第三节-最大公约数与最小公倍数ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第三节第三节最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数一、最大公约数一、最大公约数二、最小公倍数二、最小公倍数 三、最大公约数与三、最大公约数与最小公倍数的性质最小公倍数的性质 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、最大公约数一、最大公约数由定义可以得到的两个结论：由定义可以得到的两个结论：1.1.定义定义篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统

2、定理定理1.3.11.3.1 若若a=bq+c(a,b,c Z),则则(a,b)=(b,c)证明：证明：设设d|a,d|b,则的则的d|bq.c=a-bq,d|c 即有：即有：a,b的公约数也是的公约数也是b,c的公约数的公约数.同理可证同理可证b,c的的公约数也是公约数也是a,b的公约数的公约数.这表明由这表明由a,b的全体的全体公约数组成的集，与由公约数组成的集，与由b,c的全体公约数组成的全体公约数组成的集是同一个，故它们的最大公约数是同一的集是同一个，故它们的最大公约数是同一个数，故个数，故(a,b)=(b,c).故结论成立故结论成立篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定

3、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.辗转相除法辗转相除法定义：设有整数定义：设有整数 的带余数除法中，的带余数除法中，每次用余数去除除数，直到余数为每次用余数去除除数，直到余数为0 0停止，这种运算停止，这种运算方法称为辗转相除法。即有方法称为辗转相除法。即有(*)(*)或或篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.21.3.2 在上面的表达式在上面的表达式(*)(*)中，有：中，有：证明：证明：另一方面，另一方面，篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球

4、比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.31.3.3 若若a,b N+，则一定存在整数，则一定存在整数s,t Z 使使得得as+bt=(a,b).特别的有：特别的有：推论推论1.3.41.3.4 (a,b)=1的充要条件是的充要条件是：存在整数：存在整数s,t Z 使得使得 as+bt=1.将其推广为将其推广为k个的情形有：个的情形有：定理定理1.3.51.3.5 若若a1,a2,ak N+，则一定存在整数，则一定存在整数m1,m2,mk Z 使得使得a1m1+a2m2+akmk=(a1,a2,ak).篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计

5、时计分系统是一种得分类型的系统例例1 1 求下面各组数的最大公因数。求下面各组数的最大公因数。解：解：1859 15731859 1573 1 1157315732862865 5143014301431432 22862860 0注：亦可通过分解因数的方法求最大公因数注：亦可通过分解因数的方法求最大公因数.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2 对于任意的整数对于任意的整数n,n,求证：求证：是既约的真分数是既约的真分数.证明：证明：14n+8=(12n+7)1+2n+1 12n+7=(2n+1)6+1 故当故当

6、n N+时，时，是既约分数是既约分数.(14n+8,12n+7)=(12n+7,2n+1)=(2n+1,1)=1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义1.5 整数整数a1,a2,an的公共倍数称为的公共倍数称为a1,a2,an的公倍数。的公倍数。a1,a2,an的正公倍数中的最小的一个叫的正公倍数中的最小的一个叫做做a1,a2,an的最小公倍数，记为的最小公倍数，记为a1,a2,an.由定义由定义1.5可知可知：()a,1=|a|，a,a=|a|；()a,b=b,a；()a1,a2,ak=|a1|,|a2|,|ak|

7、；()若若a b，则，则a,b=|b|.二、最小公倍数二、最小公倍数篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.6 1.3.6(a1,a2,ak)=D的充分必要条件是：的充分必要条件是：(1)D|ai (i=1,2,k);(2)若若d|ai,则则 d|D(i=1,2,k).证明证明 （充分性证明）（充分性证明）D|ai (i=1,2,k);D是是a1,a2,ak的公约数，由定理的公约数，由定理1.1.1(8)和条件和条件(2)知，对知，对a1,a2,ak的任意公约数的任意公约数d，有，有d D，故有：，故有：(a1

