数值分析1学习.pptx

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1、教材教材应用数值分析应用数值分析 郑咸义等郑咸义等 编著编著 （华南理工大学出（华南理工大学出版社）版社）参考书目 Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)David Kincaid&Ward Cheney（机械工业出版社)Numerical Analysis (Seventh Edition)Richard L.Burden&J.Douglas Faires （高等教育出版社）第1页/共554页 数值分析的研究对象数值分析的研究对象n 数值分析属于计算数学的范畴，是数学的一个分支，也称为数值计

2、算方法、计算方法、数值方法等。n 其研究对象是求解各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科。n 它是科学与工程计算（科学计算）的基础。第2页/共554页许多科学与工程实际问题（如：核武器的研制、导弹的发射、气象预报等）的解决都离不开科学计算。目前，理论、试验、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。数值分析的研究对象数值分析的研究对象第3页/共554页 科学计算的过程，是从数学模型的提出到上机计算得出结果的完整过程。（下图表明了其中的图表明了其中的主要步骤主要步骤和和相互关系相互关系 ）数学化离散化程序化数学模型数值算法编制程序上机运行输出结果实际问题 数值分析研

3、究的对象数值分析研究的对象第4页/共554页 数值分析研究的对象数值分析研究的对象 n 数值分析是数学、计算机科学与其他学科数值分析是数学、计算机科学与其他学科交叉交叉的产物的产物。n 本门课程将着重介绍进行本门课程将着重介绍进行科学计算科学计算所所必须掌握的一些最基本、最常用的必须掌握的一些最基本、最常用的数值方数值方法法（数值算法），并作相关分析（数值算法），并作相关分析。第5页/共554页数值分析的任务数值分析的任务 对典型的数学问题给出数值求解方法对典型的数学问题给出数值求解方法(近似方法近似方法)，并对算法进行理论分析，使，并对算法进行理论分析，使得其能够在计算机有效地得以实现。得其

4、能够在计算机有效地得以实现。数值算法的数值算法的构造构造 算法的理论算法的理论分析分析第6页/共554页数值分析的任务数值分析的任务 针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效行之有效 的计算公式（数值算法）。例：解线性方程组，已有Cramer法则，但不可行。数值算法的分析，主要包括误差分析误差分析（数值问题的性态，数值方法的截断误差、舍入误差和稳定性、收敛性等）和复杂性分析复杂性分析（计算量、存储量）。第7页/共554页课程课程目的目的 学习一些常用的数值方法，掌握 数值方法的基本理论，为进一步 研究和使用更复杂的数值算法奠定 基础。初步掌握一种科学计算软件包 （如Matlab）的使用方法。

5、第8页/共554页课程主要内容课程主要内容u 插值方法；u 曲线拟合与函数逼近；数值逼近u 数值积分与数值微分；u 线性代数方程组数值求解的直接法；u 线性代数方程组数值求解的迭代法；数值代数u 非线性方程与方程组数值求解；u 常微分方程数值求解。Matlab 简介第9页/共554页第一章第一章 绪绪 论论主要内容：u 一些常用概念；u 数值算法的复杂度与稳定性。u 数值计算中的误差；u 数值算法设计的若干原则；第10页/共554页 1.1.数值分析中常用的一些概念数值分析中常用的一些概念 F 数值问题F 数值解F 算法F 计算量F 病态问题F 算法数值稳定性第11页/共554页 数值问题、数

6、值解数值问题、数值解 、算法、算法 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。由数值计算公式算出的数值形式的解(通常由计算机计算得到)称为数值解。一般数值解是近似解。由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为数值算法（简称算法）。第12页/共554页 计算量计算量一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率，通常算法的计算量越小

7、，则算法的计算效率越高，因而该算法也越好。由于计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法的时间。例:设A，分别为1020，2050，5010的矩阵，计算 D=ABC 就有如下不同的算法和计算量 算法1：D=(AB)C 计算量 N1=15000 flop;算法2：D=A(BC)计算量 N2=12000 flop.第13页/共554页 病态问题病态问题因初始数据的微小变化，导致解产生剧烈变化问题称为病态问题。病态问题也称为坏问题，这类问题通常是问题本身固有的。求解病态问题应该特别注意，因为实际问题的数据都是近似的或经计算机计算要对输入数据做舍入处理，这都引起原始数据的扰动，若所

