计算、直接计算一一.外力偶矩外力偶矩 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials112 2、按输入功率和转速计算、按输入功率和转速计算电机输入功率为电机输入功率为P(KW),P(KW),每秒作功：每秒作功：外力偶外力偶m使轴以使轴以n（r/min）转动，转动，m每秒每秒作功：作功：3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图其其中中P P为为功功率率，单单位位为为千千瓦瓦（kWkW）；n n为为轴轴的的转转速速，单单位位为为转转/分（分（r/minr/min）。）。

6、如果功率如果功率P P的单位用马力（的单位用马力（1 1马力马力=735.5=735.5 W=0.W=0.73557355 k kW W ），），则则MechanicofMaterialsm12mm 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图二、扭矩二、扭矩T T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为横截面上产生的内力，称为扭矩扭矩T T，单位为，单位为kNkNm m或或N Nm mMechanicofMaterials扭矩正负规定扭矩正负规定:右手螺旋法则右手螺旋法则右手四指与扭矩转向一致，右手四指与扭

7、矩转向一致，拇指指向外法线方向为拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)TmmmmTT=mTT=-m13三、扭矩图三、扭矩图diagramoftorsionmoment)：表征扭矩沿杆长的：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials14 圆圆轴轴受受有有四四个个绕绕轴轴线线转转动动的的外外加加力力偶偶，各各力力偶偶的的力力偶偶矩矩的的大大小小和和方方向向均均示示于于图图中中，其其中

8、中力力偶矩的单位为偶矩的单位为Nm，尺寸单位为尺寸单位为mm。试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。例题例题3-13-1 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials15解：解：1确定控制面确定控制面外加力偶处截面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面均为控制面2截面法求各段扭矩截面法求各段扭矩 3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials3建立建立Tx坐标系，画出扭矩图坐标系，画出扭矩图建建立立Tx坐坐标标系系，其其中中x轴轴平平行行于于圆圆轴轴的的轴轴线线，T轴轴垂垂直直

9、于于圆圆轴轴的的轴轴线线。将将所所求求得得的的各各段段的的扭扭矩矩值值，标标在在Mxx坐坐标标系系中中，得得到到相相应应的的点点，过过这这些些点点作作x轴轴的的平平行行线线，即得到所需要的扭矩图。即得到所需要的扭矩图。315630486（）（+）T（kN.m）x315315T3315486T1T216例例3-2 3-2 主动轮主动轮A A的输入功率的输入功率P PA A=36kW=36kW，从动轮，从动轮B B、C C、D D输出功率输出功率分别为分别为P PB B=P=PC C=11kW=11kW，P PD D=14kW=14kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min.n=300r/min

10、.试画试画出传动轴的扭矩图出传动轴的扭矩图MechanicofMaterials从最外母线看，外力偶切线方向与从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。扭矩图从左到右突变方向相同。3.23.2外力偶的计算外力偶的计算 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图MechanicofMaterials17一、一、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转壁厚（r0：为平均半径）（一）、实验：（一）、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线、圆周线；绘纵向线、圆周线；3.3纯剪切纯剪切施加一对外力偶施加一对外力偶m。MechanicofMaterials2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线倾斜纵向线倾斜3.

11、结论：结论：圆筒表面的各圆周线的圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改形状、大小和间距均未改变变，只是绕轴线作了相对转动。，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均各纵向线均倾斜倾斜了同一微小角度了同一微小角度 。所有矩形网格均所有矩形网格均歪斜歪斜成同样大小的平行四边形。成同样大小的平行四边形。18圆周线间圆周线间距离不变距离不变变形沿圆周变形沿圆周切线方向切线方向表面纵线倾斜表面纵线倾斜,所有小矩形都歪所有小矩形都歪斜成平行四边形斜成平行四边形每个小矩形每个小矩形的变形相同的变形相同3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterials lr横截面上横截面上无正应力无正应力圆周线的圆周线的

12、形状、形状、大小均未改变大小均未改变 沿半径方向沿半径方向也无切应力也无切应力 左右两个截面间产生左右两个截面间产生了相对的转动了相对的转动，截截面上有切应力面上有切应力存在存在.横截面上横截面上同一圆周上各点的切同一圆周上各点的切应力应力都是都是相等相等的的切应力切应力沿圆周的切线方向沿圆周的切线方向,即即垂直垂直于半径方向，于半径方向，与扭矩转向一致与扭矩转向一致4.与与 的关系：的关系：T19二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterials dAT20三、切应力互等定理：三、切应

