工程力学材料力学部分习题答案.doc

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1、b2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。已知：P = 140kN，b = 200mm，b0 = 100mm，t = 4mm 。题图2.9解：(1) 计算杆的轴力 (2) 计算横截面的面积 (3) 计算正应力 (注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面)2.10 横截面面积A=2cm2的杆受轴向拉伸，力P=10kN，求其法线与轴向成30的及45斜截面上的应力及，并问发生在哪一个截面？解：(1) 计算杆的轴力(2) 计算横截面上的正应力 (3) 计算斜截面上的应力 (4) 发生的截面 取得极值 因此：，

2、 故：发生在其法线与轴向成45的截面上。（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC，P=10kN，l1=l2=400mm，A1=2A2=100mm2，E=200GPa。试计算杆AC的轴向变形l。题图2.17解：(1) 计算直杆各段的轴力及画轴力图 （拉） （压）(2) 计算直杆各段的轴向变形 （伸长） （缩短）(3) 直杆AC的轴向变形 （缩短）(注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴

3、向变形的代数和)2.20 题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA相同，试求节点A的水平和垂直位移。( a) (b)题图2.20(a) 解：(1) 计算各杆的轴力以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得， ( 拉 )，(2) 计算各杆的变形(3) 计算A点位移以切线代弧线，A点的位移为：(b) 解：(1) 计算各杆的轴力以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得， ( 拉 )， ( 压 )(2) 计算各杆的变形 ( 伸长 ) ( 缩短 )(3) 计算A点位移以切线代弧线，A点的位移为：注：本题计算是基于小变形假设(材料力学的理论和方法都是基于这个假设)，在此假设下，所有杆件的力和变形

4、都是沿未变形的方向。计算位移的关键是以切线代弧线。) 2.15 如题图2.15所示桁架， =30，在A点受载荷P = 350kN，杆AB由两根槽钢构成，杆AC由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力，许用压应力。试为两根杆选择型钢号码。题图2.15解：(1) 计算杆的轴力以A点为研究对象，如上图所示，由平衡方程可得， ， (拉) (压)(2) 计算横截面的面积根据强度条件：，有 ， (3) 选择型钢通过查表，杆AB为No.10槽钢，杆BC为No.20a工字钢。(注：本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据杆的拉、压状态，使用相应得许用应力)2.25 题图2.25所示结构，AB

5、为刚体，载荷P可在其上任意移动。试求使CD杆重量最轻时，夹角应取何值？题图2.25解：(1) 计算杆的轴力载荷P在B点时为最危险工况，如下图所示。以刚性杆AB为研究对象， (2) 计算杆CD横截面的面积设杆CD的许用应力为，由强度条件，有 (3) 计算夹角 设杆CD的密度为，则它的重量为 从上式可知，当时，杆CD的重量W最小。（注：本题需要注意的是：载荷P在AB上可以任意移动，取最危险的工作状况（工况）； 杆的重量最轻，即体积最小。）2.34 题图2.34所示结构，AB为刚性梁，1杆横截面面积A1=1cm2，2杆A2=2cm2，a=1m，两杆的长度相同，E=200GPa，许用应力t=160MP

6、a，b=100MPa，试确定许可载荷P。题图2.34解：(1) 计算杆的轴力 以刚性杆AB为研究对象，如下图所示。， 即： (1) 该问题为一次静不定，需要补充一个方程。 (2) 变形协调条件 如上图所示，变形协调关系为2l1 =l2 (2) (3) 计算杆的变形 由胡克定理，有 ； 代入式(2)得： 即： (3)(4) 计算载荷与内力之间关系 由式(1)和(3)，解得： (4) 或 (5)(5) 计算许可载荷 如果由许用压应力b决定许可载荷，有：如果由许用拉应力t决定许可载荷，有：比较两个许可载荷，取较小的值，即 （注：本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值，即整个结构中，最

