第五章动态电路的时域方程PPT讲稿.ppt

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1、第五章动态电路的时域方程第1页，共145页，编辑于2022年，星期三 主要内容主要内容qq状态变量分析的基本概念状态变量分析的基本概念qq状态方程的建立状态方程的建立qq线性状态方程的解析方法线性状态方程的解析方法qq状态方程的小信号分析状态方程的小信号分析qq三种方法：三种方法：三种方法：三种方法：稀疏表格法稀疏表格法改进节点法改进节点法端口分析法端口分析法第2页，共145页，编辑于2022年，星期三5-1 5-1 状态变量分析的基本概念状态变量分析的基本概念 qq一、状态、状态变量、状态方程一、状态、状态变量、状态方程一、状态、状态变量、状态方程一、状态、状态变量、状态方程 qq电路的状态

2、：电路的状态：电路的状态：电路的状态：一组最少数据一组最少数据一组最少数据一组最少数据 11、对于某一任意的时刻对于某一任意的时刻t t0 0，可以根据，可以根据t t0 0时刻的时刻的状态及状态及t tt t0 0时的输入波形来唯一地确定时的输入波形来唯一地确定t t t t0 0的的任一时刻的状态任一时刻的状态；2 2、根根据据在在t t时时刻刻的的状状态态及及t t时时刻刻的的输输入入(或或者者输输入入的的导导数数)能能够够唯唯一一地地确确定定在在t t时时刻刻的的任任一一电电路路变变量的值。量的值。:电路的状态实质上是指电路的储能状况。电路的状态实质上是指电路的储能状况。第3页，共14

3、5页，编辑于2022年，星期三状态变量、状态向量和状态空间状态变量、状态向量和状态空间 qq状态变量：描述状态的变量状态变量：描述状态的变量状态变量：描述状态的变量状态变量：描述状态的变量 动动态态电电路路的的状状态态变变量量是是确确定定动动态态电电路路运运动动行行为为的的最最少少一一组组变变量量。记记作作 x x11(t t),x x22(t t),x,xn n(t t)独立完备变量独立完备变量独立完备变量独立完备变量qq初始状态初始状态初始状态初始状态:电路在初始时刻电路在初始时刻t tt t0 0的状态的状态qq状状状状态态态态向向向向量量量量:将将n n个个状状态态变变量量x x11(

4、t t)、x x2 2(t t)、x xn n(t t)构构成成的的向向量量x x(t t)qq状状状状态态态态空空空空间间间间：以以状状态态向向量量的的各各个个分分量量x x1 1、x x2 2、x xn n为为轴轴所所构构成成的的n n维欧氏空间维欧氏空间第4页，共145页，编辑于2022年，星期三状态方程qq状态方程状态方程状态方程状态方程(1)(1)线性时不变网络线性时不变网络A为系数矩阵，B为控制矩阵(2)(2)线性时变网络线性时变网络(3)(3)非线性网络非线性网络规范化：规范化：变换变换：时变网络：时变网络：时不变网络：时不变网络：第5页，共145页，编辑于2022年，星期三输出

5、方程qq输出方程输出方程输出方程输出方程 联系输出与状态变量和输入之间的关系式联系输出与状态变量和输入之间的关系式(1)(1)线性时不变网络线性时不变网络y为输出向量,x为状态向量,u为输入向量,C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。(2)(2)线性时变网络线性时变网络(3)(3)非线性网络非线性网络第6页，共145页，编辑于2022年，星期三规范型状态方程的特征规范型状态方程的特征qq规范型状态方程的特征规范型状态方程的特征:(1)(1)每每个个方方程程式式的的左左端端只只有有一一个个状状态态变变量量对对时时间间的的一一 阶导数阶导数;(2)(2)每每个个方方程程式式右右端端是是激激励

6、励函函数数与与状状态态变变量量的的某某种种函函数关系数关系,但不出现对时间的导数项。但不出现对时间的导数项。半状态描述半状态描述半状态描述半状态描述 E E为奇异矩阵为奇异矩阵第7页，共145页，编辑于2022年，星期三二、网络的复杂度二、网络的复杂度(Order of Complexity)qq定义定义定义定义 网络中独立初始条件的数目网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状即独立完备的状态变量数目。态变量数目。qq线性时不变网络的复杂度线性时不变网络的复杂度线性时不变网络的复杂度线性时不变网络的复杂度 uuC C(或或q qC C)和和i iL L(或或 L L)选作电路的状态变量。选作电