13、力互等定理：上式称为为切应力互等定理切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线指向或共同背离该交线3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterialsTT点右截面点右截面点左截面点左截面单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。acddxb dy tz单元体：围绕所研

14、究的截取的边长为无限小的直六面体。单元体：围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体。21四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：T=m剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系，切应力与切应变成正比关系:G是材料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，因，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值值约为约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质

15、的三是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：3.3纯剪切纯剪切MechanicofMaterials22一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路MechanicofMaterials（一）几何方面：（一）几何方面：1 1、变形后，横截面大小、变形后，横截面大小、形状均不改变，半径仍为直形状均不改变，半径仍为直线。（应力垂直半径）线。（应力垂直半径）2 2、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力）、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力）扭转时，圆轴的表面扭转

16、时，圆轴的表面变形和薄壁圆筒表面变形变形和薄壁圆筒表面变形相似。相似。实验现象：实验现象：3 3、平面假定：平面假定：圆轴受扭发生变形后，横截面仍保持平面，圆轴受扭发生变形后，横截面仍保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。两相邻横截面刚性地相互转过一角度。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力23MechanicofMaterials切应力互等定理切应力互等定理（二）物理方面（线弹性范围内）（二）物理方面（线弹性范围内）（三）静力学方面（三）静力学方面3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力24距圆心为距圆心为 任一点处任一点处的的 与到圆心与到圆心的距离的

17、距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率。1 1、变形协调方程推导、变形协调方程推导应变、应力分布规律应变、应力分布规律 设到轴线任意远设到轴线任意远 处的剪应变为处的剪应变为（），则有如下几何关系：），则有如下几何关系：MechanicofMaterials2 2、物性关系、物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律、3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力二、圆轴扭转应力公式推导二、圆轴扭转应力公式推导25MechanicofMaterials3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力263.静力学方程：静力学方程：OdA令3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面

18、上的应力MechanicofMaterials物理关系式物理关系式27横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：GIP扭转刚度；扭转刚度；仅适用于各向同性、线仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。等圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。IP极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMater

19、ialsO28单位：单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterialsdDOd对于空心圆截面：29应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterial

20、s30确定最大切应力：确定最大切应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：3.4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials313-4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials例例3-3图示圆轴，图示圆轴，D=100mm，m=14kNm。解：（解：（1）由求扭转切应力的公式知：）由求扭转切应力的公式知：（3）切应力沿半径线性分布，且各点的切应力均垂直于半径；再）切应

21、力沿半径线性分布，且各点的切应力均垂直于半径；再根据切应力互等定理，可画出如图所示的纵向面根据切应力互等定理，可画出如图所示的纵向面oabc上切应力沿半上切应力沿半径径oa的分布规律。表面无切应力。的分布规律。表面无切应力。试求：试求：(1)1-1截面上截面上B、C两点的切应力。两点的切应力。（2）画出图）画出图(b)所示的横截面及纵向截面所示的横截面及纵向截面oacb上切应力沿半径上切应力沿半径oa的分布规律。的分布规律。=032例3-4 已知：已知：P P7.5kW,n=100r/min,7.5kW,n=100r/min,最大切最大切应力应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴

22、的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 =0.5=0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求:实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解解（1 1）由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴3-4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials空心轴空心轴d d2 20.50.5，D D2 2=23 mm=23 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：（2 2）（3

23、3）33P.1013-1c、2 作业34应力分布应力分布应力公式应力公式观察观察变形变形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程确定横截面上切应力确定横截面上切应力的方法与过程的方法与过程3-4圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力MechanicofMaterials35讨论题2Me2MeMeMe-36试根据切应力互等定理，判断图中所示的各试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。单元体上的切应力是否正确。30kN373、指出图中各轴哪些产生扭转变形？、指出图中各轴哪些产生扭转变形？4、试分析图中所示扭转切应力分布规律哪个正确、试分析图中所示扭转切应力分布规律哪个正确385、变截面轴的最大扭转切应力是否一定发生最大扭矩、变截面轴的最大扭转切应力是否一定发生最大扭矩的截面上，为什么？的截面上，为什么？，6、空心圆轴，外径D、内径d，其极惯性矩IP和抗扭截面模量WP是否可按下式来计算？正确：正确：39