8、求解的正好是个病态问题，则采用通常算法计算就会出现很隐蔽的错误，导致不良的后果。病态问题在函数计算、方程求根及方程组求解中都是存在的，它的计算或求解应用专门的方法或将其转化为非病态问题来求解。第14页/共554页 例例：病态的方程组病态的方程组考察方程组和 上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同：一个是 ，一个是 。这类方程组称为病态的。第15页/共554页算法的数值稳定性算法的数值稳定性在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为数值稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。数值不稳定算法会导致计算结果失真，对数值不稳定的算法常采用转化成

9、相应的数值稳定的算法来处理。第16页/共554页 2.2.对算法所要考虑的问题对算法所要考虑的问题1.计算速度。计算速度。例如，求解一个20阶线性代数方程组，若用克莱姆法则要进行约 次乘法运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。而用Gauss消去法只需约3000次乘法运算，用普通微机1秒之内便可算出结果。2.存储量。大型问题有必要考虑。3.收敛性。不收敛的算法无使用价值。4.数值稳定性。在大量计算中，舍入误差的积累能否控制住，这与算法有关。第17页/共554页3.3.数值计算中的误差数值计算中的误差来源及种类-模型误差、参数误差、截断误差、舍入误差。1.模型误差（也称描述误差）模型误差

10、（也称描述误差）模型误差是在建立数学模型时，由于忽略了一些次要因素而产生的误差，它是数学建模阶段要考虑的误差，不是计算方法可以解决的。2.参数误差（也称观测误差）参数误差（也称观测误差）测量已知参数时，数据带来的误差，它也不是计算方法能解决的问题。第18页/共554页 数值计算中的误差数值计算中的误差3.截断误差（也称方法误差）截断误差（也称方法误差）截断误差是对参与计算的数学公式做简化可行处理后所产生的误差（用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法），即数学模型的数值解与精确解之间数值解与精确解之间的误差的误差，是计算方法关注的内容。（举例：P6sinx=）4.舍入误差（

11、也称计算误差）舍入误差（也称计算误差）舍入误差是由于计算机只能表示有限位数字，因而只能取取有限位数进行计算所得的误差有限位数进行计算所得的误差，它也是计算方法关注的内容。（举例：）第19页/共554页 数值计算中的误差数值计算中的误差误差的基本概念绝对误差-近似数x*关于准确数x 的绝对误差：E(x)=xx*（或E(x*)=xx*）-近似数x*关于准确数x 的绝对误差限：E(x)=xx*-工程上表示准确数x 的范围：x*x x*+或x=x*-函数值的绝对误差：Ef(x)f(x)E(x)（利用微分中值公式导出）举例：f(x)=x3第20页/共554页数值计算中的误差数值计算中的误差相对误差-近似

12、数 x*关于准确数 x 的相对误差：-函数值的相对误差限：-近似数x*关于准确数x 的相对误差限：第21页/共554页 数值计算中的误差数值计算中的误差有效数字-用 x*表示 x 时准确到小数点后第k 位：-近似数x*具有n 位有效数字：举例第22页/共554页 数值计算中的误差数值计算中的误差有效数字与相对误差的关系 -n 位有效数字的近似数 x*其相对误差：-相对误差为的近似数x*至少具有n 位有效数字。注：在未标明近似数的绝对误差时默认该近似数准确到末位数字，从其最左边的非零数字起直到最右边的一位数字止均为有效数字。第23页/共554页 4.4.数值计算中应注意的几个问数值计算中应注意的

13、几个问题题若干原则-注意简化计算步骤，减少运算次数；（例：秦九韶算法)避免两个相近的数相减，减少有效数字的损失；（例）使用数值稳定的算法;（例:习题1.16）小心处理病态的数学问题；第24页/共554页复习题习题1.1(3)(4)、1.2、1.3、1.4、1.6、1.9(1)、1.15、1.16第25页/共554页2.1 插值问题的提出第二章 函数近似计算的插值法第26页/共554页插值问题的提出第27页/共554页插值：已知a,b上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x求简单函数P(x)，使得计算f(x)可通过计算P(x)来近似代替。如下图

14、所示。yxx0 x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnP(x)f(x)一、插值问题的数学提法第28页/共554页这就是插值问题,(*)式为插值条件,其插值函数的图象如图第29页/共554页（截断误差）第30页/共554页整体误差的大小反映了插值函数的好坏.为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式或有理函数.本章讨论的就是(代数)多项式插值.第31页/共554页1.满足插值条件的多项式P(x)是否存在且唯一？2.若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x);即插值多项式的常用构造方法有哪些？3.用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误