7、路的状态变量。qq常态网络常态网络常态网络常态网络 对对于于仅仅由由电电阻阻、电电感感、电电容容和和独独立立电电源源组组成成的的网网络络,如如果果不不存存在在仅仅由由电电容容和和独独立立电电压压源源组组成成的的回回路路(称称为为C-EC-E回回路路)和和仅仅由由电电感感和和独独立立电电流流源源构构成成的割集的割集(称为称为L-JL-J割集割集),),则称为则称为常态网络常态网络常态网络常态网络.第8页，共145页，编辑于2022年，星期三C-EC-EC-EC-E回路回路回路回路非常态网络非常态网络非常态网络非常态网络 含含有有C-EC-E回回路路和和或或L-JL-J割割集集的的网网络络称称为为

8、非非非非常常常常态态态态网络网络网络网络,又叫又叫蜕化网络蜕化网络蜕化网络蜕化网络。C-EC-E回路回路回路回路:仅由电容和仅由电容和/或电压源组成的回路或电压源组成的回路C-EC-E回路又称为纯电容回路或全电容回路回路又称为纯电容回路或全电容回路回路又称为纯电容回路或全电容回路回路又称为纯电容回路或全电容回路第9页，共145页，编辑于2022年，星期三L-JL-JL-JL-J割集割集割集割集L-JL-J割集割集割集割集:仅由电感和仅由电感和/或电流源组成的割集或电流源组成的割集:常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。L-JL-J割集又称为

9、纯电感割集或全电感割集割集又称为纯电感割集或全电感割集第10页，共145页，编辑于2022年，星期三独立电容电压独立电容电压独立电容电压独立电容电压C-EC-EC-EC-E回路中一个电容电压不独立回路中一个电容电压不独立回路中一个电容电压不独立回路中一个电容电压不独立第11页，共145页，编辑于2022年，星期三独立电感电流独立电感电流独立电感电流独立电感电流:非常态网络的复杂度非常态网络的复杂度L-JL-JL-JL-J割集中一个电感电流不独立割集中一个电感电流不独立割集中一个电感电流不独立割集中一个电感电流不独立第12页，共145页，编辑于2022年，星期三广义常态网络及其复杂度复杂度 广义

10、常态网络广义常态网络广义常态网络广义常态网络 对对于于电电阻阻、电电感感、电电容容、D D型型元元件件、E E型型元元件件和和独独立立电电源源组组成成的的网网络络,如如果果不不存存在在仅仅由由电电容容、D D型型元元件件和和独独立立电电压压源源组组成成的的回回路路(广广义义C CE E回回路路)和和仅仅由由电电感感、E E型型元元件件和和独独立立电电流流源源构构成成的的割割集集(广广义义L LJ J割割集集),),则则称称为为广广广广义义义义常态网络常态网络常态网络常态网络,否则称为否则称为广义非常态网络广义非常态网络广义非常态网络广义非常态网络。:广义常态网络的复杂度广义常态网络的复杂度第1

11、3页，共145页，编辑于2022年，星期三广义非常态网络的复杂度广义非常态网络的复杂度广义非常态网络的复杂度广义非常态网络的复杂度:广义非常态网络的复杂度广义非常态网络的复杂度当网络中不存在仅由当网络中不存在仅由D D型元件和独立电压源组成的型元件和独立电压源组成的回路和仅由回路和仅由E E型元件和独立电流源组成的割集时型元件和独立电流源组成的割集时,等号成等号成立。立。第14页，共145页，编辑于2022年，星期三确定确定C-EC-E回路和回路和L-JL-J割集的拓扑方法割集的拓扑方法用拓扑法决定独立的用拓扑法决定独立的用拓扑法决定独立的用拓扑法决定独立的(广义广义广义广义)C-E)C-E回

12、路和回路和回路和回路和(广义广义广义广义)L-J)L-J割集割集割集割集(1)(1)用开路方法确定用开路方法确定(广义广义)C-E)C-E回路数回路数(2)(2)用短路方法确定用短路方法确定(广义广义)L-J)L-J割集数割集数 C-EC-E回路和回路和回路和回路和L-JL-J割集可通过网络的等效变换消去割集可通过网络的等效变换消去割集可通过网络的等效变换消去割集可通过网络的等效变换消去 对于含有受控源和负元件的网络对于含有受控源和负元件的网络对于含有受控源和负元件的网络对于含有受控源和负元件的网络 复杂度与网络中的元件值有关。复杂度与网络中的元件值有关。第15页，共145页，编辑于2022年