7、薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。）2.42 题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆(Ea=70GPa，a=21.610-6 -1)；对角线是钢丝(Es=70GPa，s=21.610-6 -1)，铝杆和钢丝的横截面面积之比为2:1。若温度升高T=45时，试求钢丝内的应力。题图2.42解：(1) 利用对称条件对结构进行简化 由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所示，(2) 计算各杆的轴力以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得， 即： (3) 变形协调关系 如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为： 钢丝的伸长量为：(设钢丝的截面积为A) 铝杆的伸长量为： 由式

8、，可解得： (4) 计算钢丝的应力 3.8题图3.8所示夹剪，销钉B的直径d=5mm,销钉与被剪钢丝的材料相同，剪切极限应力=200Mpa，销钉的安全系数n=4，试求在C处能剪断多大直径的钢丝。解：设B,C两点受力分别为, 。剪切许用应力为：=50Mpa对B点，有力矩和为零可知：=0，即：=4P由力平衡知：+P=其中：=A=12.5故： =10又由强度要求可知：即： d=2.24mm3.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。已知安全销的平均直径为5mm，其剪切强度极限=370Mpa，求安全联轴器所能传递的力偶矩m.解：设安全销承受的最大力为，则：F = 那么安全联

9、轴器所能传递的力偶矩为：m = FD其中=370Mpa，b=5mm，D=20mm，代入数据得：力偶矩 m=145.24.7求题图4.7中各个图形对形心轴z的惯性矩。解：（1）对I部分：=+A=+2080=287.57对II部分：=+A=+20120=476.11所以: =+=763.73(2) 对完整的矩形：=8000对两个圆：=2 =2 =653.12所以：=7346.884.9题图4.9所示薄圆环的平均半径为r，厚度为t（rt）.试证薄圆环对任意直径的惯性矩为I =，对圆心的极惯性矩= 2。解：（1）设设圆心在原点，由于是圆环，故惯性矩对任意一直径相等，为：I = 其中=所以：I = =

10、r t I = =(2) 由一知：极惯性矩= 2 I = 25.7 (1) 用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面1-1,2-2和3-3上的扭矩，并画出扭矩图的转向; (2) 做图示各杆的扭矩图解：（1）=-2，=3（2）=-20，=-10，=205.11一阶梯形圆轴如题图5.11所示。已知轮B输入的功率=45kW，轮A和轮C输出的功率分别为=30Kw, =15kW；轴的转速n=240r/min, =60mm, =40mm;许用扭转角=2，材料的=50Mpa,G=80Gpa.试校核轴的强度和刚度。解：（1）设AB,BC段承受的力矩为,.计算外力偶矩：=1193.6=596.8那么AB,BC段的

11、扭矩分别为：=1193.6.=596.8（2）检查强度要求圆轴扭转的强度条件为：可知：(其中，=60mm, =40mm)代入和得：=28.2Mpa, =47.5Mpa故：=47.5Mpa（3）检查强度要求圆轴扭转的刚度条件式为：所以：=0.67m=1.7m故：=1.7m5.13题图5.13所示，汽车驾驶盘的直径为520mm，驾驶员作用于盘上的力P=300N，转向轴的材料的许用剪应力=60Mpa。试设计实心转向轴的直径。若改用 =0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各位多大？并比较两者的重量。解：（1）当为实心转向轴时外力偶矩m=156则扭矩T=156圆轴扭转的强度条件为：可知：(其中)=23.

12、6(2) 当改为=0.8的空心轴时圆轴扭转的强度条件为：可知：(其中) D28.2mm d22.6mm故：空心轴D=28.2mm,d=22.6mm(3) 实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比，即：= 0.5145.16题图5.16所示钻探机钻杆的外径D = 60mm，内径d = 50mm，钻入的深度l=40m;A端输入的功率=15Kw，转速n=180r/min，B端钻头所受的扭转力矩=300；材料的= 40MPa，G = 80GPa，假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力距m。（2）作钻杆的扭矩图，并校核其扭转强度。（3）A,B两端截面的相对

13、扭转角。解：（1）钻探机A端的偶矩为：=9549=795.75那么单位长度的阻力矩为：m=12.4 N/m（2）圆轴扭转的强度条件为：得：(其中) 40MPa所以满足强度要求（3）由两截面之间的相对转角为：其中=1.59 所以：= 0.416 radA，B两端截面的相对扭转角为0.416 rad6.6 求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求|Q|max和|M|max。b)解：支座反力：XB=0，YB = P = 200N, MB=950N, 剪力方程：Q(x) = -200N.弯矩方程：AC段：M(x) = -PX = - 200X1 (0X2m)；CB段：M(x) =

14、 -PX - M0 = -(200X +150) (2mX24m)因此：|Q|max = 200 N；|M|max = 950 Nm(f)解：支座反力：剪力方程：AB段：，(0x2a) BC段：，(2ax3a)弯矩方程：AB段：，(0x2a) BC段：，(2ax3a)因此：；6.10不列剪力方程和弯矩方程，作题图6.10中各梁的剪力图和弯矩图，并求出|Q|max和|M|max。(b)解：支座反力： 因此：；(f)解：支座反力：因此：；6.12作题图6.12中各构件的内力图（b）解：(d)解：13. 设梁的剪力图如题图6.13所示，试做弯矩图和 载荷图，已知梁上没有作用集中力偶。(b) 解：6.

15、14已知梁的弯矩图如题图6.14所示，是做梁的载荷图和剪力图。(b) 解：7.9 20a工字钢梁的支承和受力情况如题图7.9所示。若=160Mpa，试求许可载荷P的值。图7.9解：（1） 求支座反力 （2） 画出弯矩图（3） 求许可载荷查表，20a工字钢的7.11 题图7.11所示一铸造用的钢水包。试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水时所允许的总重量。已知材料的许用应力=100MPa，d=200mm解： 7.14 题图7.14所示轴直径D=280mm，跨长L=1000mm，l=450mm，b=100mm。轴材料的弯曲许用应力=100NPa,求它能承受的最大轧制力。图7.14解：（1） 求支座反力

16、 （2） 画出弯矩图（3）求最大轧制力 因此：7.15铸铁梁的载荷及横截面尺寸如题图7.15所示。许用拉应力=40MPa，许用压应力=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。解：（1）支座反力（2）画弯矩图由上面弯矩图可知，B,D两个点可能为危险截面。|MB| = 20 kNm; MC = 10kNm（3）强度校核B截面下边缘B截面上边缘C截面下边缘C截面上边缘所以 安全7.19题图7.19所示梁由两根36a工字梁铆接而成。铆钉的间距为s=150mm，直径d=20mm，许用剪应力=90MPa。梁横截面上的剪力Q=40KN,试校核铆钉的剪切强度。解：查表，单个工字梁的截面参数为：；两个工字

17、梁重叠以后对中性轴的惯性矩两个工字梁重叠后对中性轴的静矩设工字梁翼板的宽度为b，则中性层上的剪应力为每一对铆钉分担的剪力为铆钉的剪应力为所以安全8.5 用积分法求题图8.5中各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。图8.5解：（1）求支座反力,向上，向下。（2）以A 为原点，写出弯矩方程： （3）求挠曲线方程带入边界条件 得故转角方程和挠曲线方程为8.7写出题图8.7所示各梁的边界条件。其中(b）图的k为弹簧刚度（N/m）。（a）题图8.7解：当x=l时，边界条件：8.12用叠加法求题图8.12所示各梁截面A的挠度和截面B的转角。已知EI为常数。（f）题图8.1

18、2解：先假设，CD 段为刚性，则AC段可视为在C段固定的悬臂梁。在作用下，；再将AC视为刚性，则查表可得：；因此： 由于截面C的转动，使截面A有一向上挠度，为：因此：8.15一直角拐如题图8.15所示。AB段横截面为圆形，BC 段为矩形；A端固定，B端为滑动轴承，C端的作用力P=60N；已知材料的E=210GPa，G=80GPa。试求C端的挠度。题图8.15解：用叠加法，首先P在C点引起的直接挠度由表查得： 然后P在B点的等效转矩下引起AB杆发生扭角为：所以,C点的总挠度为8.19如题图8.19所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度均为EI=24*106Nm2，由钢杆CD相连接。CD杆的l=5m，A=

