1.1.1变化率问题.1ppt.ppt

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1、1.1 变化率与导数变化率与导数一创设情景一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产生了微积分微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数导数是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数导数研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度对于另一个变量变化的快慢程度姚明身高变

2、化曲线图姚明身高变化曲线图(部分部分)2.262.12年龄年龄身高身高4710131619220.81.61 在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?播放暂停停止探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，的图像，结合图形可知，所以，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为 ，但实际情况是运动员仍然，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态能精确描述运动

3、员的运动状态thO思考思考1 1：你能你能给给出函数出函数 f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均的平均变变 化率的定化率的定义吗义吗？函数函数 f(x)从从x1到到x2的的平均平均变变化率化率为为习惯上：x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为x是一个相对于是一个相对于x的变化量的变化量,可正可负可正可负,但不能为但不能为0.不一定不一定,平均变化率可正、可负、可为零平均变化率可正、可负、可为零.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与自变量的改变量之比说明：平均变化率平均变化率为为

4、:思考思考2：平均平均变变化率有什么几何意化率有什么几何意义义呢？呢？平均变化率的几何平均变化率的几何意义就是意义就是函数函数f(x)图像上两点图像上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)所在直所在直线的斜率。线的斜率。直线直线AB的斜率的斜率AB典典题题例例证证技技法法归归纳纳例例例例1 1变式训练变式训练1.(1)计算函数计算函数f(x)x2从从x1到到x1x的平均变化率的平均变化率,其中其中x的值为的值为:2;1;0.1;0.01;(2)当当x越来越小时越来越小时,函数函数f(x)在区间在区间1,1x上的平均变化率有上的平均变化率有怎样的变化趋势？怎样的变化趋势？例例例例2 2变式训

5、练变式训练本例条件不变本例条件不变,求求:(1)物体在物体在t10 s到到t10.1 s,这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度;练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.A作业：作业：(1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2(2)解：

6、解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2 2.我想进一步探究的问题是我想进一步探究的问题是1.这节课我的收获是这节课我的收获是小结：小结：3.这节课我最感兴趣的地方是这节课我最感兴趣的地方是小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：（1）1,3;（2）1,2;（3）1,1.1;（4）1,1.001;（5）1,1.0001;一一运运动动质质点点的的位位移移S与与时时间间t满满足足S(t)=t2,分分别别计计算算S(t)在下列区间上的平均变化率在下列区间上的平均变化率.(位移单位为位移单位为m,时间单位为时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）0.999,1;（7）0.99,1;（8）0.9,1.2.0001练练一一练练 如何刻画如何刻画t=1这一时刻这一时刻质点运动的快慢程度呢？质点运动的快慢程度呢？思考：思考：