计算方法第三章精选文档.ppt
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1、计算方法第三章计算方法第三章本讲稿第一页，共九十四页3.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念n函数逼近 在某区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，称为函数逼近问题。上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种。我们的做法是在多项式类中寻找一个合适的多项式来代替原来的函数，使误差较小。本讲稿第二页，共九十四页3.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 如果我们把问题一般化，则可以提出如下的方法：对函数类 中给定的函数 ，记作 ，要求在另一类简单的便于计算的函数类 中求函数 ，使得 与的误差在某种度量意义下最小。函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，称为连续函数空间，而函数类
2、 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式。本讲稿第三页，共九十四页相关概念、定理的复习相关概念、定理的复习 线性无关的概念，线性空间的基，线性空间的维数，有限维线性空间、无限维线性空间。Weierstrass定理：设 ，则对任何 ，总存在一个代数多项式 ，使得 在 上一致成立。这个定理可有多种证明方法，其中的伯恩斯坦证明是构造性的，即它给出了一个具体的函数，称为伯恩斯坦多项式。本讲稿第四页，共九十四页伯恩斯坦多项式伯恩斯坦多项式 其中：并且可以证明：在0，1上一致成立；本讲稿第五页，共九十四页 若 在 上 阶导数连续，则这不但给出了定理的一种证明，而且给出了 的一个逼近多项式的具体形式。伯
3、恩斯坦多项式还具有一些性质，如：即所有伯恩斯坦基函数的和为1。本讲稿第六页，共九十四页 证明：只要在令 ，并利用当 时即可得到。由于当 时，于是是有界的，因而只要 对任意成立，就有本讲稿第七页，共九十四页有界，故 是稳定的。至于Lagrange多项式，由于 无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性。相比之下。有良好的逼近性质，但它收敛太慢，故实际中很少采用。本讲稿第八页，共九十四页更一般地，可以用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 。函数逼近问题就是对任何 ，在子空间 中找一个元素 ，使 在某中意义下最小。本讲稿第九页，共九十四页3.1.2 范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间 引进范数是
4、为了对线性空间中的元素度量大小，是向量长度的推广。定义：设 为线性空间，若存在唯一实数 ，满足条件：（1），当且仅当 时，；（2），；（3），。则称 为线性空间 上的范数，与 一起称为赋范线性空间，记为 。本讲稿第十页，共九十四页常用范数常用范数 例如，在 上的向量 ，三种常用范数为：-范数 1-范数 2-范数本讲稿第十一页，共九十四页 类似地，在连续函数空间 ，可定义三种常用的范数如下：-范数 1-范数 2-范数可以验证这样定义的范数满足定义的条件本讲稿第十二页，共九十四页3.1.3 内积与内积空间内积与内积空间 在线性代数中，中向量和向量 的内积定义为：把它推广到一般的线性空间 ，则有下面
5、的定义：定义：设 是数域 上的线性空间，对 ，有 中的一个数与之对应，记为 ，它满足以下条件：本讲稿第十三页，共九十四页(1)，(2)，(3)，(4)，当且仅当 时，则称 为 上 与 的内积。定义了内积的线性空间称为内积空间。如果 ，则称 与 正交。本讲稿第十四页，共九十四页 定理：设 为一个内积空间，对有成立，该不等式称为Cauchy-Schwarz不等式。证明：当 时，上式显然成立，现设 ，则 ，且对任何数 有 本讲稿第十五页，共九十四页 这是一个关于 的二次式，既然它大于等于零，则它的判别式必然小于等于零，因此我们得到：即：本讲稿第十六页，共九十四页 定理：设 为一个内积空间，矩阵称为G
6、ram矩阵，非奇异的充分必要条件是 线性无关。本讲稿第十七页，共九十四页 证明：非奇异等价于 ，其充要条件是齐次方程组 ，只有零解，而 本讲稿第十八页，共九十四页 从以上等价关系可知，等价于从（A）推出 ，也即从（B）推出 ，即线性无关。在内积空间 上可以有内积导出一种范数，即对于 ，记可以验证它满足范数定义中的三条性质，其中三角不等式可由定理直接得出。本讲稿第十九页，共九十四页例：例：与与 中元素的内积中元素的内积 设 ，则其内积和范数分别为：，若给定实数 （权系数）则 上可定义加权内积和相应的范数为：，本讲稿第二十页，共九十四页 加权内积是内积的推广，加权范数是范数的推广，当 时就是原来的
7、内积和范数 如果 ，带权内积定义为 在 上也可定义带权内积，为此先给出权函数的定义：本讲稿第二十一页，共九十四页 定义：设 是有限或无限区间，在上的非负函数 满足条件：(1)存在且为有限值，(2)对 上的非负连续函数 ，如果 ，则 。则称 为 上的一个权函数。本讲稿第二十二页，共九十四页 注意：这个定义比较抽象，它并没有告诉我们 是怎样的函数，我们暂且放在一边，下面的讨论中会对权函数加深理解。例2：上的内积，设 是权函数，则有：易验证它是内积：本讲稿第二十三页，共九十四页当 时，有：若 ，是 中的线性无关的函数族，它的Gram矩阵为：本讲稿第二十四页，共九十四页 根据定理，线性无关的充要条件是
8、本讲稿第二十五页，共九十四页3.2 正交多项式正交多项式 正交多项式是函数逼近的重要工具。本讲稿第二十六页，共九十四页3.2.1 正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式 定义：若 ，为上的权函数且满足则称 与 在 上带权 正交。若函数族 满足关系：则称 是 上带权 的正交函数族若 ，则称之为标准正交函数族。本讲稿第二十七页，共九十四页正交函数族的例正交函数族的例 三角函数族在区间 上是正交函数族。本讲稿第二十八页，共九十四页正交多项式的定义正交多项式的定义 定义：设 是 上首项系数 的 次多项式，为 上的权函数，如果多项式序列 满足关系式则称多项式序列 为在 上带权正交。称 为区间 上带
9、权 的次正交多项式。本讲稿第二十九页，共九十四页线性无关函数族的正交化线性无关函数族的正交化 只要给定了区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的函数 ，通过正交化的方法得到正交多项式序列这样得到的正交多项式序列有以下性质：本讲稿第三十页，共九十四页正交多项式序列的性质正交多项式序列的性质(1)是最高次系数为1的 次多项式；(2)任何 次多项式 均可表示为：的线性组合(3)当 时，且 与任一次数小于 的多项式正交。(4)成立递推关系其中：本讲稿第三十一页，共九十四页这里(5)设 是在 上带权 的正交多项式序列，则 的 个根都是在区间 内的单重实根。下面给出几种常见的正交多项式。本讲稿第三十二页，共
10、九十四页勒让德多项式勒让德多项式 区间为 ，权函数 时，由 正交化得到的多项式称为勒让德多项式，并用 表示罗德利克1814年给出了如下的简单表示：由于 是 次多项式，求 阶导数后得到：本讲稿第三十三页，共九十四页于是得到首项 系数 ，显然最高项系数为1的勒让德多项式为：勒让德多项式有几个重要性质。本讲稿第三十四页，共九十四页 性质1：正交性 证明：令 ，则 设 是在区间 上形如 的 阶连续可微的函数，由分部积分知本讲稿第三十五页，共九十四页若 是次数小于 的多项式，则故得到本讲稿第三十六页，共九十四页若 则于是本讲稿第三十七页，共九十四页由于故得证。本讲稿第三十八页，共九十四页 性质2：奇偶性
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