19、3*20-4，E=200GPa。若P = 50kN，试求悬臂梁AD 在D 点的挠度。题图8.19解：设CD杆上的轴力为F，则由F引起C和D点的挠度分别为： （1） （2） 由P引起D点的挠度为： （3） CD杆的伸长为： （4）几何相容关系为： （5）将式（1）（4）式代入式（5）得： 因此：8.21 题图8.21所示四分之一圆环，其平均半径为R，抗弯刚度为EI。试用用莫尔定理求截面B的垂直位移与水平位移。题图8.21解：（1）求弯矩方程在四分之一圆环上取一截面m-m，求截面上的弯矩方程。在外力作用下：水平单位力作用下：水平单位力作用下：（2）用莫尔积分求位移 水平位移：(向右)垂直位移： (

20、向下)8.23 外伸梁受力作用如题图8.23所示，梁的抗弯刚度为EI,使用图形互乘法计算外伸端D的挠度。题图8.23解：（1）求支座反力（2）画弯矩图实际载荷和在D点单位力的弯矩图如下所示：（3）图形互乘法9.7在题图9.7所示各单元中，使用解析法和图解法求斜截面ab上的应力，应力单位为MPa。（C）解：如图所示，（1） 解析法 （2） 图解法作应力圆如下图所示。从图中可量的点的坐标，此坐标便是和的数值。9.8已知如题图9.8所示各单元的应力状态（应力单位为MPa）。试求（1） 主应力之值及其方向，并画在单元体上；（2） 最大剪应力之值。(b)解：所以，方向如上图所示。9.11钢制受力构件，其

21、危险点应力状态如题图9.11所示，已知=160MPa，试用第三强度理论校核其强度。如题图9.11解：由图可知，是主应力（剪应力为0）所以，按照第三强度理论合格。9.14 设地层为石灰岩，如题图9.14所示，泊松比=0.2，单位体积重=25kN/m3。试计算离地面400m深处的主应力。解： （1）由于单元体在地下某平面的四周受到均匀压力，所以， 因此： （2）由式（1）和（2）解得，9.17已知圆直径d =10cm，受力如题图9.17所示，今测得圆轴表面的轴向应变，与轴线成45o方向的应变，圆轴材料E = 200GPa，=0.25，许用应力，试用第三强度理论校核轴的强度。解：由于是拉伸和扭转的组

22、合变形，横截面上仅有正应力和剪应力。如下图所示 (a） (b) (c)（1）求正应力 在轴向方向放置的单元体上（上图b）,只有x方向上有正应力，由广义胡克定理： 解得：（2）求剪应力 将单元体旋转450，如上图（c）所示，由斜截面正应力计算公式： 有： 由广义胡克定理：解得： （3）用第三强度理论校核强度 强度满足要求。9.21直径d = 10 mm的柱塞通过密闭的高压容器（题图9.21），并承受扭矩T0 = 80 N.m，容器内压p = 500 MPa，其材料的拉伸和压缩强度极限为bt = 2100 MPa，bc = 5120 MPa。试按莫尔强度理论计算危险点处的相当应力。题图9.21解：

23、由于柱塞处在压力容器中，径向受到压力P，所以，柱塞上某一点的应力状态如下图所示，所以主应力为：；由莫尔强度理论得：10.9题图10.9所示AB横梁由No.14工字钢制成。已知P=12kN，材料=160Mpa。试校核该横梁的强度。题图10.9解：对于No.14工字钢，查表有：W=， A=21.5 cm2由图易知：同时杆DC对AC段产生拉应力为2P故：满足强度要求10.10题图10.10所示短柱子，已知=100kN，=45kN，b=180mm，h=300mm，试问偏心距为多少时截面上仍不会产生拉应力？题图10.10解：设偏心距恰好为e时，不产生拉应力，那么由产生的弯曲力M=e则产生的弯曲拉应力：=

