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1、第四章现代交通流理论本讲稿第一页，共六十三页4.1 4.1 概述概述4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布4.3 4.3 排队论及其应用排队论及其应用4.4 4.4 跟车理论跟车理论本讲稿第二页，共六十三页4.1 4.1 概述概述 何为交通流理论？何为交通流理论？运运用用物物理理学学和和数数学学的的定定律律来来描描述述交交通通特特性性的的一一门边缘学科，是交通工程学的基础理论。门边缘学科，是交通工程学的基础理论。何为现代交通流理论何为现代交通流理论 以以先先进进的的车车辆辆系系统统和和智智能能高高速速道道路路概概念念为为背背景，形成的交通流新认识与理论。景，形成的交通流新认识

2、与理论。研究交通流理论的意义研究交通流理论的意义 把把握握交交通通流流运运动动机机理理与与规规律律，科科学学分分析析交交通通设设施设计效果与运营管理系统施设计效果与运营管理系统本讲稿第三页，共六十三页4.1 4.1 概述（续）概述（续）交通流理论的主要研究内容交通流理论的主要研究内容1）人人、自自行行车车、机机动动车车交交通通流流的的流流量量、速速度度和和密密度度的相互关系与量测方法；的相互关系与量测方法；2)交通特性的统计分布交通特性的统计分布3）交通流排队理论；）交通流排队理论；4）交通行为作用下的交通流特性分析等）交通行为作用下的交通流特性分析等5）交通流的流体模拟方法；）交通流的流体模

3、拟方法；6）交通流的跟驶与超驶理论；）交通流的跟驶与超驶理论；本讲稿第四页，共六十三页基本概念基本概念离散型分布离散型分布 泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布 二项分布二项分布 负二项分布负二项分布负二项分布负二项分布 拟合优度检验拟合优度检验拟合优度检验拟合优度检验2 2检验检验检验检验连续型分布连续型分布 负指数分布负指数分布负指数分布负指数分布 移位负指数分布移位负指数分布移位负指数分布移位负指数分布 韦布尔分布韦布尔分布本讲稿第五页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 基本概念基本概念1 1）交交通通流流分分布布：交交通通流流的的到到达达特特性性或或在在物

4、物理理空空间间上上的存在特性；的存在特性；2 2）离离散散型型分分布布（也也称称计计数数分分布布）：在在一一段段固固定定长长度度的时间内到达某场所的的时间内到达某场所的交通数量交通数量的波动性；的波动性；3 3）连连续续型型分分布布（时时间间间间隔隔分分布布、速速度度分分布布等等）：在在一一段段固固定定长长度度的的时时间间内内到到达达某某场场所所交交通通的的间间隔隔时时间间的统计分布；的统计分布；4 4）研研究究交交通通分分布布的的意意义义：预预测测交交通通流流的的到到达达规规律律（到到达达数数及及到到达达时时间间间间隔隔），为为确确定定设设施施规规模模、信号配时、安全对策提供依据信号配时、安

5、全对策提供依据 本讲稿第六页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 离散型分布离散型分布 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，用离散型分布描述这类随机变数的车辆数，是所谓的随机变数，用离散型分布描述这类随机变数的车辆数，是所谓的随机变数，用离散型分布描述这类随机变数的车辆数，是所谓的随机变数，用离散型分布描述这类随机变数的统计规律。的统计规律。的统计规律。的统计规律。

6、1 1）泊松分布：泊松分布：基基基基本本本本假假假假定定定定：车车车车辆辆辆辆（或或或或人人人人）的的的的到到到到达达达达是是是是随随随随机机机机的的的的，相相相相互互互互间间间间的的的的影影影影响响响响微微微微弱，也不受外界因素干扰，具体表现在交通流密度不大；弱，也不受外界因素干扰，具体表现在交通流密度不大；弱，也不受外界因素干扰，具体表现在交通流密度不大；弱，也不受外界因素干扰，具体表现在交通流密度不大；基本模型：计数间隔基本模型：计数间隔基本模型：计数间隔基本模型：计数间隔t t t t内到达内到达内到达内到达k k k k辆车的概率辆车的概率辆车的概率辆车的概率 P Pk k=(=(t

7、)t)t)t)k ke e e e-t t t t/k!=/k!=(m)m)k k k ke e e e-m-m-m-m/k!/k!：平均到达率（辆或人平均到达率（辆或人/秒）秒）秒）秒）m m：在在在在计计计计数数数数间间间间隔隔隔隔t t t t内内内内平平平平均均均均到到到到达达达达的的的的车车车车辆辆辆辆或或或或人人人人数数数数，也也也也称称称称为为为为泊泊松松分分布参数布参数本讲稿第七页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 离散型分布离散型分布1 1 1 1）泊松分布：泊松分布：递推公式：由参数递推公式：由参数递推公式：由参数递推公式：由参数m m m

8、 m及数量及数量及数量及数量k k可递推出可递推出可递推出可递推出P P P Pk+1k+1k+1k+1 ；P P P P0 0 0 0=e=e-m-m-m-m,P,P,P,Pk+1k+1k+1k+1=mP=mP=mP=mPk k k k/k+1/k+1/k+1/k+1分分布布的的均均值值与与与与方方方方差差差差皆皆皆皆等等等等于于于于 t t t t，这这这这是是是是判判判判断断断断交交交交通通通通流流流流到到到到达达达达规规规规律是否服从泊松分布的依据。试证明之。律是否服从泊松分布的依据。试证明之。律是否服从泊松分布的依据。试证明之。律是否服从泊松分布的依据。试证明之。运运运运用用用用模模

9、模模型型型型时时时时的的的的留留留留意意意意点点点点：关关关关于于于于参参参参数数数数 m m 可可可可理理理理解解解解为为为为时时时时间间间间间间间间隔隔隔隔 t t t t 内内内内的的的的平平平平均均均均到到到到达达达达车车车车辆辆辆辆数数数数，也也也也可可可可以以以以理理理理解解解解为为为为距距距距离离离离 l l l l 内内的的平平均均车车辆数；辆数；本讲稿第八页，共六十三页几种不同情况的概率几种不同情况的概率到达数小于到达数小于k k辆车的概率：辆车的概率：到达数小于等于到达数小于等于k k的概率：的概率：到达数大于到达数大于k k辆车的概率：辆车的概率：到达数大于等于到达数大于

10、等于k k辆车的概率：辆车的概率：本讲稿第九页，共六十三页例例1 1：设：设6060辆车随即分布在辆车随即分布在4km4km长的道路上，求长的道路上，求任意任意400m400m路段上有路段上有4 4辆及辆及4 4辆车以上的概率。辆车以上的概率。解：把公式中的解：把公式中的t t理解为计算车辆数的空间间隔，则本例在空间上的分布理解为计算车辆数的空间间隔，则本例在空间上的分布服从泊松分布服从泊松分布 P Pk k=(=(t)t)k ke e-t t/k!=/k!=(m)m)k ke e-m-m/k!/k!P P0 0=e=e-m-m,P,Pk+1k+1=mP=mPk k/k+1/k+1 t=400

11、m，=60/4000(辆辆/米米)，m=t=6辆，辆，P0=60e-60!=0.0025 P1=61p0=0.0149 P2=62p1 =0.0446 P3=63p2=0.0892不足辆车的概率为：（）不足辆车的概率为：（）辆及辆及4辆以上的概率为：辆以上的概率为：P（4 4）=1-（）（）0.8488本讲稿第十页，共六十三页 例例例例2 2 2 2：某信号灯交叉口的周期：某信号灯交叉口的周期：某信号灯交叉口的周期：某信号灯交叉口的周期T T T T97s97s97s97s，有效绿灯时间，有效绿灯时间，有效绿灯时间，有效绿灯时间g=44sg=44sg=44sg=44s，在有效绿灯时间内，在有效

12、绿灯时间内，在有效绿灯时间内，在有效绿灯时间内排队的车流以排队的车流以排队的车流以排队的车流以s s s s900900900900辆辆辆辆/h/h/h/h的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369q=369q=369q=369辆辆辆辆/h/h/h/h，服从泊松分布，服从泊松分布，服从泊

13、松分布，服从泊松分布，求使到达车辆不致两次排队的周期占周期总数的最大百分率。求使到达车辆不致两次排队的周期占周期总数的最大百分率。求使到达车辆不致两次排队的周期占周期总数的最大百分率。求使到达车辆不致两次排队的周期占周期总数的最大百分率。解：由于车流只能在有效绿灯事件内通过，所以一个周期能通过的最大车辆数解：由于车流只能在有效绿灯事件内通过，所以一个周期能通过的最大车辆数解：由于车流只能在有效绿灯事件内通过，所以一个周期能通过的最大车辆数解：由于车流只能在有效绿灯事件内通过，所以一个周期能通过的最大车辆数A=gs=44900/3600=11A=gs=44900/3600=11A=gs=4490

14、0/3600=11A=gs=44900/3600=11辆，如果某周期到达的车辆数辆，如果某周期到达的车辆数辆，如果某周期到达的车辆数辆，如果某周期到达的车辆数N N N N大于大于大于大于11111111辆，则最后到辆，则最后到辆，则最后到辆，则最后到达的（达的（达的（达的（N-11N-11N-11N-11）辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布公）辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布公）辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布公）辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布公式中，式中，式中，式中，查累积的泊松分布表可得到达车辆大于查累积的泊松分布表

15、可得到达车辆大于1111辆的周期出现的概率为：辆的周期出现的概率为：P(11)=0.29 P(11)=0.29 即不发生两次排队的周期最多占即不发生两次排队的周期最多占71%71%。本讲稿第十一页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 离散型分布离散型分布2 2）二项分布：二项分布：基基本本假假定定：车车车车辆辆辆辆比比比比较较较较拥拥拥拥挤挤挤挤、自自自自由由由由行行行行驶驶驶驶机机机机会会会会不不不不多多多多的的的的 车车车车流流流流 ；基本模型：基本模型：计数间隔计数间隔t t t t内到达内到达内到达内到达k k k k辆车的概率辆车的概率辆车的概率辆车的

16、概率或或n n n n为正整数；可记为正整数；可记为正整数；可记为正整数；可记p=p=p=p=t/n,0 p 1,t/n,0 p 1,t/n,0 p 1,t/n,0 p 1,n,p n,p 为分布参数为分布参数本讲稿第十二页，共六十三页 离散型分布2）二项分布：递推公式：由参数n及数量k和p可递推出 Pk+1；分布的均值与方差分别为：M=np,D=np(1-p)。运用模型时的留意点：1、DM 区别于柏松分布的显著特征2、基于观测数据可估计出M,D,由此反求出分布参数 p 和 n；本讲稿第十三页，共六十三页 例：在某条公路上，上午高峰期间，以例：在某条公路上，上午高峰期间，以例：在某条公路上，上

17、午高峰期间，以例：在某条公路上，上午高峰期间，以15151515秒间隔观测到达车辆秒间隔观测到达车辆秒间隔观测到达车辆秒间隔观测到达车辆数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。车辆到达数车辆到达数 n ni i31212包含包含n ni i的间隔出的间隔出现的次数现的次数0 03 30 08 810101111101011119 91 11 10 0本讲稿第十四页，共六十三页3 3）负二项分布）负二项分布）负二项分布）负二项分布基本假定：到达量波动大的车流。基

18、本假定：到达量波动大的车流。基本公式基本公式基本公式基本公式递推公式递推公式递推公式递推公式令：令：令：令：，则递推公式为：，则递推公式为：，则递推公式为：，则递推公式为：本讲稿第十五页，共六十三页均值和方差均值和方差用均值用均值m m和方差和方差s s2 2估计分布参数估计分布参数本讲稿第十六页，共六十三页在应用在应用 检验法时应注意：检验法时应注意：样本容量样本容量N N应较大；应较大；分组应连续，各组的分组应连续，各组的 值应较小，意味着分组数值应较小，意味着分组数g g应较大；应较大；各组内的理论频数各组内的理论频数 统计量的自由度统计量的自由度DFDF置信水平置信水平 的取值：通常取