13、，星期三三、三、C-E回路和回路和L-J割集的消去割集的消去 设设设设网网络络有有一一个个树树T T。T T中中含含有有所所有有的的电电压压源源、尽尽可可能能多多的的电电容容元元件件、电电阻阻元元件件、尽尽可可能能少少的的电电感感元元件件等等。树树中中的的电电压压源源、电电容容元元件件和和补补树树中中的的电容元件组成电容元件组成C-EC-E回路：回路：（1 1）如如果果该该回回路路中中连连支支电电容容是是压压控控的的，则则可可开开路路连连支电容支电容,其它电容用等效的荷控电容代替。其它电容用等效的荷控电容代替。（2 2）如如果果该该割割集集中中树树支支电电感感是是流流控控的的,则则可可用用短短

14、路路线线代替树支电感代替树支电感,其它电感用等效链控电感代替。其它电感用等效链控电感代替。第16页，共145页，编辑于2022年，星期三5-2 状态方程的建立状态方程的建立 qq状态方程的建立方法状态方程的建立方法：直接法直接法间接法间接法 直接编写法直接编写法 直观列写法直观列写法 系统列写法系统列写法 网络拓扑法网络拓扑法 间接编写法间接编写法 由输入输出方程编写由输入输出方程编写 由转移函数编写由转移函数编写 由信号流图由信号流图(或系统框或系统框图图)编写编写 第17页，共145页，编辑于2022年，星期三一、状态方程的直观列写法一、状态方程的直观列写法1 1、线性动态电路的状态方程、

15、线性动态电路的状态方程、线性动态电路的状态方程、线性动态电路的状态方程例题例题1 1例题例题2 2例题例题3 3例题例题4 4例题例题5 5列写步骤列写步骤：(1)(1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预预预预选选选选状态变量状态变量状态变量状态变量；(2)(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据对每个独立的电容，选用一个割集，并依据对每个独立的电容，选用一个割集，并依据对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCLKCLKCLKCL和电容的和电容的和电容的和电容的

16、VARVARVARVAR列写节点方程列写节点方程列写节点方程列写节点方程；(3)(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。对每个独立的电感，选用一个回路，并依据对每个独立的电感，选用一个回路，并依据对每个独立的电感，选用一个回路，并依据对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVLK

17、VLKVLKVL和电和电和电和电感的感的感的感的VARVARVARVAR列写回路方程列写回路方程列写回路方程列写回路方程；第18页，共145页，编辑于2022年，星期三一、状态方程的直观列写法（续）一、状态方程的直观列写法（续）例题例题2 2例题例题3 3例题例题4 4例题例题5 5借助拓扑图的列写步骤借助拓扑图的列写步骤：(1)(1)包含所有的独立电压源包含所有的独立电压源包含所有的独立电压源包含所有的独立电压源；不包含独立电流源。不包含独立电流源。不包含独立电流源。不包含独立电流源。(2)(2)包含尽可能多的电容和压控型高阶元件包含尽可能多的电容和压控型高阶元件包含尽可能多的电容和压控型高

18、阶元件包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；(3)(3)包含尽可能少的电感和流控型高阶元件包含尽可能少的电感和流控型高阶元件包含尽可能少的电感和流控型高阶元件包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；1.1.选择树选择树选择树选择树2.2.选树支上电容电压、选树支上电容电压、选树支上电容电压、选树支上电容电压、压控型高阶元件电压压控型高阶元件电压压控型高阶元件电压压控型高阶元件电压和连支上电感电和连支上电感电和连支上电感电和连支上电感电流、流、流、流、流控型高阶元件电流流控型高阶元件电流流控型高阶元件电流流控型高阶元件电流为为为为预选预选预选预选状态变量状态变量状态变量状态变量3.3.对电容树支的基本

19、割集列写对电容树支的基本割集列写对电容树支的基本割集列写对电容树支的基本割集列写KCLKCL方程；方程；方程；方程；对电感连支的基本回路列写对电感连支的基本回路列写对电感连支的基本回路列写对电感连支的基本回路列写KVLKVL方程。方程。方程。方程。4.4.借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。变量和输入表示

