第五节函数的极值与最大最小值精选文档.ppt

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1、第五节函数的极值与最大最小值本讲稿第一页，共二十七页一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法本讲稿第二页，共二十七页注意注意:为极大点为极大点为极小点为极小点不是极值点不是极值点2)对常见函数对常见函数,极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1)函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.例如例如(P146例例4)为极大点为极大点,是极大值是极大值 是极小值是极小值 为极小点为极小点,本讲稿第三页，共二十七页函数极值的求法函数极值的求法费马费马(fermat)引理引理-必要条件必要条件在在驻点驻点或者是或者是连续不可导点连续不可导点中去寻找中去

2、寻找.因此寻求极值点的方法因此寻求极值点的方法:注意注意:例如例如,本讲稿第四页，共二十七页定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)(是极值点情形是极值点情形)且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,本讲稿第五页，共二十七页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)(1)(1)给出定义域给出定义域,并找出定义域内所给函数的并找出定义域内所给函数的驻点驻点及及连续不可导点连续不可导点;(2)(2)考察这些点考察这些点两侧导函数的符号两侧导函数的符号,从而确定极值点从而确定极值点;(3)(3)求出极值点的函数值求出极值点

3、的函数值,即为极值即为极值.本讲稿第六页，共二十七页例例1.求函数求函数的极值的极值.解解:1)求导数求导数2)求极值可疑点求极值可疑点令令得得得得3)列表判别列表判别是极大点，是极大点，其极大值为其极大值为是极小点，是极小点，其极小值为其极小值为注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.本讲稿第七页，共二十七页定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数,且且则则 在点在点 取极大值取极大值;则则 在点在点 取极小值取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.本讲稿第八页，共二十七页例例2解解图形如下图形如下本讲稿第九页，共二

4、十七页本讲稿第十页，共二十七页注：注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性运用第二充分条件求极值也有它的局限性.若若(x)在驻点在驻点这三个函数在这三个函数在 x=0 处就分别属于这三种情况处就分别属于这三种情况.从而当从而当只能用第一充分条件来判定只能用第一充分条件来判定处的二阶导数处的二阶导数(x)在在处可能有处可能有极大值极大值,也可能有也可能有极小值极小值,例如例如:也可能也可能没有极值没有极值.(只需点连续即可只需点连续即可)本讲稿第十一页，共二十七页例例3.求函数求函数的极值的极值.解解:1)求导数求导数2)求驻点求驻点令令得驻点得驻点3)判别判别因因故故 为极小值为极小值;又又故

5、需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.本讲稿第十二页，共二十七页例例4本讲稿第十三页，共二十七页定理定理3(判别法的推广判别法的推广)则则:数数,且且1)当当 为偶数为偶数时时,是极小点是极小点;是极大点是极大点.2)当当 为奇数为奇数时时,为极值点为极值点,且且不是极值点不是极值点.当当 充分接近充分接近 时时,上式左端正负号由右端第一项确定上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确故结论正确.证证:利用利用 在在 点的泰勒公式点的泰勒公式,可得可得本讲稿第十四页，共二十七页例如例如,例3中所以不是极值点.极值的判别法极值的判别法(定理定理1 定理定理3)都是充分的都是充分的.说明说明:当

6、这些充分条件不满足时当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在不等于极值不存在.例如例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.本讲稿第十五页，共二十七页二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题 则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点(2)最大值最大值最小值最小值-驻点和不可驻点和不可导点导点本讲稿第十六页，共二十七页特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大极大 值值,则也是最大最大 值值.(小)对应用问题

7、,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)本讲稿第十七页，共二十七页例例5.求函数求函数在闭区间在闭区间上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解:故函数在故函数在取最小值取最小值 0;在在取最大值取最大值 .本讲稿第十八页，共二十七页求求 最大值。最大值。例例6.6.设设 是任意两正数，满足：是任意两正数，满足：解解:设设即求即求 f(x)在在(0,a)内的最大值内的最大值 令令得得是区间唯一的驻点，是区间唯一的驻点，故故 为区间为区间(0,a)之间的最大值之间的最大值本讲稿第十九页，共二十七页(k 为某一常数为某一常数)例例7.铁路上铁路上 AB 段的距离为段的

8、距离为100 km,工厂工厂C 距距 A 处处20AC AB,要在要在 AB 线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货为使货D 点应如何选取点应如何选取?20解解:设设则则令令得得 又又所以所以 为唯一的为唯一的极小点极小点,故故 AD=15 km 时运费最省时运费最省.总运费总运费物从物从B 运到工厂运到工厂C 的运费最省的运费最省,从而为最小点从而为最小点,问问Km,公路公路,本讲稿第二十页，共二十七页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求

9、最值求最值;本讲稿第二十一页，共二十七页清楚清楚(视角视角 最大最大)?观察者的眼睛观察者的眼睛1.8 m,例例8.一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上,它的底边高于它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m,则则令令得驻点得驻点根据问题的实际意义根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在,唯一唯一,驻点又驻点又因此观察者站在距离墙因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最问观察者在距墙多远处看图才最本讲稿第二十二页，共二十七页内容小结内容小结1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极

10、值可疑点:使使导数为导数为0 或不存在或不存在的点的点(2)第一充分条件第一充分条件过过由由正正变变负负为极为极大大值值过过由由负负变变正正为极为极小小值值(3)第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值本讲稿第二十三页，共二十七页最值点应在极值点和边界点上找最值点应在极值点和边界点上找;f(x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。极值点，则必最值点。2.连续函数的最值连续函数的最值 在实际问题中，如果在实际问题中，如果 f(x)有唯一的驻点，则一般为最值有唯一的驻点，则一般为最值点。点。本讲稿第二十四页，共二十七页思考与练习思考与练习1.设设则在点则在点 a 处处().的导数存在的导数存在,取得极大值取得极大值;取得极小值取得极小值;的导数不存在的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.本讲稿第二十五页，共二十七页2.设设在在的某邻域内连续的某邻域内连续,且且则在点则在点处处(A)不可导不可导;(B)可导可导,且且(C)取得极大值取得极大值;(D)取得极小值取得极小值.D由由保号性保号性本讲稿第二十六页，共二十七页P45 2（3）.当当本讲稿第二十七页，共二十七页