数学方法论第一讲观察1修ppt课件.ppt

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1、数学方法论与解题研究数学方法论与解题研究1烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o数学方法论是一门什么样的学科数学方法论是一门什么样的学科o数学方法与数学思想的区别与联系数学方法与数学思想的区别与联系o学习数学方法论的意义学习数学方法论的意义2烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人数学方法论的含义数学方法论的含义o数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发

2、现、发律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。明与创新等法则的一门学问。3烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o数学宏观方法论数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。论的主要途径之一是研究数学史。o数学微观方法论数学微观方法论所研究的是一些比较具体数所研究的是一些比较具体数学方

3、法，特别是数学发现和数学创造的方法。学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。题理论等等。4烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o在我国，是由徐利治先生正式提出在我国，是由徐利治先生正式提出“数学方数学方法论法论”这一名称，并使其成为一门独立的学这一名称，并使其成为一门独立的学科。迄今仅二十来年。科。迄今仅二十来年。o徐利治徐利治先生指出：先生指出：“方法沦方法沦(methodology)(methodology)就是把

4、某种共同的发展规律和研究方法作为就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问讨论对象的一门学问。5烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 数学思想与数学方法数学思想与数学方法 现现代代汉汉语语中中，思思想想解解释释为为客客观观存存在在反反映映在在人的意识中经过思维活动而产生的结果人的意识中经过思维活动而产生的结果 辞海称思想为理性认识辞海称思想为理性认识 中中国国大大百百科科全全书书认认为为，思思想想是是相相对对于于感性认识的理性认识结果感性认识的理性认识结果 可可见见，思思想想是是认认识识的的

5、高高级级阶阶段段，是是事事物物本本质的、抽象的、概括的认识质的、抽象的、概括的认识 6烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 数数学学思思想想是是数数学学中中的的理理性性认认识识，是是数数学学中中高高度度抽抽象象、概概括括的的内内容容，是是从从具具体体的的数数学学内内容容和和对对数数学学的的认认识识过过程程中中提提炼炼上上升升的的数数学学观观点点，它它既既蕴蕴藏藏于于数数学学知知识识内内容容之之中中，是是数数学学知知识识的的本本质质，又又隐隐含含于于运运用用数数学学理理论论分分析析、处处理理和和解解决决问问

6、题题的的过过程程之之中中 7烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 数学方法的含义数学方法的含义 方方法法是是指指人人们们为为了了达达到到某某种种目目的的而而采采取取的的手手段段、途途径径和和行行为为方方式式中中所所包包含含的的可可操操作作的的规规则则或或模模式式，具具有有程程序序性性、规规则则性性、可可操操作作性性、模式性、指向性等特征模式性、指向性等特征 数数学学方方法法是是指指在在数数学学地地提提出出问问题题、研研究究问问题题和和解解决决问问题题（包包括括数数学学内内部部问问题题和和实实际际问问题题）

7、的过程中，所采用的各种手段或途径的过程中，所采用的各种手段或途径 8烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人数学思想与方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；步的概括和升华；9烧

8、伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人数学思想与方法的关系数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想想 10烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人学习数学

9、方法论的意义1、从数学思想方法的意义看从数学思想方法的意义看2 2、从当前数学课堂教学现状看、从当前数学课堂教学现状看11烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人从数学思想方法的意义看从数学思想方法的意义看2121世纪是世纪是“知识经济时代知识经济时代”，国际竞争，国际竞争是是“创新能力创新能力”的竞争，高科技的竞争，若的竞争，高科技的竞争，若把把“高科技高科技”比作皇冠的话，数学就是皇冠比作皇冠的话，数学就是皇冠上的一颗明珠。就是说要培养上的一颗明珠。就是说要培养2121世纪高科技世纪高科技创新人才，首先应

10、培养具有创新思维能力的创新人才，首先应培养具有创新思维能力的“数学王子数学王子”。12烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人从数学思想方法的意义看从数学思想方法的意义看 在数学教育中，学生掌握科学的思维方在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪国际高科技挑战的研究型人才、迎接新世纪国际高科技挑战的必由之路。必由之路。13烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请

11、同学们想一想如何来治疗该病人安东尼奥和鲍希亚肖像在这盒中肖像在这盒中金盒金盒肖像不在这盒中肖像不在这盒中银盒银盒肖像不在金盒中肖像不在金盒中铜盒铜盒14烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o2020世纪世纪8080年代，中国曾派一个访问团，去美国年代，中国曾派一个访问团，去美国考察初级教育。回国后，写了一份三万字的报考察初级教育。回国后，写了一份三万字的报告，在见闻录部分有四段文字：告，在见闻录部分有四段文字：30年：两个错误的教育预言15烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积

12、烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o1 1、学生无论品德优劣、能力高低，无不趾高气扬、踌、学生无论品德优劣、能力高低，无不趾高气扬、踌躇满志，大有躇满志，大有“我因我而不同凡响我因我而不同凡响”的意味。的意味。2、小学二年级的学生大字不识一斗，加减乘除还在掰手小学二年级的学生大字不识一斗，加减乘除还在掰手指头，就整天奢谈发明创造，在他们手里，让地球翻转指头，就整天奢谈发明创造，在他们手里，让地球翻转调个头，好像都易如反掌。调个头，好像都易如反掌。3、重音体美，而轻数理化，无论是公立还是私立学校，重音体美，而轻数理化，无论是公立还是私立学校，音体美活动无不如火如荼，而数

13、理化则乏人问津。音体美活动无不如火如荼，而数理化则乏人问津。4、课堂几乎处于失控状态，学生或挤眉弄眼，或谈天课堂几乎处于失控状态，学生或挤眉弄眼，或谈天说地，或跷二郎腿，更有甚者，如逛街一般，在教室里说地，或跷二郎腿，更有甚者，如逛街一般，在教室里摇来晃去。摇来晃去。16烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o最后，在结论部分，是这么写的：美国的最后，在结论部分，是这么写的：美国的初级教育已经病入膏肓，可以这么预言，初级教育已经病入膏肓，可以这么预言，再过再过2020年时间，中国的科技和文化必将赶年时间，中

14、国的科技和文化必将赶上和超过这个所谓的超级大国。上和超过这个所谓的超级大国。17烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 在同一年，作为互访，美国也派了一个考察团在同一年，作为互访，美国也派了一个考察团来到中国。他们在看了北京、上海、西安的几所来到中国。他们在看了北京、上海、西安的几所学校后，也写了一份报告，在见闻录部分也有四学校后，也写了一份报告，在见闻录部分也有四段文字：段文字：18烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病

15、人1 1、中国的小学生在上课时喜欢把手放在胸前，除非老师发中国的小学生在上课时喜欢把手放在胸前，除非老师发问时，举起右边的一只，否则不轻易改变；幼儿园的问时，举起右边的一只，否则不轻易改变；幼儿园的学生则喜欢把手背在后面，室外活动时除外。学生则喜欢把手背在后面，室外活动时除外。2、中国的学生喜欢早起，七点钟之前，在中国的大街上中国的学生喜欢早起，七点钟之前，在中国的大街上见到的最多的是学生，并且他们喜欢边走路边用早点。见到的最多的是学生，并且他们喜欢边走路边用早点。3 3、中国学生有一种作业叫、中国学生有一种作业叫“家庭作业家庭作业”，据一位中国老，据一位中国老师解释，它的意思是师解释，它的意

16、思是“学校作业在家庭的延续学校作业在家庭的延续”。4、中国把考试分数最高的学生称为学习最优秀的学生，中国把考试分数最高的学生称为学习最优秀的学生，他们在学期结束时，一般会得到一张证书，其他人则没他们在学期结束时，一般会得到一张证书，其他人则没有。有。19烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 在报告的结论部分是这样写的：中国的在报告的结论部分是这样写的：中国的学生是世界上最勤奋的，在世界上也是起得学生是世界上最勤奋的，在世界上也是起得最早、睡得最晚的；他的学习成绩和世界上最早、睡得最晚的；他的学习成绩和世界

17、上任何一个国家的同年级的学生比较，都是最任何一个国家的同年级的学生比较，都是最好的。可以预测，再用好的。可以预测，再用2020年时间，中国在科年时间，中国在科技和文化方面，必将把美国远远甩在后面。技和文化方面，必将把美国远远甩在后面。20烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 30年过去了，美国年过去了，美国“病入膏肓的教育制度病入膏肓的教育制度”共培养了几十位诺贝尔奖得者和一百多位知识型共培养了几十位诺贝尔奖得者和一百多位知识型的亿万富豪，而中国还没有哪一所学校培养出一的亿万富豪，而中国还没有哪一所学校培

18、养出一名这样的人才。两家的预言都错了。名这样的人才。两家的预言都错了。21烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 中美教育各有优点。中美教育各有优点。中国教育的优点是使学生积累了大量的理论知中国教育的优点是使学生积累了大量的理论知识，培养了尊敬师长的美德，打下了坚实的基础。识，培养了尊敬师长的美德，打下了坚实的基础。美式教育培养了学生的个性化和创新意识，使美式教育培养了学生的个性化和创新意识，使其想象力、创新能力、实践能力大大扩展了。其想象力、创新能力、实践能力大大扩展了。22烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人

19、的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 知识的冰山模型知识的冰山模型明确知识明确知识（是什么、为什么）（是什么、为什么）主要是事实和原理的知主要是事实和原理的知识识存于书本，可编码（逻辑性）存于书本，可编码（逻辑性）、可传递（共享性）、可反、可传递（共享性）、可反思（批判性）思（批判性）默会知识默会知识（怎么想、怎么做）（怎么想、怎么做）本质上是理本质上是理 解力和领悟解力和领悟 存于个人经验（个体存于个人经验（个体 性）、嵌入实践活动性）、嵌入实践活动 （情境性）（情境性）23烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对

20、于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人从当前数学教学现状看从当前数学教学现状看多年来，我国中小学依然存在费时低效的现象，表现在多年来，我国中小学依然存在费时低效的现象，表现在教师讲解例题多，学生按套路题解多，对复杂化的题型教师讲解例题多，学生按套路题解多，对复杂化的题型束手无策，更谈不上创造性地解决实际问题。束手无策，更谈不上创造性地解决实际问题。从思维方法训练的角度反省，原因在于教师过分看重思从思维方法训练的角度反省，原因在于教师过分看重思维结果，偏重灌输，忽视学生思维过程的展示，以及错维结果，偏重灌输，忽视学生思维过程的展示，以及错误思维过程的暴露。误思维过程

21、的暴露。只有让学生经历思考过程，获得思维方法，才能真正内只有让学生经历思考过程，获得思维方法，才能真正内行为经验和知识，形成能力。行为经验和知识，形成能力。24烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o为了防止注入式，采用启发式，在教学中我常采用分析综合法，这种方法的关键在于分析部分。o通常，学生也认为这样的讲课有启发。可是，有一天，发生了这样一件事。一位学生在课余对我讲：分析法很好，做习题时我也学着用，但有时遇到下面这种情况：ABCDA案 例25烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大

22、面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o这就是我们常讲的“恶循环”。思维过程中出现这种恶循环，就应改变思维方向，否则思维受阻。这位学生困惑不解的问我：“为什么老师讲课时不会出现这种恶循环呢？为什么每次分析总是百发百中，无往而不利呢？其中是不是有秘诀？”26烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o我想了想，坦白的告诉他：“为什么能百发百中，是因为昨天晚上我备了课。”我继续对他讲：“如果不备课，或者你突然要我解一道难题，我的思维同样会受阻，会碰壁。不过，在碰壁前，常常有预感快要碰壁了。

23、有时直觉还会告诉我，应向左转或右转，就能挣脱困境。”27烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o此时这个学生非常兴奋，“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”28烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o这件是给我很大的震动“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”回去以后，我反

24、复思考这个学生的意见，很有感慨。是啊，人的一生必定会遇到许多沟沟坎坎，遭遇到很多困境，而关键是“怎样从困境中挣脱出来”，这对于学生来说太重要了。29公理化思想公理化思想 第一讲第一讲30烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o欧几里得（欧几里得（EuclidEuclid）(公公元前元前330330年前年前275275年年)是是古希腊数学家，以其所著古希腊数学家，以其所著的几何原本闻名于世。的几何原本闻名于世。大约在公元前大约在公元前330330年生于年生于雅典，深知柏拉图的学说。雅典，深知柏拉图的学说。一、

25、欧氏几何的诞生一、欧氏几何的诞生31烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o公元前公元前300300年左右，欧几里德在前人工作的基年左右，欧几里德在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，完成惊世鸿著几何原本整理，完成惊世鸿著几何原本o欧几里德的几何原本毫无疑义是古往今欧几里德的几何原本毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一纪念碑之一罗素罗素 32烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤

26、进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、几何原本的历史背景二、几何原本的历史背景o古希腊数学的发展可分为雅典时期和亚历山古希腊数学的发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。大时期两个阶段。33烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o泰勒斯泰勒斯 o毕达哥拉斯毕达哥拉斯 o柏拉图柏拉图 雅典时期雅典时期(公元前公元前600600年一公元前年一公元前300300年左年左右右)34烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健

27、康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人亚历山大时期(公元前300年一641年)o希腊数学高度发展阶段，可分为前后两期。在希腊数学高度发展阶段，可分为前后两期。在这三四百年间，数学舞台上活跃着古希腊最杰这三四百年间，数学舞台上活跃着古希腊最杰出的大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼，出的大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼，他们对数学的发展做出了永载史册的功绩，这他们对数学的发展做出了永载史册的功绩，这一时期是希腊数学的黄金时代。亚历山大后期一时期是希腊数学的黄金时代。亚历山大后期是指罗马人统治下的时期。虽然这时期还出现是指罗马人统治下的时期。虽然这时期还出现了像海伦、梅内劳斯、丢番都等出

28、色的数学家，了像海伦、梅内劳斯、丢番都等出色的数学家，但随着亚历山大城政治文化地位的衰落，希腊但随着亚历山大城政治文化地位的衰落，希腊数学也接近了尾声。数学也接近了尾声。35烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 第一卷一开始提出第一卷一开始提出2323个定义，以下是其中的个定义，以下是其中的8 8个：个：o点没有部分点没有部分o线有长度没有宽度线有长度没有宽度o线的界限是点线的界限是点o直线是这样的线，它上面的点是同样放着的直线是这样的线，它上面的点是同样放着的o面只有长度和宽度面只有长度和宽度o面的界限

29、是线面的界限是线o平面是这样的面，它上面的直线是同样放着的平面是这样的面，它上面的直线是同样放着的o平面上的角是平面上两相交直线相互的倾斜度平面上的角是平面上两相交直线相互的倾斜度三、欧氏几何的主要内容三、欧氏几何的主要内容36烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定义之后列出公设和公理各五条：定义之后列出公设和公理各五条：公设公设o从任一点到另一点可以作直线从任一点到另一点可以作直线 o一条有限直线可以无限延长一条有限直线可以无限延长o以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆以任意点为中心，以任意长为半径可

30、以作圆周周o凡直角都相等凡直角都相等o平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧截线的这一侧37烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人公理公理(涉及一般逻辑的概念涉及一般逻辑的概念)o等于同一量的量彼此相等等于同一量的量彼此相等o等量加上等量，其和仍相等等量加上等量，其和仍相等o等量减去等量，其差仍相等等量减去等量，其差仍相等o相互合同的就是相等的相互合同的就是相等的o全量大于部分。全量

31、大于部分。38烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。学。o第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。一些熟知的定理。o第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。规作图问题。o第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最

32、重要的数学杰作之一。是最重要的数学杰作之一。o第六卷的内容是相似的理论。第六卷的内容是相似的理论。39烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法欧几里得算法”，讨，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。要定理。o第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的

33、一卷。懂的一卷。o最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。何。o目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在几何原本中找到。几何原本中找到。40烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人四、欧氏几何的优缺点四、欧氏几何的优缺点o优点优点:o陈述方式是史无前例的；陈述方式是史无前例的；o对公理的选择非常出色；对公理的选择非常出色；o缺陷：缺陷：o它的定义不能成为一种数学定义，有的不过它的定义不能成为一种数学定义，有的不过是

34、几何对象，如点，线，面等的一种直观描是几何对象，如点，线，面等的一种直观描述，有的含混不清；述，有的含混不清；o它的公设和公理远远不够用。它的公设和公理远远不够用。41烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人五、欧氏几何的历史地位五、欧氏几何的历史地位o尽管几何原本存在着一些结构上的缺陷，尽管几何原本存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远使得影响之深远使得“欧几里得欧几里得”与与“几何学几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学几乎成了

35、同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。遗产中的一块瑰宝。42烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o几何原本作为教科书使用了两千多年。几何原本作为教科书使用了两千多年。o几何原本被称为数学家的圣经。几何原本被称为数学家的圣经。o在训练人的逻辑推理思维方面，几何原在训练人的逻辑推理思维方面，几何原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。著作影响都大得多。43烧伤病人的治疗通常是取烧

36、伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人几何原本的主要贡献o（1 1）成功地将零散的数学理论编为一个从）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。基本假定到最复杂结论的整体结构。o（2 2）对命题作了公理化演绎。从定义，公）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。为其后所有数学的范本。o（3 3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。的最有力的教育手段。44烧伤病人的治疗通常

37、是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人六、欧氏几何与数学的公理化思想六、欧氏几何与数学的公理化思想o所谓公理化思想就是：选取少量的原始概念所谓公理化思想就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。然后运用逻辑推理证明其他命题。45烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o几何原

38、本正是按照公理化思想，运用了几何原本正是按照公理化思想，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。几何原本的关于几何学的演绎知识体系。几何原本成为了两千多年来运用公理化思想的一个成为了两千多年来运用公理化思想的一个绝好典范。绝好典范。46烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人七、公理化思想的完善与发展o希尔伯特希尔伯特（Hilbert,DavidHilbert,David）（）（186218621943)1943)于于18991899年发表

39、年发表几何基础几何基础 ，为重建公，为重建公理化方法作出了重大贡献。理化方法作出了重大贡献。希尔伯特把公理化思想明希尔伯特把公理化思想明确而严格地确立了下来。确而严格地确立了下来。对公理化提出了一些逻辑对公理化提出了一些逻辑上的要求：上的要求：47烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o（1 1）完备性）完备性.所有的定理都可以从这组公理所有的定理都可以从这组公理中推导出来。中推导出来。o（2 2）独立性）独立性.一组公理中的每一个公理都不一组公理中的每一个公理都不是其他公理的逻辑推论；是其他公理的逻辑推论

40、；o（3 3）相容性）相容性.从这些公理出发不能推出相互从这些公理出发不能推出相互矛盾的定理。矛盾的定理。48烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o欧氏几何与其说欧几里得创造了一种新数学，欧氏几何与其说欧几里得创造了一种新数学，不如说他把旧数学变成一种清晰明确，有条不如说他把旧数学变成一种清晰明确，有条不紊，逻辑严谨的新数学。欧几里得成功地不紊，逻辑严谨的新数学。欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络，所有这些都使之成为复杂结论的连续网

41、络，所有这些都使之成为其后所有数学著作的范本。其后所有数学著作的范本。49公理化思想与 第二讲非欧几何 50烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o第五公设：若一条直线与二条直线相交，并且在同第五公设：若一条直线与二条直线相交，并且在同侧交出的两内角之和小于两直角，则这两直线无限侧交出的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长后必在该侧相交。延长后必在该侧相交。o长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易较起来，显得文

42、字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。依靠第五公设而推出前二十八个命题。第五公设之争第五公设之争51烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人第五公设之争第五公设之争o一些数学家提出，第五公设能不能不作为公一些数学家提出，第五公设能不能不作为

43、公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于的，争论了长达两千多年的关于“平行线理平行线理论论”的讨论。的讨论。52烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人第五公设之争第五公设之争o为了证明平行公设，不知有多少人进行了千为了证明平行公设，不知有多少人进行了千辛万苦的跋涉，尽管有些人宣告已经证明了辛万苦的跋涉，尽管有些人宣告已经证明了它，可通过严格的分析原来在证明中，隐含它，

44、可通过严格的分析原来在证明中，隐含了尚未证明公设五的等价命题作根据；总之了尚未证明公设五的等价命题作根据；总之都失败了，但是失败是成功之母，就在这一都失败了，但是失败是成功之母，就在这一系列的失败中，有一些数学家看到了新的曙系列的失败中，有一些数学家看到了新的曙光，逐渐地走进了一个新的几何世界光，逐渐地走进了一个新的几何世界非非欧几何。欧几何。53烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o18071807年进入喀山大学，年进入喀山大学，18111811年获得物理数学硕年获得物理数学硕士学位，并留校工作。士学位

45、，并留校工作。18141814年任教授助理，年任教授助理，18221822年成为常任教授。年成为常任教授。18181818年，被选进喀山大年，被选进喀山大学校委会。学校委会。18271827年，担任喀山大学校长。年，担任喀山大学校长。18461846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。年以后任喀山学区副督学，直至逝世。罗巴切夫斯基（罗巴切夫斯基（17921792年年1212月月1 1日日18561856年年2 2月月2424日），俄罗日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。发现人之一。罗巴切夫斯基几何（罗氏几何）罗巴切夫斯基几何（罗氏几何）54烧伤病人的治疗通常是取

46、烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程o18261826年年2 2月月2323日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。论文几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。o罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意罗巴切夫斯基的首创

47、性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。55烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o18291829年，他又撰写出一篇题为几何学原理年，他又撰写出一篇题为几何学原理的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。本思想，并且有所补充和发展。o18321832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院学学术委员会把这篇

48、论文呈送彼得堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基茨基院士作评定。院士作评定。罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程56烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。粗暴地罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。粗暴地断言：断言：“由此我得出结论，罗巴切夫斯基校长由此我得出结论，罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注的这部著作谬误连篇，因而不值

49、得科学院的注意。意。”罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程57烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o英国著名数学家莫尔甘在没有亲自研读非欧几英国著名数学家莫尔甘在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。界对非欧几何的普遍态度。罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程58烧伤病人的

50、治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人o罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，除了用俄文外，他还用法文、德文三十多年，除了用俄文外，他还用法文、德文发表了自己的著作，在身患重病，卧床不起的发表了自己的著作，在身患重病，卧床不起的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著论几何学，就是在他双目失最后一部巨著论几何学，就是在他双目失明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。罗巴切夫斯