20、，并从方程中消去，整理成标准形。第19页，共145页，编辑于2022年，星期三2、线性时变网络的状态方程、线性时变网络的状态方程qq对时变电感元件对时变电感元件，选磁链，选磁链(t t)作为状态变量作为状态变量。例题例题6 6状态变量的选择q q对时变电容元件对时变电容元件，选电荷，选电荷q qC C(t t)作为状态变量作为状态变量。第20页，共145页，编辑于2022年，星期三 3、非线性动态电路状态方程的列写、非线性动态电路状态方程的列写非线性电路状态方程的标准形式为非线性电路状态方程的标准形式为x x为为n n维状态变量向量，维状态变量向量，F F是是x x的某种非线性函数向量。的某种

21、非线性函数向量。状态变量的选择：状态变量的选择：压控电容的电压、荷控电容的电荷压控电容的电压、荷控电容的电荷流控电感的电流、链控电感的磁链流控电感的电流、链控电感的磁链一般取元件特性的一般取元件特性的控制量控制量第21页，共145页，编辑于2022年，星期三元件特性条件表元件特性条件表先选树，再建方程先选树，再建方程先选树，再建方程先选树，再建方程拓扑拓扑条件条件类类 型型树树 支支连连 支支电电 容容荷控荷控 压控压控压控压控电电 感感电电 阻阻忆忆 阻阻流控流控流控流控荷控荷控 链控链控流控流控 链控链控压控压控荷控荷控 链控链控非线性动态电路状态方程的列写示例非线性动态电路状态方程的列写

22、示例例题例题7 7例题例题8 8例题例题9 9例题例题1010Jump第22页，共145页，编辑于2022年，星期三二、从输入输出方程到状态方程二、从输入输出方程到状态方程 qq实现：实现：实现：实现：由输入输出方程确定其状态空间表示由输入输出方程确定其状态空间表示情形情形1 1 取取为系统的为系统的n n个状态变量个状态变量,且设且设第23页，共145页，编辑于2022年，星期三矩阵形式为矩阵形式为第24页，共145页，编辑于2022年，星期三即即A A为友矩阵为友矩阵第25页，共145页，编辑于2022年，星期三qq系统的输出方程：系统的输出方程：即即第26页，共145页，编辑于2022年

23、，星期三qq讨论讨论讨论讨论：1 1、若动态系统的输入函数为零、若动态系统的输入函数为零,那么状态方程为那么状态方程为 2 2、设、设x x1 1、x x2 2、x xnn为所讨论系统的一组状态变量为所讨论系统的一组状态变量,而而为该系统的另一组状态变量，则为该系统的另一组状态变量，则第27页，共145页，编辑于2022年，星期三3 3、特征方程、特征方程:特征方程的根称为特征方程的根称为A A的特征值或本征值，也的特征值或本征值，也称之为特征方程的特征根。称之为特征方程的特征根。4 4、由（由（5 5）和（）和（3 3）得：）得：特征方程特征方程:第28页，共145页，编辑于2022年，星期

24、三qq概括概括：qq一一个个n n阶阶线线性性时时不不变变动动态态系系统统,若若输输入入中中不不含含有有导导数数项项,则其状态方程为则其状态方程为 若系统的输入为零若系统的输入为零,则有齐次状态方程则有齐次状态方程 第29页，共145页，编辑于2022年，星期三情形情形2 若若(a)(b)取取为状态变量为状态变量第30页，共145页，编辑于2022年，星期三(c)第31页，共145页，编辑于2022年，星期三（1 1）如果我们沿用状态变量）如果我们沿用状态变量,则所得的则所得的n n个一阶微分方程为个一阶微分方程为 第32页，共145页，编辑于2022年，星期三(2)(2)当采用式当采用式(b

25、)(b)所表示的一组状态变量时所表示的一组状态变量时,我们可以我们可以得得到到(d)第33页，共145页，编辑于2022年，星期三再根据式再根据式(b)(b)和式和式(c),(c),可得可得 第34页，共145页，编辑于2022年，星期三即即第35页，共145页，编辑于2022年，星期三qq动态系统的输出方程为：动态系统的输出方程为：即即:一个线性动态系统的输入中含有导数项并不会影响一个线性动态系统的输入中含有导数项并不会影响矩阵矩阵A A中各元素中各元素,只会影响矩阵只会影响矩阵B B中各元素。中各元素。第36页，共145页，编辑于2022年，星期三情形情形3 若若通过定义适当的辅助函数，通

