正项级数的审敛准则.ppt

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1、第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数常数项级数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数第第1 1节节 常数常数项级数项级数1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则1.2 1.2 正项级数的

2、审敛准则正项级数的审敛准则1.充要条件充要条件 2.比较法比较法4.比值法比值法5.根值法根值法3.积分积分审敛审敛法法定义定义:这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.正项级数的特性正项级数的特性1.1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定理定理1.21.2注证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界2.比较比较审敛审敛法法定理定理1.31.3(比较准则比较准则I)I)不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法比较审敛法:须有参考级数须有参考级数.例例1证明证明例例2解解由图可知由图可知重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-P-级数级数,调和级数调和级数.再次强

3、调：再次强调：例例3解解3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nna与与 =1nnb都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnb发散发散,则则 =1nna发散发散;定理定理1.4 1.4(比较准则比较准则II)II)证明证明由比较判别法的推论由比较判别法的推论,得证得证.原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.解解由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.解解?4.柯

4、西积分审敛法柯西积分审敛法定理定理1.51.5(积分准则积分准则)证明证明由图可知由图可知例例5 5 试证级数试证级数，当时收敛；当时收敛；当时发散。时发散。连续且单调减小（因为连续且单调减小（因为）证 设则函数则函数在区间在区间上满足上满足当 时当时发散注证明证明比值比值审敛审敛法的优点法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.注解解例例5 5 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:6.根值审敛法根值审敛法(柯西柯西审敛审敛法法)级数级数 收敛收敛.反之未必反之未必!小结小结正项级数敛散性的正项级数敛散性的六个判敛散定理六个判敛散定理2 22 2证明证明二、判敛散性二、判敛散性解解再用比值法或根值法！再用比值法或根值法！7.7.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: