相似矩阵及二次型ppt课件.ppt

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1、线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用

2、配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型1线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义但是只定义了线性运算了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成它们构成了三维空间丰富的内容了三维空间丰富的内容.5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性引言引言引言引言我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中.在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积

3、数量积)建立标准的直角坐标系后建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设则则2线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质定义定义定义定义3线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院性质性质性质性质著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式即即4线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院长度长度范数范数二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质定义定义定义定义性质性质性质性质(三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式

4、易证不等式易证,见见P114)5线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院单位向量单位向量夹角夹角.三、单位向量和三、单位向量和三、单位向量和三、单位向量和 n n 维向量间的夹角维向量间的夹角维向量间的夹角维向量间的夹角正交正交6线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院四、正交向量组四、正交向量组四、正交向量组四、正交向量组定义定义定义定义 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的中的向量两两正交向量两两正交 ，则称该向量组为，则称该向量组为正交向量组正交向量组又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为则称该向量组为规范正交向量组规范正交向量组.若该向

5、量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基,又分别称又分别称为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和规范正交基规范正交基.7线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院性质性质性质性质证证证证设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.8线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1解解这相当于要求方程组的非零解这相当于要求方程组的非零解求得基础解系求得基础解系(即为所求即为所求)为为已知已知 中两个正交向量中两个正交向量试求试求 使使 构成构成的一个正交基的一个正交基.9线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2(例例1的一般化的一般化,也称也

6、称正交基的扩张定理正交基的扩张定理)设设 是是 中的一个正交向量组中的一个正交向量组,证明必可找到证明必可找到 个向量个向量 使使 构成构成 的正交基的正交基.都正交都正交.证证证证 只需证必可找到只需证必可找到 使使 与与 记记必有非零解必有非零解.其任一非零解即为所求的其任一非零解即为所求的10线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程五、施密特正交化过程 设设 是一组线性无关的向量是一组线性无关的向量,它就是它它就是它生成的向量空间生成的向量空间的一个基的一个基(坐标系坐标系),如何在向量空间如何在向量空间 L 中建立正交的中建立

7、正交的基基(坐标系坐标系)?这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组11线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院以三个向量以三个向量 为例为例,从几何直观上去求从几何直观上去求.上式两边与上式两边与 做内积做内积,注意注意 得得从而从而12线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院我们已求得我们已求得 已正交已正交,再求构造再求构造(1)式两边与式两边与 内积内积,注意注意得得(1)式两边再与式两边再与 内积内积,类似可类似可得得从而从而13线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院施密特正交化方法施密特正交化方法设设 线性无关线性无关令令则则 两两正交两两正交,且与且与

8、 等价等价.是与是与等价的规范正交组等价的规范正交组14线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 两两正交两两正交,可用数学归纳法严格证明可用数学归纳法严格证明.与与 等价等价,这是因为这是因为(只需看三个只需看三个)15线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例3求求 的一个规范正交基的一个规范正交基,并求向量并求向量解解 易知易知 线性无关线性无关,用施密特正交化方法用施密特正交化方法 再单位化再单位化在该规范正交基下的坐标在该规范正交基下的坐标.16线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 当建立规范正交基当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系相当于标准直角坐标系)后后,求一个向求一个

9、向量的坐标就特别方便量的坐标就特别方便两边分别与两边分别与 内积内积(这里就不具体计算了这里就不具体计算了)17线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵定理定理A 是正交矩阵是正交矩阵A 的列组是规范正交组的列组是规范正交组A 的行组是规范正交组的行组是规范正交组定义定义定义定义正交矩阵正交矩阵.18线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院记记证证 (只证第三条只证第三条)19线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院性质性质性质性质(1)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 和和 都是正交矩阵；都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则

10、AB也是正交矩阵；也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ；(4)P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ，即正交变换保持向量的长度不变。即正交变换保持向量的长度不变。20线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及

11、正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型21线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言引言引言引言 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 P 使使(1)式成立式成立,此时称方阵此时称方阵 A 是是可可(相似相似)对角化的对角化的.记记,则则 本章主要讨论本章主要讨论:对于方阵对于方阵 A 能否找到能否找到(如何找如何找)可逆矩阵可逆矩

12、阵 P(1)使得使得 满足上式的满足上式的 称为称为 A 的的特征值特征值,称为称为 A 的对应于特的对应于特征值征值 的的特征向量特征向量.22线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定义定义定义定义满足满足设设 A 是是 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x则则称称 为为 A 的的特特征征值值，非非零零向向量量 x 称称为为 A 的的对对应应于于(或属于或属于)特征值特征值 的的特征向量特征向量。把把(1)改写为改写为是是 A 的特征值的特征值 使得使得(2)有非零解有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的所有非零解向量都是对应于 的特征向量的特征向量

13、.23线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院(注：第一章已求得注：第一章已求得 ，)称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根个根(重根按重根按重数计算重数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数范围恰有阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。行。24线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院性质性质性质性质设设 n 阶方阵阶方阵 特征值为特征值为,则则又又

14、25线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1求矩阵求矩阵 的特征值的特征值.两个特征值为两个特征值为问问:特征向量是实的还是复的特征向量是实的还是复的?26线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2求求 A 的特征值的特征值.因此因此,n 个特征值为个特征值为问问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？27线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例3求矩阵求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。解解 （对矩阵（对矩阵A）28线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院A 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组

15、为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为29线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令得基础解系得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为30线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院（对矩阵（对矩阵B）B 的特征值为的特征值为31线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为3

16、2线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对于对于 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为33线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院回答问题：回答问题：回答问题：回答问题：(1)向量向量 满足满足 ,是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值实矩阵的特征值(特征向量特征向量)一定是实的一定是实的吗吗?(3)矩阵矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值可逆的充要条件是所有特征值_。，A 有一个特征值为有一个特征值为_。(4)，A 有一个特征值为有一个特征值为_。可逆可逆,

17、A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_。34线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院(6)一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值一个特征向量对应几个特征值?(后面证明后面证明)(7)A 的各行元素之和均等于的各行元素之和均等于2,则则 A 有一个特征值有一个特征值是是_,它对应的特征向量是它对应的特征向量是_。(5)A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？特征向量的个数特征向量的个数=_。是是 的一个特征值，它对应的最大无关的的一个特征值，它对应的最大无关的35线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例4证明：一个特

18、征向量只能对应一个特征值。证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证证 假设假设 A 的特征值的特征值 和和 对应的特征向量都是对应的特征向量都是则则36线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例5设设 是方阵是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量的特征值，对应的一个特征向量证明证明(1)是是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。(2)是是 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。(3)当当 A 可逆时，可逆时，是是 的特征值，对应的的特征值，对应的特征向量仍为特征向量仍为 x。证证37线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院推广推广推广

19、推广：设设 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，则则 是是 的特征值。的特征值。的特征值。的特征值。如果如果 A 可逆，则可逆，则的特征值。的特征值。是是是是38线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例6设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为求求解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为零，故A可逆。可逆。的三个特征值为的三个特征值为计算得计算得因此，因此，39线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例7证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2.设设 是是A的特征值，则的特征值，则的特征值为的特征值为由于由于 是零矩阵，其特征值全是零，故是零矩阵，其特征值全是零，故证证

20、证证40线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成

21、标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型41线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.3 相似矩阵相似矩阵设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵P，使，使则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵，或说矩阵A与与B相似。对相似。对A进行进行运算运算 称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的相似变换矩阵。的相似变换矩阵。定义定义 特别地，如果特别地，如果A与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称A是是可对可对角化的角化的。42线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院性质性质(1

22、)相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系;(2)A与与B相似相似,则则r(A)=r(B);(3)A与与B相似相似,则则 ;从而从而A与与B有相同的特征值有相同的特征值;(4)A与与B相似相似,则则 ;(5)A与与B相似相似,则则 ;(6)A与与B相似相似,则则 与与 相似相似;其中其中(7)A与与B相似相似,且且A可逆可逆,则则 与与 相似。相似。43线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1(1)与与相似，相似，求求x与与y和和A的特征值。的特征值。(2)与与相似，相似，求求a与与b。解解 (1)A的特征值等于的特征值等于B的特征值为：的特征值为：44线性代数线性代数河南工程学院河

23、南工程学院(2)45线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院下面讨论对角化的问题下面讨论对角化的问题 这说明这说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，就是就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。定理定理定理定理n阶矩阵阶矩阵A可对可对角化的充要条角化的充要条件是件是A有有n个线个线性无关的特征性无关的特征向量。向量。46线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 不同特征值对应的线性

24、无关的特征向量不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。合并以后仍是线性无关的。定理定理定理定理即设即设 是矩阵是矩阵A的不同的特征值，的不同的特征值，又设又设 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则则仍是线性无关的。仍是线性无关的。47线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院证证 (只证两个不同特征值的情况只证两个不同特征值的情况)设设上式两边左乘上式两边左乘 A 得得再由再由 线性无关得线性无关得类似可得类似可得由假设由假设 得得 48线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 n 阶矩阵阶矩