26、过定义适当的辅助函数，向量形式向量形式:如果该非线性动态系统为多输入系统如果该非线性动态系统为多输入系统,则有则有 第37页，共145页，编辑于2022年，星期三5-3 线性状态方程的解析方法线性状态方程的解析方法qq分类分类分类分类1 1：数值解法数值解法解析解法解析解法u u为系统的输入，为系统的输入，x x和和u u均为均为t t的函数。的函数。一、线性状态方程的时域解法一、线性状态方程的时域解法一、线性状态方程的时域解法一、线性状态方程的时域解法1 1、线性时不变网络状态方程的解法、线性时不变网络状态方程的解法（1 1）非齐次标量微分方程解的形式）非齐次标量微分方程解的形式q q分类分

27、类分类分类2 2：时域解法时域解法频域解法频域解法状态方程的解法分类状态方程的解法分类状态方程的解法分类状态方程的解法分类第38页，共145页，编辑于2022年，星期三线性时不变网络状态方程的解法线性时不变网络状态方程的解法线性时不变网络状态方程的解法线性时不变网络状态方程的解法在等式两边乘以在等式两边乘以从从0_0_到到t t积分，得积分，得第39页，共145页，编辑于2022年，星期三矩阵指数函数eAt及其性质qq性质性质性质性质q q定义定义定义定义第40页，共145页，编辑于2022年，星期三状态方程的解析解状态方程的解析解 非齐次状态方程的矩阵形式非齐次状态方程的矩阵形式:等式两边左

28、乘矩阵指数函数等式两边左乘矩阵指数函数从从0_0_到到t t积分，得积分，得零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应第41页，共145页，编辑于2022年，星期三输出方程的解输出方程的解如果系统运行的初始时间为如果系统运行的初始时间为t t0 0,则则输出方程输出方程状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵:矩阵指数函数矩阵指数函数其解为其解为记作记作零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应第42页，共145页，编辑于2022年，星期三状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质qq的性质的性质对于线性时不变网络对

29、于线性时不变网络第43页，共145页，编辑于2022年，星期三冲激响应矩阵冲激响应矩阵定义定义零状态响应为零状态响应为称为称为冲激响应矩阵冲激响应矩阵冲激响应矩阵冲激响应矩阵第44页，共145页，编辑于2022年，星期三矩阵指数函数的计算矩阵指数函数的计算(i i)化化 为有限项之和进行计算为有限项之和进行计算 凯莱凯莱凯莱凯莱-哈密顿哈密顿哈密顿哈密顿(Cayley Hamilton)(Cayley Hamilton)(Cayley Hamilton)(Cayley Hamilton)定理定理定理定理一个一个n n阶方阵必定满足于它自身的特征方程阶方阵必定满足于它自身的特征方程n n阶方阵阶

30、方阵A A的特征方程为的特征方程为 第45页，共145页，编辑于2022年，星期三第46页，共145页，编辑于2022年，星期三A的特征值各不相同的特征值各不相同情况情况情况情况1 1 A A的特征值各不相同的特征值各不相同 返回第47页，共145页，编辑于2022年，星期三的转置称为的转置称为范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵例题例题矩阵形式矩阵形式第48页，共145页，编辑于2022年，星期三特征根有重根特征根有重根情情情情况况况况2 2 A A的的特特征征根根 1 1为为mm阶阶重重根根,其其它它特特征征根根均均为为单单根根。则重根部分方程为：则重根部分方程为：例题例题返回第49页

31、，共145页，编辑于2022年，星期三 （ii ii）化化A A为对角阵进行计算为对角阵进行计算设设A A有有n n个彼此相异的实特征根个彼此相异的实特征根 1 1,2 2,n n。定义定义 diagdiag 1 1,2 2,n n；若若P P(1)(1),(2)(2),(n)(n)，则，则(k)(k)满足满足 A A(k k)k k(k k)(k k1,2,n)1,2,n):当当A A为友矩阵时，为友矩阵时，P P可取范德蒙矩阵。可取范德蒙矩阵。或者或者或者或者第50页，共145页，编辑于2022年，星期三取取代入状态方程代入状态方程例题例题实例实例 解耦状态方程解耦状态方程第51页，共14

32、5页，编辑于2022年，星期三2、线性时变网络状态方程的解法、线性时变网络状态方程的解法 qq状态方程为状态方程为状态方程的解为状态方程的解为 输出方程为输出方程为其解为其解为第52页，共145页，编辑于2022年，星期三二、状态方程的复频域解法二、状态方程的复频域解法 线性时不变网络的状态方程为线性时不变网络的状态方程为令令对状态方程两边取拉氏变换对状态方程两边取拉氏变换第53页，共145页，编辑于2022年，星期三状态方程的复频域解状态方程的复频域解零输入响应象函数零输入响应象函数零状态响应象函数零状态响应象函数状态方程的时域解为状态方程的时域解为矩阵矩阵(s(s1 1A A)1 1称为称

33、为预解矩阵预解矩阵预解矩阵预解矩阵第54页，共145页，编辑于2022年，星期三 输出方程输出方程称为网络函数矩阵例题式中式中零输入响应象函数零输入响应象函数零状态响应象函数零状态响应象函数Jump第55页，共145页，编辑于2022年，星期三5-4状态方程的小信号分析状态方程的小信号分析一、自治网络的小信号分析一、自治网络的小信号分析一、自治网络的小信号分析一、自治网络的小信号分析 自治网络的状态方程自治网络的状态方程 UU代表电路中代表电路中mm维直流电源向量。维直流电源向量。平衡点平衡点平衡点平衡点 对于任一点对于任一点x xQ,Q,如果如果 在在x xQ Q处为零处为零,则把则把x x

34、Q Q称为自称为自治状态方程的治状态方程的平衡点平衡点平衡点平衡点。第56页，共145页，编辑于2022年，星期三一、自治网络的小信号分析一、自治网络的小信号分析qq以状态方程为基础的非线性动态电路的小信号分析以状态方程为基础的非线性动态电路的小信号分析法法 设：设：必须满足必须满足第57页，共145页，编辑于2022年，星期三设设F F对对x x和和 存在一阶偏导数，存在一阶偏导数，并且在所有时间并且在所有时间,足够小；足够小；第58页，共145页，编辑于2022年，星期三第59页，共145页，编辑于2022年，星期三二、非自治网络的小信号分析二、非自治网络的小信号分析 设设相应于时变偏置源

35、相应于时变偏置源的状态的状态,x(t),x(t)相应于小相应于小信号输入信号输入u(t)u(t)的状态摄动。的状态摄动。当当u(t)=0u(t)=0时，时，x(t)=0 x(t)=0。第60页，共145页，编辑于2022年，星期三在时变偏置源和小信号输入作用下在时变偏置源和小信号输入作用下 小信号等效网络的状态方程为小信号等效网络的状态方程为第61页，共145页，编辑于2022年，星期三第62页，共145页，编辑于2022年，星期三5-5 稀疏表格法稀疏表格法qq对于线性动态电路对于线性动态电路,以以p p表示微分算子表示微分算子则则 q q 对于非线性动态电路对于非线性动态电路 对于流控电感

36、对于流控电感 对于压控电容对于压控电容 第63页，共145页，编辑于2022年，星期三 对于荷控电容和链控电感对于荷控电容和链控电感 对于含有高阶元件的电路对于含有高阶元件的电路 对于忆阻元件对于忆阻元件 第64页，共145页，编辑于2022年，星期三 对于非线性高阶元件对于非线性高阶元件 对于线性动态网络对于线性动态网络 第65页，共145页，编辑于2022年，星期三 对于非线性动态电路对于非线性动态电路 例题例题1 1例题例题2 2第66页，共145页，编辑于2022年，星期三5-6 改进节点法改进节点法qq线性动态电路时域的改进节点电压方程线性动态电路时域的改进节点电压方程式中式中Y Y

37、n1n1、C C和和D D中可能含有一阶微分算符中可能含有一阶微分算符这是由网络中的贮能元件、忆阻元件和高阶元件引这是由网络中的贮能元件、忆阻元件和高阶元件引起的。起的。例题例题1 1例题例题2 2第67页，共145页，编辑于2022年，星期三5-7 端口分析法端口分析法一、线性动态网络的端口法一、线性动态网络的端口法一、线性动态网络的端口法一、线性动态网络的端口法qq常态网络常态网络 多口网络方程为多口网络方程为第68页，共145页，编辑于2022年，星期三一、线性动态网络的端口法一、线性动态网络的端口法或者或者第69页，共145页，编辑于2022年，星期三 对于电容组成的对于电容组成的p

38、p口网络口网络p p阶矩阵阶矩阵C C在仅由二端线性电容组成的情况下在仅由二端线性电容组成的情况下为一对角矩阵为一对角矩阵,q q阶方阵阶方阵L L在仅由二端线性电感组成的情况下在仅由二端线性电感组成的情况下为一对角矩阵为一对角矩阵,r r阶方阵阶方阵E E在仅由二端线性在仅由二端线性E E型元件组成的情况下为一对型元件组成的情况下为一对角矩阵角矩阵,对于电感组成的对于电感组成的q q口网络口网络 对于对于E E型元件组成的型元件组成的r r口网络口网络第70页，共145页，编辑于2022年，星期三qq对于对于D D型元件组成的型元件组成的s s口网络口网络 第71页，共145页，编辑于202