24、 (其中w=)由和产生的压应力：=当时，将不会产生拉应力。即 e=161mm故偏心距e为161mm时将不产生拉应力10.16 铁道路标圆信号板，装在外径D=60mm的空心圆柱上（如题图10.16所示），信号板所受的最大风载p=2kN/，材料的许用应力=60Mpa，试按第三强度理论选定空心圆柱的厚度。题图10.16解：本结构属于弯曲与扭转的组合。易知只需判断空心圆柱与地面接触的圆柱是否满足第三强度理论。设信号盘面积为A，水平空心圆柱长为，竖直空心圆柱长为在空心圆柱与地面接触处：扭矩：T =弯曲：M = Nm按照第三强度理论： (其中)故有：即：代入数据可得：t2.65mm 故选定空心圆柱的厚度为

25、2.65mm10.20 轴AB上装有两个轮子如图10.20所示，作用有P=3kN和Q，处于平衡状态，已知轴的=60Mpa，试按第三强度理论选择轴的直径。题图10.20解：由于轴在力P和力Q的作用下处于平衡状态。则有：Q=2P=6kN设在A，B处的支座反力分别为RA和RB，由平衡条件，有： ，得： ， ，得：分别作出M图和T图如下图：知：M=8.25 ； T = 6 由第三强度理论：将代入可得：=125.6mm故选择的直径为126 mm10.25 题图10.25所示圆截面杆受横向力P和外力偶矩m作用。今测得A点轴向应变=，B点与母线成方向应变=。已知杆的抗弯截面模量W=6000，E=200Gpa

26、，=140Mpa，试按第三强度理论校核杆的强度。题图10.25解：取轴向为x轴，A的应力状态如下图所示， B点是纯剪切状态，其应力状态如下图所示， 由广义胡克定理，有： 所以： 由第三强度理论： 因此，按第三强度理论校核，此杆不满足强度要求11.10 题图11.10所示压杆的材料为Q235钢，E=210Gpa，在正视图（a）的平面内，两端为铰支，在俯视图（b）的平面内，两端认为固定，是求此杆的临界力。解：(a)两端铰支时，故取=1故： = 其中=得： =259kN（b）两端固定时，取=0.5又有：= 其中=3.2得：= 460kN综上此杆的临界力为259kN11.15某厂自制的简易起重机如图1

27、1.15所示，其压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢。起重机的最大起重量是P=40kN。若规定的稳定安全系数为=5，试校核BD杆的稳定性。解：1，计算柔度 在xoy平面和xoz平面压杆的约束情况不同，见下图（1） 在xoy平面内，压杆视为两端铰支，故长度系数=1查表可知：有：（2） 在xoz平面内，压杆视为两端固定，故长度系数=0.5查表知：有：故在xoy平面内，为中柔度杆，按照直线公式计算临界应力，查表得：a=304Mpa，b=1.12Mpa。于是 在xoz平面内，为小柔度杆，有：Mpa2，校核稳定性 在P的作用下，知杆BD受压应力= 。查表知横截面积A=32.83cm故：安全系数：取=211Mpa所以该杆稳定性方面是安全的11.21 题图11.21所示结构，AB为圆截面，直径d=80mm；BC为正方形截面，边长a=70mm；材料均为Q235钢，E=210Gpa，L=3m；稳定安全系数=2.5，试求结构的许可压力P。解：1，计算柔度（1） AB段杆为圆截面，视为一端固定，一端铰支，故取=0.7其中：故：（2） BC段杆为正方形截面，视为两端铰支，故取=1其中：故：杆AB，BC均为大柔度杆。（3） 取=157.5又知：那么由得：P=168kN所以该杆就稳定性方面的许可应力为168kN