8、,a2,ak)=D（必要性证明）（必要性证明）若若(a1,a2,ak)=D，由公约数的定义知由公约数的定义知(1)成立；成立；若若d|ai(i=1,2,k)，由定理，由定理1.3.3的推论的推论1可知，存在可知，存在mi(i=1,2,k)使使a1m1+a2m2+akmk=(a1,a2,ak)，从，从而而d|D，所以（，所以（2）成立）成立三、最大公约数与最小公倍数的性质三、最大公约数与最小公倍数的性质篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.71.3.7(a1,a2,ak)=d 的充分必要条件是：的充分必要条件是

9、：定理定理1.3.81.3.8(a1,a2,ak)=d,且且m Z+,c|ai(i=1,2,k),则有：则有：定理定理1.3.91.3.9 a1,a2,ak=m 的充分必要条件是：的充分必要条件是：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.101.3.10 对任意的正整数对任意的正整数a，b，有，有证明：证明：设设m是是a和和b的一个公倍数，的一个公倍数，那么存在整数那么存在整数k1，k2，使得，使得m=ak1，m=bk2，因此因此 ak1=bk2.特别的特别的篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定

10、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统推论推论1 1 两个整数的任何公倍数一定是最小公倍两个整数的任何公倍数一定是最小公倍 数的倍数数的倍数.推论推论2 设设m，a，b是正整数，则是正整数，则ma,mb=ma,b.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.111.3.11注：把多个整数的公倍数化为两个数的公倍数来计算注：把多个整数的公倍数化为两个数的公倍数来计算.推论推论 若若m是是a1,a2,an的公倍数，则的公倍数，则a1,a2,an m.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定

11、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5 5 求（求（36,108,204）和和36,108,51.解：解：(36,108,204)=4(9,27,51)=43(3,9,17)=12(3,9),17)=12(3(1,3),17)=12(3,17)=121=12 36,108,204=312,36,17=312,36,17 =312(1,3),17=336,17=33617 =1836注：注：上述方法实际上是小学课本介绍的短除法上述方法实际上是小学课本介绍的短除法.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定

12、理定理1.3.121.3.12 整数整数a1,a2,an两两互素，两两互素，即即(ai,aj)=1，1 i,j n，i j 的充要条件是的充要条件是a1,a2,an=a1a2an.例例6 设设a，b，c是正整数，证明是正整数，证明 a,b,c(ab,bc,ca)=abc。证：证：a,b,c=a,b,c=(ab,bc,ca)=(ab,(bc,ca)=(ab,c(a,b)代入即得证代入即得证.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1.3.13 1.3.13 如果如果a|bc，且，且(a,b)=1,则有：则有：a|c.证明

13、：证明：a|bc，b|bc，bc 是是a,b 的公倍数的公倍数.(a,b)=1 a,b=ab(定理定理1.3.121.3.12的推论）的推论）则有：则有：ab|bc,b0 a|c定理定理1.3.14 1.3.14 若若(a,b)=1,则有则有(a,bc)=(a,c).推论推论1 1 若若(a,bi)=1(i=1,2,k),则有则有(a,b1b2bk)=1.推论推论2 2 若若(ai,bj)=1(i=1,2,n,j=1,2,n),则有则有:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统推论推论3 若若n N+,(a,b)=1,则有则有

14、 (an,bn)=1.定理定理1.3.15 若若a|c,b|c,(a,b)=1,则有则有ab|c.例例7 已知已知a2+b2=468,(a,b)+a,b=42,求求a,b.例例8 求证：求证：log25是无理数是无理数.例例9 设自然数设自然数A=10 x+y(y是是A的个位数字，的个位数字，x是非负整是非负整数数)，则，则10n-1|(x+ny)(n N+).并用此法判断并用此法判断21498能能否被否被19整除，整除，21498能否被能否被29整除整除.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统内容小结内容小结1.最大公约数；最大公约数；3.最大公约数与最小公倍数的性质；最大公约数与最小公倍数的性质；作业 P17 2(1),(3),(5);4;7;9;11;122.最小公倍数；最小公倍数；2023/1/2019皖西学院 数理系