15、差的估计；对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：4.当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于f(x)。第32页/共554页二、插值多项式的存在唯一性且满足第33页/共554页-(1)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式第34页/共554页定理1.由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解-(3)-(2)则满足插值条件的次数n 的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法.第35页/共554页 2.2 Lagrange插值多项式第二章 函数近似计算的插值法第36页/共554页若通过求解线性方程

16、组(1)来求解插值多项式系数,不但计算工作量较大,且难于得到的简单表达式.一、代数多项式的构造:可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式!十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式，称为Lagrange插值公式。它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。Lagrange插值多项式第37页/共554页1.线性插值已知两个插值点及其函数值：xx0 x1f(x)f0f1插值节点对应的函数值求一次多项式使得由于方程组的系数行列式第38页/共554页所以，按Gramer法则，有唯一解于是或(B-1）第39页/共554页容易验证，过点（x0，f0）与（x

17、1，f1）直线方程就是式（B-1），如图2-3所示。yxx0 x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)误差图2-3第40页/共554页2.抛物线插值已知三个插值节点及其函数值：f2f1f0f(x)x2x1x0 x求一个二次多项式使得由于该方程组的系数行列式第41页/共554页所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。容易看出（B-2）容易验证，P2(x)是过点(x0,f0)、(x1,f1)与(x2,f2)三点的抛物线，如图2-4所示。yxx1x0 x2P2(x)f(x)图2-4f0f1f2第42页/共554页3.n 次Lagrange插值

18、已知n+1个插值节点及其函数值：fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x插值节点相应的函数值求次数不超过n 的多项式Pn(x)。使得第43页/共554页根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的且在不同的基下有不同的形式第44页/共554页且满足插值条件:第45页/共554页n+1次多项式第46页/共554页且-(4)从而第47页/共554页令即由(4)式,可得第48页/共554页其中-(6)-(5)第49页/共554页其中这个改写了的Lagrange插值公式，在许多理论分析中是比较有用的。Lagrange插值公式的标准型公式:第50页/共554页例1:解:第51页/共554页且在例1中,如果

19、只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,也就是Lagrange线性插值.第52页/共554页Lagrange线性插值基函数(一次插值)为Lagrange线性插值多项式为第53页/共554页例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为第54页/共554页所以第55页/共554页二、插值余项满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？第56页/共554页则成立第57页/共554页根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于第58页/共554页所以因此即第59页/共55

20、4页定理1.Lagrange型余项n=1:n=2:第60页/共554页设则第61页/共554页插值基函数的性质第62页/共554页Lagrange插值算法特点&局限性 优点：公式简洁,理论分析方便 直观；对称；容易编程上机等。缺点：基函数计算复杂，计算量大每增加一个节点，插值多项式的所有系数都得重算；计算量为。下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。第63页/共554页第二章 函数近似计算的插值法 2.3 Newton插值法引例:用承袭性算法 求P64 例2.5.2 中 N3(x)第66页/共554页 均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对La

21、grange插值公式给出新的表达形式，这就是Newton插值公式。一、均差二、Newton插值公式 2.3 Newton插值法第67页/共554页我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？引入差商(均差)的目的第68页/共554页显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数第69页/共554页有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商的概念第70页/共554页一、差商(均差)定义1.称依此类推称第71页/共5

22、54页差商具有如下性质(证明略)：显然第72页/共554页(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变如第73页/共554页差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表第74页/共554页二、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为例:P64例2.5.2求N3(x)第75页/共554页称定义3.由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为为k次多项式第76页/共554页因此可得第77页/共554页因此得到性质：第78页/共554页第79页/共554页Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是Lagrange插

23、值无法比的.另外,Newton插值多项式需要除法次,及n次乘法,大约比Lagrange公式节省3到4倍工作量.第80页/共554页第二章 函数近似计算的插值法 2.4 Hermite插值法第82页/共554页 2.4 Hermite插值法Lagrange插值虽然构造比较简单，但插值曲线只是在节点处与原函数吻合，若还要求在节点处两者相切，即导数值相等，使之与被插函数的”密切”程度更好，这就要用到带导数的插值.-(1)第83页/共554页-(2)第84页/共554页定义1.称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值，称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式，记