39、2年，星期三第72页，共145页，编辑于2022年，星期三第73页，共145页，编辑于2022年，星期三 对于对于RLCRLC非常态网络非常态网络(a)(b)(c)端口电压与电流之间的关系为端口电压与电流之间的关系为第74页，共145页，编辑于2022年，星期三第75页，共145页，编辑于2022年，星期三二、非线性动态网络的端口法二、非线性动态网络的端口法 对于非线性时不变对于非线性时不变RLCRLC网络网络,一般网络结构为一般网络结构为第76页，共145页，编辑于2022年，星期三 设线性设线性(p+q)(p+q)口电阻网络具有下列的混合描述口电阻网络具有下列的混合描述:YR和XR为非线性

40、电阻p口网络的端口变量；YD和ZD为贮能元件构成的q口网络的端口变量；v1(t)和v2(t)表示网络的输入电源。XD为电容电荷和电感磁链组成的列向量设非线性电阻的赋定关系为设非线性电阻的赋定关系为贮能元件的赋定关系为贮能元件的赋定关系为第77页，共145页，编辑于2022年，星期三非线性网络的方程为非线性网络的方程为 THE END第78页，共145页，编辑于2022年，星期三例题集例题集例例例例1 1 列写如图所示电路的状态方程。列写如图所示电路的状态方程。解解解解对接有电容对接有电容C C的节点的节点a a列写节点方程，得列写节点方程，得选电容电压选电容电压u uC C和电感电流和电感电流

41、i i1 1、i i2 2为状态变量为状态变量第79页，共145页，编辑于2022年，星期三对含有对含有L L1 1的回路的回路C-LC-L1 1-u-uSS和含有和含有L L2 2的回路的回路C-LC-L2 2-R-u-R-uS S分别列写回路方程，分别列写回路方程，第80页，共145页，编辑于2022年，星期三对上述方程进行整理并写成矩阵形式，得对上述方程进行整理并写成矩阵形式，得 返回(back)第81页，共145页，编辑于2022年，星期三例例例例2 2 列写如图所示电路的状态方程。列写如图所示电路的状态方程。解解解解 每每个个元元件件作作为为一一条条支支路路，可可作作出出图图示示的的

42、有有向向图图(实实线线为为树树支支)。选选 和和 为状态变量。为状态变量。对基本割集列写对基本割集列写KCLKCL方程，得方程，得第82页，共145页，编辑于2022年，星期三对基本回路列写对基本回路列写KVLKVL方程，得方程，得第83页，共145页，编辑于2022年，星期三写成标准形式，得写成标准形式，得 返回(back)第84页，共145页，编辑于2022年，星期三例例例例33列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。解解解解 对对C C1 1、C C3 3和和u us s组成全电容回路组成全电容回路对对L L2 2、L L4 4和和i is s构成全电感割集构成全电感割集故故u

43、u1 1和和u u3 3两个电容电压只能选其中之一为状态变量；两个电容电压只能选其中之一为状态变量；电路的有向图如图示电路的有向图如图示故故i i2 2和和i i4 4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。两个电感电流只能选其中之一为状态变量。，故选，故选u u1 1和和i i2 2为状态变量。为状态变量。，应用应用KVLKVL得得，应用，应用KCLKCL得得第85页，共145页，编辑于2022年，星期三对基本回路列写对基本回路列写KVLKVL方程，得方程，得第86页，共145页，编辑于2022年，星期三对基本割集列写对基本割集列写KCLKCL方程，得方程，得第87页，共145页，编辑于202

44、2年，星期三消去消去u u3 3和和i i4 4，整理成标准形式的状态方程，有，整理成标准形式的状态方程，有 返回(back)第88页，共145页，编辑于2022年，星期三例例例例44列出图示电路的状态方程和输出方程。设输出列出图示电路的状态方程和输出方程。设输出为电阻电压为电阻电压u u3 3和和u u4 4。解解解解 电路的有向图如图示。电路的有向图如图示。选取选取u uCC、i i1 1和和i i2 2为状态变量为状态变量 第89页，共145页，编辑于2022年，星期三含电容的基本割集电流方程为含电容的基本割集电流方程为含电感的基本回路电压方程分别为含电感的基本回路电压方程分别为 第90

