计量经济学简单回归模型课件.ppt
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1、第二章 简单回归模型2.1简单回归模型的定义简单回归模型(即一元线性回归)用来研究两个变量之间的关系。y和x是两个代表某个总体的变量,我们感兴趣的是用x来解释y,或研究y如何随x而变化。在建立计量经济学模型前,我们会面临三个问题:y y和和x x的函数关系是怎样的呢?的函数关系是怎样的呢?我们应该如何考虑其他影响我们应该如何考虑其他影响y y的因素呢?的因素呢?我们何以确定我们在其他条件不变的情况下刻画了我们何以确定我们在其他条件不变的情况下刻画了y y和和x x之间的关系之间的关系?术语注解y 通常被称通常被称为:DependentVariable因变量Left-HandSideVariab
2、le左边变量ExplainedVariable被解释变量ResponseVariable响应变量PredictedVariable被预测变量Regressand回归子x通常被称通常被称为:IndependentVariable自变量Right-HandSideVariable右边变量ExplanatoryVariable解释变量Regressor回归元ControlVariable控制变量PredictorVariable预测变量Covariate协变量术语注解例一个简单的工资方程 wage=b b0+b b1 educ+u上述简单工资函数描述了工资和受教育年限,以及其他不可观测因素u之间的关
3、系.b1 衡量的是,在其他因素(包含在误差项u里面)不变的情况下,多接受一年教育,可以增加多少工资.其他因素包括:劳动力市场经验、内在的能力、目前所从事工作的工龄、职业道德,以及其他许多因素。包含在u中.几点说明简单回归模型的一个重要假定:零条件均零条件均值假定假定 ZeroConditionalMeanAssumption一个重要问题在简单回归模型中,y=b0+b1x+u,b1衡量的是,在其他因素(包含在误差项u中)不变的情况下,x对于y的影响(ceterisparibuseffectofxony).y=b1x,if u=0l但是,在实际中,包含于误差项u中的其他因素往往是不确定的,也就是说
4、,u是一个随机变量。一个重要问题l如果我们忽略包含于误差项u中的其他因素,能否通过简单回归模型,得到x对于y的其他因素不变情况下的影响(ceterisparibuseffectofxony)呢?l不能。l需要对u和x的关系作出假定,或者是说,假定x与y的关系符合一定的条件,才能通过上述模型估计x对于y的其他因素不变情况下的影响(ceterisparibuseffectofxony)。关于关于u的一个的一个简单假定假定假定总体(population)中误差项u的平均值为零,即:E(u)=0(2.5)Isitveryrestrictive?该假定对于模型是否具有很大的限制性呢?关于u的一个简单假定
5、:一个例子只要简单回归模型中包含常数项,我们总可以等价变换,使得误差项u均值为0举一个例子:对于一个简单回归模型:y=b0+b1x+u,(a)假如E(u)=1,则可以进行如下变换:y=(b0+1)+b1x+(u-1)=b0+b1x+u (b)这里,E(u)=E(u-1)=E(u)-1=0.上述推导说明,我们总可以通过调整常数项b0,来实现误差项u的均值为零,因此,假定E(u)=0,对于模型的限制性不大。ZeroConditionalMeanAssumption零条件均值假定单纯对u作出零值假定是不够的。我们需要对u和x之间的关系做一个关键假定。我们所希望的状况是,u的期望值不依赖于x的数值,也
6、就是,无论x的取值是多少,u的期望值不变。即:E(u|x)=E(u)换句话说,我们需要u 和x 完全不相关。零条件期望假定在前面我们已经假定了E(u)=0,因此,零条件均值假定可以表述为:E(u|x)=E(u)=0(2.6)Whatdoesitmean?该假定是何含义?零条件均值假定:例1在简单工资-教育方程中:工资=b0+b1 教育年限+u假定u 代表“内在能力”,零条件均值假定则表示,E(内在能力|教育年限=6)=E(内在能力|教育年限=18)=E(内在能力)即:对于不同教育年限的人,他们的内在能力的平均值相同。零条件均值假定:例2假设期末成绩分数(score)取决于出勤次数(attend