24、为,为多项式次数.一、两点三次Hermite插值先考虑只有两个节点的插值问题第85页/共554页希望插值系数与Lagrange插值一样简单重新假设第86页/共554页其中可知由第87页/共554页可得Lagrange插值基函数第88页/共554页类似可得即将以上结果代入第89页/共554页得两个节点的三次Hermite插值公式第90页/共554页二、两点三次Hermite插值的余项两点三次Hermite插值的误差为第91页/共554页构造辅助函数均是二重零点连续使用4次Rolle定理，可得，使得第92页/共554页即所以,两点三次Hermite插值的余项为以上分析都能成立吗？第93页/共554

25、页第94页/共554页例1.解:第95页/共554页作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值第96页/共554页非标准情形举例P54 情形(承袭性构造法)例:P55例2.3.2解法二第97页/共554页第二章第二章 函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法 2.5 分段低次插值法第98页/共554页 2.5 分段低次插值法一、高次插值的龙格(Runge)现象(插值过程的收敛性问题)问题:所构造的插值多项式作为近似函数,是否的次数愈高,逼近的效果愈好,即利用高次插值多项式的危险性,在20世纪

26、初被Runge发现.第99页/共554页例子.并作图比较.解:第100页/共554页不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)第101页/共554页 在-2,2 上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.可以证明即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初由Runge发现.这表明:并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高.结论结论:不适宜在

27、大范围使用高次代数插值.第102页/共554页解决办法解决办法:分段低次插值;分段光滑插值;若从舍入误差分析,知当n7时,舍入误差亦会增大.可知,Runge现象是由f(x)的高阶导数无界所致.第103页/共554页二、分段线性Lagrange插值构造Lagrange线性插值1.分段线性插值的构造第105页/共554页-(1)-(2)显然,当时或者通过分段插值基函数的线性组合来表示:第106页/共554页其中且第107页/共554页也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则第108页/共554页由第二节定理1可知,n次Lagrange插值

28、多项式的余项为2.分段线性插值的误差估计第109页/共554页定理定理 第110页/共554页三、分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式第111页/共554页其中我们称为分段三次Hermite插值多项式，其余项为第112页/共554页例2.比较几种插值.我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和分段两点三次Hermite插值作比较解:即第113页/共554页f(x)0.800000.307690.137930.075470.04160H3(x)0.812500.307500.137500.075370.04159x0.51.52.53.54.8R3(x)=f(x)

29、-H3(x)-0.012500000000000.000192307692310.000431034482760.000099725794870.00001047427455L2(x)0.875000.325000.125000.072060.04087L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269第114页/共554页分段低次插值的特点:计算较容易可以解决Runge现象,可保证收敛性但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点,不可导优点优点:缺点缺点:第115页/共554页第二章第二章 函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法 2.6 样条函数及三次样条插值

30、第117页/共554页 2.6 三次样条插值样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具.样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数一、三次样条插值函数定义1.第118页/共554页-(1)第119页/共554页二、三次样条插值构造法三转角方法-(2)第120页/共554页-(3)-(4)第121页/共554页少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(一阶)边界

31、条件:第二类(二阶)边界条件:第三类(周期)边界条件:-(5)-(6)-(7)第122页/共554页加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即-(8)或常用第二类边界条件.第123页/共554页-(9)第124页/共554页加以整理后可得-(10)-(11)第125页/共554页由条件由于以上两式相等,得第126页/共554页-(12)(12)式称为基本方程组其中：第127页/共554页如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:-(5)-(5)基本方程组(12)化为n-1阶方程组-(13)即将(13)式化为矩阵形式第128页/共554页-(14)这是一个三对角方程组如果问题

32、要求满足第二类(二阶自然)边界条件:第129页/共554页由(11)式,可知-(15)-(16)第130页/共554页-(17)-(18)与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得-(19)第131页/共554页(19)式与(14)一样,都是三对角方程组,并且都严格对角占优可以使用追赶法求解,并且解是唯一的对于问题要求满足第三类(周期)边界条件请同学们自己思考现在回到(10)式第132页/共554页思考：定理.最后，给出一个有用的结论第133页/共554页 复习题 习题 2.26、2.27第134页/共554页第三章第三章 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 /函数平方逼近初步函数平方