25、阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则它个不同的特征值，则它有有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。一定可对角化。推论推论推论推论49线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1(续第续第2节例节例3,首先看矩阵首先看矩阵A)线性无关，线性无关，由上面定理，由上面定理，第第第第1 1步步步步 求特征值求特征值 第第第第2 2步步步步 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，即求即求 的基础解系的基础解系50线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第第第第3 3步步步步 如有如有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵把它们拼成

26、矩阵P(P可逆可逆)令令第第第第4 4步步步步 写出对角化形式写出对角化形式则则问问：如果如果令令，则，则对吗？对吗？51线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院(这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量)对于矩阵对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任的任何一个特征向量何一个特征向量 ,要么是属于要么是属于 的的,此时与此时与 相关；要么是相关；要么是属于属于 的的,此时与此时与 相关。相关。因此，因此，B是不可对角化的。是不可对角化的。(再看矩阵再看矩阵B)52线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院

27、定理定理定理定理设设 的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为则则 注注：就是就是 的重根数，称之为的重根数，称之为 的的(代数代数)重重数数，就是就是 对应的最大无关特征向量的个数，称对应的最大无关特征向量的个数，称之为之为 的的几何重数几何重数。该定理说明：该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的任一特征值对应的无关特征向量的任一特征值对应的无关特征向量的任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数个数至少有一个，至多不会超过它的重数个数至少有一个，至多不会超过它的重数个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量

28、。重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。53线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院证证(参考参考)设设 对应的最大无关特征向量为对应的最大无关特征向量为把上面特征向量扩充为把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。个线性无关的向量。则则 可逆。可逆。因因C与与A特征值相同，而上式说明特征值相同，而上式说明 C 有特征值有特征值 ，其，其重数重数 至少是至少是 。即。即。证毕。证毕。54线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定理定理定理定理 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。特征值的代数重数等于它的几何重数。即：即

29、：设设互不同，此时互不同，此时则则 A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是亦即：亦即：的重数的重数 恰好等于它对应的最大无关特征恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。向量的个数。简称简称简称简称:几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量.55线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院证证 (充分性充分性)设设个，它们仍是线性无关的，故可角化。个，它们仍是线性无关的，故可角化。把每个把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有对应的最大无关特征向量合并后，共有(必要性必要性)设设A可对角化可对角化56线性代数线性代数河南工程学院河南工程学

30、院57线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2问问 x 为何值时，为何值时，A 可对角化？可对角化？是单重根，恰有一特征向量是单重根，恰有一特征向量(不需讨论不需讨论)。是二重根，是二重根，A可对角化可对角化58线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例3提示：提示：A 可对角化可对角化59线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵

31、的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型60线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.4 (实实)对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化定理定理定理定理对称矩阵不同特征值对应的特征向量对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。必正交。定理定理定理定理对称矩阵的特征值必

32、为实数。对称矩阵的特征值必为实数。从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。证证61线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定理定理定理定理对称矩阵必可正交对角化。对称矩阵必可正交对角化。即设即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵是对称矩阵，则存在正交矩阵Q使得使得推论推论推论推论对称矩阵特征值的重数必等于其对称矩阵特征值的重数必等于其对应的最大无关特征向量的个数。对应的最大无关特征向量的个数。62线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。第第第第1 1步步步步:求特征值。求特征值。(特征值必都是实数特征值必都是实数)63线性代数线性代数河南工

33、程学院河南工程学院第第第第2 2步步步步:求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？)64线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对对 ，解方程组，解方程组求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？)前面的前面的65线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第第第第3 3步步步步:检验重特征值对应的特征向量是否正交，检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交，用施密特过程正交化，再把如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。正交的特征

34、向量单位化。66线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第第第第4 4步步步步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：单位化：则则令令67线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2设设3阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为与特征值与特征值 对应的特征向量为对应的特征向量为求求A。提示提示：设对应于：设对应于 的无关特征向量为的无关特征向量为则则说明说明是方程组是方程组的两个无关的解的两个无关的解(基础解系基础解系)，因此，上面方程组的，因此，上面方程组的任意两个无关的解都是对应于任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。的特征向量。解解(1

35、)可求得可求得 再正交化单位化构成正交矩阵再正交化单位化构成正交矩阵Q68线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6

36、用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型69线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.5 二次型其次标准形二次型其次标准形引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：见下图见下图70线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院71线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型.定义定义定义定义 含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数三维的二次型为三维的二