7、),以及其他不可观测的因素u。则可以写出一个简单二元回归模型,成绩=b0+b1 出勤次数+u假定u 代表“心理素质”,零条件均值假定则表示,E(心理素质|出勤次数=1)=E(心理素质|出勤次数=18)=E(心理素质)即:对于不同出勤次数的同学,他们的心理素质的平均值相同。零条件均值假定:对b1的另一种解释对于简单二元回归模型:y=b0+b1x+u对y求关于x的条件期望,则E(y|x)=E(b0+b1x+u)|x =b0+b1x+E(u|x)注:E(b1x|x)=b1x由零条件均值假定E(u|x)=0,得E(y|x)=b0+b1x.该方程是x的线性函数,即y对于x的条件期望是x的线性函数。又称总
8、体回归函数(Populationregressionfunction,PRF)b1表示,在零条件均值假定的条件下,相对于x的一个单位的变化,y的期望值的变化数量.x1=1x2=2E(y|x)=b0+b1xyE(y|x=x2)E(y|x=x1)总体回归线(PRF):E(y|x)=b0+b1xx2.2普通最小二乘法(OLS)的推导普通最小二乘法(OLS)的推导:方法一:矩估计方法零条件均值假定:E(u|x)=E(u)=0有两个意义:(1)E(u)=0(2)E(u|x)=E(u),根据本书附录中条件期望性质5(PropertyCE.5,p.719),由(2)可得:Cov(u,x)=0因为:Cov(u
9、,x)=E(u-E(u)x-E(x)=E(ux)-E(u)E(x)=E(ux)由(1)得故有:E(ux)=0总体矩条件假定对于一个总体(population),存在简单回归方程:y=b0+b1x+u假定零条件均值假定成立:E(u|x)=E(u)=0于是有:(1)E(u)=0,(2)E(ux)=0将u=y-b0-b1x代入上述等式(1)(2):(3)E(y-b0-b1x)=0(4)Ex(y-b0-b1x)=0(3)(4)称为总体的矩条件。将总体矩条件应用于样本从总体中随机抽取一个样本容量为n的随机样本,用(xi,yi):i=1,n,i表示单个样本(observation)的编号,n是样本总量。x
10、i,yi表示第i个样本的相应的变量。每一观测样本i均应满足:yi=b0+b1xi+ui将前面所假定的总体矩条件(3)(4)应用于样本中,这种方法称为矩估计法(method of moments).选择参数值b0,b1,使得样本的矩条件成立与总体中的矩条件(3)(4)相对应,在样本中相应的矩条件(samplecounterparts)为:现在的问题就是,通过选择参数值,使得样本相应的矩条件(3)(4)成立。即:求解关于的方程组(3)(4)。普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推导根据样本均值的定义以及加总的性质,可将第一个条件变换为代入到第二个矩条件中,普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推导因此,
11、OLS估计的斜率为关于OLS斜率估计量斜率估计量b1等于样本中x和y的协方差除以x的方差。若x和y正相关,则斜率为正;反之,为负。唯一需要假定的是,x的样本方差不为零,或者说,在样本中,x的观测值必须要有变化。拟合值(fittedvalue)与残差(residual)用样本观测值估计出的回归方程的参数记作根据样本估计参数值和样本观测值xi,我们可计算相应的yi的拟合值(fittedvalue):实际样本观测值yi与其拟合值之间的差值,称为残差残差(residual).它可以看作是利用样本回归后,估计出来的误差项。样本回归函数(sampleregressionfucntion,SRF)同时,根据
12、特定样本估计出的参数,我们可以写出一个与总体回归函数(PRF)相对应的样本回归函数(sampleregressionfucntion,SRF):对于一个特定的总体而言,总体回归函数(PRF)是固定的,是未知的。样本回归函数(SRF)则是根据实际的样本数据回归所得到的,是总体回归函数(PRF)的一个估计形式。它随着样本的不同而不同。用不同的方法所得到的样本回归函数,可能也会有差异。家庭人均消费=395.96+0.48 家庭人均收入2003年四川省农户调查样本,n=100;消费和收入单位:元.y4y1y2y3x1x2x3x41234xy理解:样本回归线,样本数据点和残差y3关于OLS的一点说明残差
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