45、页，共145页，编辑于2022年，星期三对基本割集列写电流方程，得对基本割集列写电流方程，得代入基本回路电压方程，得代入基本回路电压方程，得 对基本回路列写电压方程，得对基本回路列写电压方程，得第91页，共145页，编辑于2022年，星期三状态方程的矩阵形式为状态方程的矩阵形式为由由和和第92页，共145页，编辑于2022年，星期三根据欧姆定律：根据欧姆定律：返回(back)输出方程的矩阵形式为输出方程的矩阵形式为第93页，共145页，编辑于2022年，星期三含高阶元件的电路例题含高阶元件的电路例题例例例例55试列写如图所示网络的状态方程。高阶元件试列写如图所示网络的状态方程。高阶元件D D的

46、的赋定关系为赋定关系为解解解解 由由KVLKVL和电感的和电感的VARVAR得得例例例例55试列写如图所示网络的状态方程。试列写如图所示网络的状态方程。第94页，共145页，编辑于2022年，星期三由由KCLKCL和高阶元件的赋定关系及电导的和高阶元件的赋定关系及电导的VARVAR得得令令 第95页，共145页，编辑于2022年，星期三所求的状态方程为所求的状态方程为返回(back)第96页，共145页，编辑于2022年，星期三线性时变网络例题线性时变网络例题例例例例66试写出图示时变网络的状态方程。试写出图示时变网络的状态方程。解解解解 取电感电流取电感电流i i和电容电荷和电容电荷q q为

47、状态变量为状态变量图中图中,第97页，共145页，编辑于2022年，星期三则矩阵形式的状态方程为则矩阵形式的状态方程为返回(back)若取电感电流若取电感电流i i和电容电压和电容电压u uC C为状态变量，则电路的为状态变量，则电路的状态方程为状态方程为第98页，共145页，编辑于2022年，星期三非线性动态电路非线性动态电路非线性动态电路非线性动态电路例例例例7 7 列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。解解解解 选电容电压选电容电压u uC C和电感电流和电感电流i iLL作为状态变量。作为状态变量。由由KCLKCL和电容的和电容的VARVAR得得由由KVLKVL和线性电感的和

48、线性电感的VARVAR 图中非线性电阻的伏安图中非线性电阻的伏安关系为关系为第99页，共145页，编辑于2022年，星期三将非线性电阻的将非线性电阻的VARVAR代入上式代入上式,并注意到并注意到i iR Ri iL L，得，得返回(back)电路的状态方程电路的状态方程 第100页，共145页，编辑于2022年，星期三例例例例8 8 试列写试列写试列写试列写图示电路的状态方程。其中图示电路的状态方程。其中,非线性电容非线性电容的特性方程为的特性方程为u uC Ch(q),h(q),非线性电感的特性方程为非线性电感的特性方程为i iLLf()f()。解解解解 取电容电荷取电容电荷q q和电感磁

49、链和电感磁链 作为状态变量。作为状态变量。按按KCLKCL得得由由KVLKVL得得第101页，共145页，编辑于2022年，星期三将将i iL Lf()f()和和u uC Ch(q)h(q)代入，消去非状态变量代入，消去非状态变量返回(back)电路的状态方程为电路的状态方程为第102页，共145页，编辑于2022年，星期三例例例例9 9 图图(a)(a)所示的电路是一个出现非物理现象的电路。所示的电路是一个出现非物理现象的电路。图中图中,电感为线性元件电感为线性元件,非线性电阻为压控的非线性电阻为压控的,其赋其赋定关系为定关系为i iR Rf(uf(uR R)u uR Ru u3 3R R3

50、 3。对图示电路对图示电路,应选电感支路为连支应选电感支路为连支,电阻支路为树支。电阻支路为树支。由于树支电阻为压控的由于树支电阻为压控的,不满足元件特性条件不满足元件特性条件,故无法列出状态方程。故无法列出状态方程。但我们可以列出其电路方程。但我们可以列出其电路方程。(a)第103页，共145页，编辑于2022年，星期三由此可见由此可见,u,uR R与与总是异号的总是异号的,即即 如图（如图（b b）所示，）所示，Q Q1 1,Q,Q2 2为死点为死点(b)第104页，共145页，编辑于2022年，星期三修正方法：在电路中添加一个数值很小的寄生电容修正方法：在电路中添加一个数值很小的寄生电容