第六章平稳时间序列预测PPT讲稿.ppt

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1、第六章 平稳时间序列预测第1页，共68页，编辑于2022年，星期三第一节 平稳时间序列预测的概念返回本节首页下一页上一页第2页，共68页，编辑于2022年，星期三一、最小均方误差预测概念二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导第二节 最小均方误预测(正交投影预测)返回本节首页下一页上一页第3页，共68页，编辑于2022年，星期三一、最小均方误差预测概念（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）返回本节首页下一页上一页第4页，共68页，编辑于2022年，星期三二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导返回本节首页下一页上一页第5页，共68页，编辑于

2、2022年，星期三由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 表示成能够估计的项at，at-1，的加权和的形式：第6页，共68页，编辑于2022年，星期三由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：由于at是白噪声，故有：第7页，共68页，编辑于2022年，星期三因此可得xt+l的最小均方误预测为：预测误差为：误差方差为：第8页，共68页，编辑于2022年，星期三由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。（2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预

3、测的准确性越差。第9页，共68页，编辑于2022年，星期三上述最小均方误预测公式中包含有无穷项求和，而在实际中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项的有穷和近似，即：第10页，共68页，编辑于2022年，星期三第三节 条件期望预测一、条件期望预测的一般公式二、用条件期望进行预测三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一页上一页第11页，共68页，编辑于2022年，星期三一、条件期望预测的一般公式用公式表示如下：返回本节首页下一页上一页第12页，共68页，编辑于2022年，星期三有关xt和at的条件期望有如下性质：第13页，

4、共68页，编辑于2022年，星期三由于：利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望，得xt+l 的条件期望预测为：可见，xt+l 的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的。第14页，共68页，编辑于2022年，星期三二、用条件期望进行预测1.AR(1)模型的条件期望预测(参见P130)设xt适合如下AR(1)模型:(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)返回本节首页下一页上一页第15页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式(l2)第16页，共68页，编辑于2022年，星期三由上推导可见，对于l0，条件期望预测值 满足如下差分方程：第17页

5、，共68页，编辑于2022年，星期三2、AR(2)模型的条件期望预测n设xt适合如下AR(2)模型:(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)第18页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式(l3)第19页，共68页，编辑于2022年，星期三可见，当l1时，AR(2)预测值可由如下差分方程求出：(预测值的一般解略)第20页，共68页，编辑于2022年，星期三3、ARMA(1,1)模型的条件期望预测设(1)向前一步预测(l=1)第21页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)向前二步预测(l=2)(3)向前l步预测公式(l2)第22页，共68

6、页，编辑于2022年，星期三可见，当l1时，ARMA(1,1)预测值也是由如下差分方程决定的。解得：由于：所以：因此：第23页，共68页，编辑于2022年，星期三4、MA(1)模型的条件期望预测n设(1)向前一步预测(l=1)第24页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)向前二步预测(l=2)(3)向前l步预测公式(l2)第25页，共68页，编辑于2022年，星期三设：（1）向前一步预测(l=1)：对上式两端求条件期望得：三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果返回本节首页下一页上一页第26页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式

7、(lp，且l q)第27页，共68页，编辑于2022年，星期三(3)向前l步预测公式(lp，且l q)第28页，共68页，编辑于2022年，星期三由推导可以看出，对于ARMA(p,q)模型的向前l 步预测(lp，且l q)，预测结果满足如下差分方程：（预测值解的一般形式参见课本P134）由解的一般形式可以看出，对于ARMA(p,q)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分则用于确定预测函数中的系数。第29页，共68页，编辑于2022年，星期三预测举例：例1：利用对zl14所建立的模型进行预测。先对原序列零均值化，先对原序列零均值化，然后建模如下：已知：第30页，共68页，编辑于20

8、22年，星期三解：第31页，共68页，编辑于2022年，星期三同理：第32页，共68页，编辑于2022年，星期三当 时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：解此差分方程即可求出预测函数。第33页，共68页，编辑于2022年，星期三前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。因此，条件期望的预测误差为：四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一页上一页第34页，共68页，编辑于2022年，星期三预测误差的方差为：其中：第35页，共68页，编辑于2022年，星期三l=1时的预测误差为：于是有：可见可见ARMA模型中白噪声项模型中白噪声项

9、at其实就是以其实就是以xt-1为原点，为原点，向前一步预测误差。向前一步预测误差。预测误差和白噪声项的关系：再由预测误差方差的公式得：可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。第36页，共68页，编辑于2022年，星期三预测误差的置信区间：对于正态过程，预测误差的分布为：所以：对所以：对xt+l预测的预测的95%的置信区间为：的置信区间为：因此：第37页，共68页，编辑于2022年，星期三根据预测置信区间的公式得：可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大，预测结果越不准确。第38页，共68页，编辑于2022年，星期三例1

10、：zl14磨轮剖面数据，所建模型如下：第39页，共68页，编辑于2022年，星期三于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测的95%的置信区间分别为：第40页，共68页，编辑于2022年，星期三所以对于原序列，以t=250为原点向前一步，二步、三步的预测分别为：第41页，共68页，编辑于2022年，星期三例2.对ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：已知：模型的剩余平方和为260.04。第42页，共68页，编辑于2022年，星期三（1）求预测值解：a250未知，故需先将其求出。由已知数据得：第43页，共68页，编辑于2022年，星期三同理：因此：第44页，共68页，编辑于2022年

11、，星期三第45页，共68页，编辑于2022年，星期三（2）求预测值的95%的置信区间：由ARMA(2,1)模型的格林函数得：第46页，共68页，编辑于2022年，星期三所以预测值的95%的置信区间为：第47页，共68页，编辑于2022年，星期三在Eviews中利用ARMA模型进行预测。（1）Eviews中进行预测时的两个选项。Dynamic动态预测。（含义）Static一步超前预测。（含义）对于ARMA模型：若对序列进行拟合分析(即追溯预测)，则选static。若向前l步预测，则要选dynamic，并且要先对工作区间、样本区间进行调整如下：(1)expand first t+l (2)smpl

12、 t+1 t+l具体操作见演示。第48页，共68页，编辑于2022年，星期三(2)通过Eviews计算预测置信区间。第49页，共68页，编辑于2022年，星期三例：根据磨轮剖面数据zl14.wf1，(1)建立模型。(2)模型追溯预测分析。(3)进行外推预测(l=3).第50页，共68页，编辑于2022年，星期三第四节 适时修正预测一、问题的提出二、适时修正预测公式返回本节首页下一页上一页第51页，共68页，编辑于2022年，星期三一、问题的提出返回本节首页下一页上一页第52页，共68页，编辑于2022年，星期三二、适时修正预测公式1、适时修正预测公式的推导（1）适时修正预测公式返回本节首页下一

13、页上一页第53页，共68页，编辑于2022年，星期三2、适时修正预测公式的推导：第54页，共68页，编辑于2022年，星期三综合上述推导，可得适时修正预测公式为：上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值的基础上，加上一个修正项推算出来的，而这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随着预测超前步数的变化而变化。第55页，共68页，编辑于2022年，星期三例：对于 zl14磨轮剖面数据，解：适时修正预测公式为：所以：第56页，共68页，编辑于2022年，星期三第五节 指数平滑预测与ARMA模型一、一次指数平滑预测的原理二、ARIMA(0,1,1)模型的预测返回本节首页下一页上一页第57页，共68

14、页，编辑于2022年，星期三一、一次指数平滑预测的原理一次指数平滑预测的基本公式为：其中：01为平滑系数。将上述公式展开得：如此展开下去可得：返回本节首页下一页上一页第58页，共68页，编辑于2022年，星期三设有ARIMA(0,1,1)模型如下:将其表示成逆转形式得：返回本节首页下一页上一页二、ARIMA(0,1,1)模型的预测第59页，共68页，编辑于2022年，星期三上式即为:对其作向前一步预测可得：令1-=，上式可变为：其中，=1-1第60页，共68页，编辑于2022年，星期三由上述推导推可见：（1）一次指数平滑是ARIMA(0,1,1)模型预测的特例，且ARIMA模型提供了最优方式预

15、测所需要的权数。（2）ARIMA预测也是最小均方误预测，但一次指数平滑预测却不具有这种最优特性。（3）对于ARIMA预测，仅对可逆过程才是有意义的，对于ARIMA(0,1,1)就是要求|1。（4）只有原序列适合于ARIMA(0,1,1)模型时，采用一次指数平滑预测才是合适的。第61页，共68页，编辑于2022年，星期三所谓传递形式：就是将序列xt的当前值，表示为当前冲击值at 与过去冲击值at-i(i=1,2,3)的线性组合。即:其中，系数函数Gj叫做记忆函数，又叫格林函数(Greens function)。（参见P47、48）附：附：ARMA ARMA模型的传递形式和逆转形式模型的传递形式和逆转形式第62页，共68页，编辑于2022年，星期三n所谓逆转形式：就是以序列的当前值和过去值的线性组合去表示当前的冲击值at。第63页，共68页，编辑于2022年，星期三AR(2)模型的格林函数：第64页，共68页，编辑于2022年，星期三第65页，共68页，编辑于2022年，星期三ARMA(2,1)模型的格林函数：第66页，共68页，编辑于2022年，星期三第67页，共68页，编辑于2022年，星期三Thank you very much!第68页，共68页，编辑于2022年，星期三