37、次型为再改写：再改写：关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远约定约定约定约定在实数范围内进行！在实数范围内进行！72线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对称对称73线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院一般地，对于一般地，对于n维的二次型维的二次型上式称为上式称为二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示。也常记为。也常记为(对称对称)其中其中74线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院 任给一个对称矩阵任给一个对称矩阵A，令，令 可唯一地可唯一地确定一个二次型确定一个二次型 反之，任给一个二次型反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵可找到对称矩阵A使得使得.而且对称矩阵而且对称矩阵A是唯一是

38、唯一.因为因为,设设 xTAx=xTBx(A,B都是对称矩阵都是对称矩阵),即即(以三维为以三维为例例)令令 类似类似令令类似类似75线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵;f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型;对称矩阵对称矩阵A的秩叫做的秩叫做二次型二次型 f 的秩的秩.记作记作r(f).二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系这说明：这说明：76线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解问问

39、问问：在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称,A唯一吗唯一吗?77线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定义定义定义定义只含平方项的二次型只含平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形 (注注注注：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。的项。与书上略有不同。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。78线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院目的：目的：目的：目的：对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆

40、的线性变换(坐标变换坐标变换)：代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。79线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院用矩阵书写用矩阵书写用矩阵书写用矩阵书写化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形：(其中其中D为对角矩阵为对角矩阵)注意到注意到 与与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形化二次型为标准形”又等价于又等价于对给定的对称矩阵对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵，找可逆矩阵C，使，使问问问问：这件事情能够做到吗？以前学

41、过吗？：这件事情能够做到吗？以前学过吗？80线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院主轴定理主轴定理主轴定理主轴定理81线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤82线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2解解解解化为标准形。化为标准形。求求求求A A的特征值的特征值的特征值的特征值求二次型的矩阵求二次型的矩阵求二次型的矩阵求二次型的矩阵83线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院求求求求A A的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量的规范正交的特征向量单位化单位化84线性代数线性代数河南工程学院河南工程学

42、院得正交的基础解系得正交的基础解系单位化单位化求正交变换矩阵求正交变换矩阵求正交变换矩阵求正交变换矩阵85线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院写出二次型的标准形写出二次型的标准形写出二次型的标准形写出二次型的标准形用正交变换用正交变换 ，二次型，二次型 f 化为标准形为化为标准形为86线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例3设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形求求(1)a,b;(2)正交变换矩阵正交变换矩阵 Q.解解解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而87线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院解得解得

43、A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵88线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定义定义定义定义设设A和和B是是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵C，使，使则称则称A与与B合同合同.性质性质性质性质(1)合同关系是一种等价关系；合同关系是一种等价关系；(2)A与与B合同合同,则则 r(A)=r(B);(3)A与与B合同合同,A对称对称,则则B对称对称.二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变

44、换为对角矩阵。变换为对角矩阵。在在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化于二次型可以互化(也称二次型等价也称二次型等价)。89线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院定理定理定理定理二次型必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换则则 f 化为化为思考：在可互化的二次型思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最

45、简称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？单的矩阵是什么？90线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院思考并回答思考并回答思考并回答思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？何关系？(3)设设CTAC=D(C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角的对角元是元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？(4)设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为0,2,2,-3

46、,A的的二次型的规范形是什么？二次型的规范形是什么？91线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6 用配方法化二次型成

47、标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型92线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形配方法的步骤配方法的步骤配方法的步骤配方法的步骤1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不

48、含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方中方法配方.93线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例1 194线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院95线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院所用变换矩阵为所用变换矩阵为96线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院例例2 2由于所给二次型中无平方项由于所给二次型中无平方项97线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院再配方，得再配方，得98线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院所用变换矩阵为所用变换矩阵为99线性代数线性代数河南工程学院河南工

49、程学院思考题思考题(下面做法对吗？下面做法对吗？)得标准形为得标准形为100线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 5.4 5.4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5.3 5.3 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵5.2 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.1 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性5.5 5.5 二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形二次型及其标准形5.6 5.6

50、 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形5.7 5.7 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型101线性代数线性代数河南工程学院河南工程学院5.7 正定正定二次型二次型本节讨论二次型的分类问题本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型重点是正定二次型.在在n维的二次型中维的二次型中,如果两个二次型如果两个二次型 xTAx 和和 yTBy可以互化，即可以互化，即则称这两个则称这两个二次型等价二次型等价。这相当于。这相当于即在即在n阶对称矩阵中阶对称矩阵中A与与B合同等价。合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩我们把等价的二