33、逼近初步第135页/共554页曲线拟合问题:(建立试验数据的模型)在实际应用中，往往并不需要曲线通过给定的数据点，而只要求用曲线(函数)近似代替给定的列表函数时，其 误差在某种度量意义下最小。函数逼近问题:(连续函数的逼近)在实际应用中常需为解析式子比较复杂的函数寻找一个简单函数来近似代替它，并要求其误差在某种度量意义下最小。可统称为最佳逼近问题 3.1 拟合与逼近问题第136页/共554页一一.问题的提出问题的提出插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同，而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上

34、都有较好的近似，就是最佳逼近问题。必须找到一种度量标准来衡量什么是最佳逼近.第137页/共554页最佳一致逼近是在函数空间M中选P(x)满足但由于绝对值函数不宜进行分析运算，常替之以来讨论，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题这即为连续函数的最佳平方逼近.对于离散的问题，最佳平方逼近问题为:就是常说的曲线拟合的最小二乘法.最佳逼近最佳逼近第138页/共554页二.预备知识内积:第139页/共554页常采用的内积与范数第140页/共554页第141页/共554页第142页/共554页1.正交函数族与正交多项式 定义1若f(x),g(x)Ca,b,(x)为a,b上的权函数 且满足:则称f(x)与g

35、(x)在a,b上带权(x)正交。正交多项式 第143页/共554页若函数族 0(x),1(x),n(x),满足关系则称k(x)是a,b上带权(x)的正交函数族。例如，三角函数族 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,就是在区间-,上的正交函数族。第144页/共554页定义2设 n(x)是a,b上首项系数 an0的 n次多项式,(x)为a,b上权函数，如果多项式序列 满足关系式:则称为多项式序列为在a,b上带权(x)正交，称n(x)为a,b上带权(x)的n次正交多项式。第145页/共554页 只要给定区间a,b及权函数(x),均可由一族线性无关的幂函数1,x,xn,利用逐个正交化手续(

36、Gram-Schmidt正交化方法)：构造出正交多项式序列。第146页/共554页2.2.勒让德多项式 定义3当区间为-1,1,权函数(x)1时,由1,x,xn,正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式,并用 P0(x),P1(x)，Pn(x)，表示。这是勒让德于1785年引进的。1814年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式：第147页/共554页 由于(x2-1)n是2n次多项式，求n阶导数后得到于是得首项 xn的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为:第148页/共554页勒让德多项式有下述几个重要性质：性质1.正交性性质2.奇偶性 pn(-x)=(-1)n p

37、n(x)性质3.递推关系(n+1)pn+1(x)=(2n+1)xpn(x)-npn-1(x)(n=1,2,)(*)由p0(x)=1，p1(x)=x，利用(*)就可推出pn(x)的表达式:第149页/共554页性质4.pn(x)在区间-1，1内有n个不同的实零点。第150页/共554页实例：考察某种纤维的强度y与其拉伸倍数x的关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:一.实例讲解 3.2 曲线拟合(最小二乘法)第151页/共554页纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近-(1)第152页/共554页必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点

38、.二、问题的提法问题的提法第153页/共554页定义平方误差(偏差平方和):第154页/共554页我们选取的度量标准是-(2)-(3)使得第155页/共554页第156页/共554页三、法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数第157页/共554页由多元函数取极值的必要条件得即第158页/共554页-(4)即第159页/共554页引入记号则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律第160页/共554页方程组(4)便可化为-(7)将其表示成矩阵形式-(8)第161页/共554页并且其系数矩阵为对称阵.根据Cramer法则,法方程组有唯一解第162页/共554页即是的最小值

39、所以因此第163页/共554页作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第164页/共554页例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第165页/共554页法方程组为解得平方误差为第166页/共554页拟合曲线与散点的关系如右图:第167页/共554页四、加权最小二乘法各点的重要性可能是不一样的权:即权重或者密度，统称为权系数.定义加权平方误差为-(9)第168页/共554页使得第169页/共554页由多元函数取极值的必要条件得即第170页/共554页引入记号定义加权内积-(10)第1

40、71页/共554页矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-(11)-(12)第172页/共554页平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-(13)第173页/共554页五、最小二乘原理的其他应用1、算术平均：最小二乘意义下误差最小2、超定方程组的最小二乘解 P103 例3.3.3第174页/共554页 3.3 连续函数的最佳平方逼近1.最佳平方逼近问题-(14)第175页/共554页2.解法(法方程)-(15)第176页/共554页第177页/共554页第178页/共554页最小二乘法方法评注 曲线拟合的最小二乘法是实验数据处曲线拟合的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。最

41、佳逼近可以在一个区间上理的常用方法。最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数。具有方法简单易行，比较均匀的逼近函数。具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。实效性大，应用广泛等特点。但当法方程组阶数较高时，往往出现但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性（简介基本思想）。态性（简介基本思想）。第179页/共554页See you next chapter!复习题 P32 P32 例1 1.8 8.3 3习题 3.13.3、3.6、3.7、3.

