解决排列组合问题的常用技巧与策略-南昌一中ppt课件.ppt

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1、解决排列组合问题的常用解决排列组合问题的常用解决排列组合问题的常用解决排列组合问题的常用技巧与策略技巧与策略技巧与策略技巧与策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：类与类必须互斥(不相容)，总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步

2、，也可以是步中有类。以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。（一）（一）.特殊元素的特殊元素的“优先优先安排法安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例例1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有 种，0在十位有 种；第二类，不含0，有 种。故共有 种。注：注：在考虑每一类时，又要优

3、先考虑个位。（二）总体淘汰法（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例例：个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有（三）（三）.相邻问题：捆绑法相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。例例3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？（四）不相邻问题用（四）不相邻问题用“插插空法空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注

4、意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）.例例4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？例例5：马路上有编号为1、2、3、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有 种。（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法”或选位不排或先定或选位不排或先定后插后插对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。或先在总位置中选出顺序一定

5、元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好顺序一定元素，再一一插入其它元素。例例6：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法三：解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有 种。（六）分排问题用（六）分排问题用“直排直排法法”把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理例例7：8个人坐两排座位，每排四人，限定甲必须坐前排，乙、丙必须坐在同一排，则有种排法解：乙、丙可以同在前后两排就座，两排可以看成一排来处理，第一类，甲在前排，乙、丙在前排，

6、有 ，第二类 ，甲在前排，乙、丙在后排，有所以不同的坐法有+=8640（七）（七）“住店住店”问题问题解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。例例8：名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。（八）相同元素进盒，用（八）相同元素进盒，用档板分隔档板分隔 例例9：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中

7、9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。注：注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。例例10：从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？解：解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 种选法。（九）不同元素进盒，先（九）不同元素进盒，先分堆再排列分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。例例11：5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？易错题编号为1、2、3、4的四个小球分给3个小朋友，每人至少一个，有多少种分法？以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略，这些策略不是彼此孤立的,而是相互依存的，相互为用的。有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略。