42、9 3.13(1)、3.20第180页/共554页第四章第四章 微积分的数值计算方法微积分的数值计算方法第181页/共554页传统方法的困境数值积分的基本思想数值积分的一般形式代数精度问题求函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分 是微积分学中的基本问题。4.1 基本概念第182页/共554页对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:传统方法的困境第183页/共554页以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用!只能建立积分的近似计算方法-数值积分正是为解决这样的困难而提出来的，不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。第184页/共554页数值积分的基本思想

43、数值积分-是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形的面积，如图4-0所示，这就是-矩形公式：第185页/共554页图4-0 矩形规则yxa=x0 x1x2xixi+1xn-1xn=bf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)(1)第186页/共554页图4-1 梯形规则xa=x0 x1x2xixi+1xn-1xn=byf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图4-1，就会更精确些，这就是-梯形公式。第187页/共554页(2)第188页/共554页数

44、值积分的一般形式 数值积分的一般形式是：其中，其中，fi-是函数是函数f(x)在节点在节点 xi 上的函数值，它可能以列表上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值；数值；Ai-称为节点称为节点 xi 上的权系数。上的权系数。正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。(3)第189页/共554页 最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:插值型求积公式第190页/共554页(1)为数值求积公式.Ak为求积系数,且仅与求积节(结)点xk有关.第191页/共554页第192页/共554页

45、因此定义代数精度的概念:定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度.代数精度也称代数精确度第193页/共554页例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:第194页/共554页因此所以该积分公式具有3次代数精确度第195页/共554页 1 Newton-Cotes公式 2常用的NC公式 3.Newton-Cotes公式的稳定性 4.复化求积法 4.2 Newton-Cotes求积公式第196页/共554页1、Newton-Cotes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式各节点为第197页/共554页其中而因

46、此对于定积分有第198页/共554页令即有n阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)第199页/共554页注意是等距节点第200页/共554页所以Newton-Cotes公式化为第201页/共554页2、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式(1).梯形(trapezia)公式及其余项Cotes系数为求积公式为第202页/共554页上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为第203页/共554页第二积分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代数

47、精度故第204页/共554页(2).Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为第205页/共554页上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有3次代数精度第206页/共554页(3).Cotes公式及其余项Cotes系数为第207页/共554页求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度第208页/共554页 常用的NC公式表中观察这些公式的代数精度次数，自然会得出结论：观察这些公式的代数精度次数，自然会得出结论：1.梯形规则简单，有梯形规则简单，有1次代数

48、精度；次代数精度；2.再增加一个节点，就是具有再增加一个节点，就是具有3次代数精度的次代数精度的Simpson规则；规则；3.而而Simpson3-8规则又增加一个节点，精度却没有提高。规则又增加一个节点，精度却没有提高。所以，人们一般只用到前两个方法。所以，人们一般只用到前两个方法。第209页/共554页Cotes系数的性质:第210页/共554页3、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)考察Cotes系数因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定第211页/共554页记而理论值为第212页/共554页第213页/共554页即Newton-Cotes

49、公式的舍入误差只是函数值误差的此时,公式的稳定性将无法保证因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式而是采用低阶复化求积法(下节)第214页/共554页第四章微积分的数值计算方法 2 Newton-Cotes求积公式第215页/共554页 4.复化求积法直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加第216页/共554页一、复化（复合）求积公式各节点为记为第217页/共554页由积分的区间可加性,可得复

50、化求积公式第218页/共554页称为复化梯形公式第219页/共554页称为复化Simpson公式/复化抛物线公式第220页/共554页例1.解:为简单起见,依次使用8阶复化梯形公式、4阶复化Simpson公式.可得各节点的值如右表010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098第221页/共554页分别由复化梯形、Simpson公式有第222页/共554页原积分的精确值为精度高精度低比较二个公式的结果那么哪个复化求积