19、的取值：通常取0.050.05分布分布q qDFDF泊松分布泊松分布二项分布二项分布负二项分布负二项分布1 12 22 2g-2g-2g-3g-3g-3g-3常用离散型分布的约束数常用离散型分布的约束数q q及及DFDF本讲稿第十八页，共六十三页例：在某大桥引桥上以例：在某大桥引桥上以3030秒为间隔对一个方向的车流到达数作秒为间隔对一个方向的车流到达数作连续观测，得到连续观测，得到232232个观测之，列于个观测之，列于P67P67表（表（4.2.34.2.3）（以表上角）（以表上角按行从左到右为时序）。试求其统计分布并检验之。按行从左到右为时序）。试求其统计分布并检验之。解：按各到达数出现

20、的频数，把表（解：按各到达数出现的频数，把表（解：按各到达数出现的频数，把表（解：按各到达数出现的频数，把表（4.2.34.2.34.2.34.2.3）整理成表（）整理成表（）整理成表（）整理成表（4.2.44.2.44.2.44.2.4）的第一、）的第一、）的第一、）的第一、第二列。算出样本均值第二列。算出样本均值第二列。算出样本均值第二列。算出样本均值m m m m和方差和方差和方差和方差s s s s2 2 2 2为为为为 m=5.254,sm=5.254,sm=5.254,sm=5.254,s2 2 2 2=6.753=6.753=6.753=6.753 从从从从s s s s2 2

21、2 2与与与与m m m m的比值看，用负二项分布或泊松分布做拟合可能是合适的。的比值看，用负二项分布或泊松分布做拟合可能是合适的。的比值看，用负二项分布或泊松分布做拟合可能是合适的。的比值看，用负二项分布或泊松分布做拟合可能是合适的。若用泊松分布做拟合，分布参数若用泊松分布做拟合，分布参数若用泊松分布做拟合，分布参数若用泊松分布做拟合，分布参数 t=m=5.254t=m=5.254t=m=5.254t=m=5.254。若用负二项分布做拟合，可算出它的两个参数为：若用负二项分布做拟合，可算出它的两个参数为：若用负二项分布做拟合，可算出它的两个参数为：若用负二项分布做拟合，可算出它的两个参数为：

22、p=m/sp=m/sp=m/sp=m/s2 2 2 2=0.78,=0.78,=0.78,=0.78,=m=m=m=m2 2 2 2/(s/(s/(s/(s2 2 2 2-m)=37.83.-m)=37.83.-m)=37.83.-m)=37.83.用递推公式可分别算出这两种分布各到达数出现的频数，列于表（用递推公式可分别算出这两种分布各到达数出现的频数，列于表（用递推公式可分别算出这两种分布各到达数出现的频数，列于表（用递推公式可分别算出这两种分布各到达数出现的频数，列于表（4.2.4)4.2.4)4.2.4)4.2.4)的第的第的第的第三、四列。三、四列。三、四列。三、四列。本讲稿第十九页

23、，共六十三页用用用用 检验判别这两种分布拟和的优劣。检验判别这两种分布拟和的优劣。检验判别这两种分布拟和的优劣。检验判别这两种分布拟和的优劣。对于泊松分布，把理论频数小于对于泊松分布，把理论频数小于对于泊松分布，把理论频数小于对于泊松分布，把理论频数小于5 5 5 5的到达数合并后，并成的到达数合并后，并成的到达数合并后，并成的到达数合并后，并成10101010组，可算得：组，可算得：组，可算得：组，可算得：=172/12.1+202/20.7+=172/12.1+202/20.7+=172/12.1+202/20.7+=172/12.1+202/20.7+。142/9.8-232=20.04

24、142/9.8-232=20.04142/9.8-232=20.04142/9.8-232=20.04，DF=10-1-1=8DF=10-1-1=8DF=10-1-1=8DF=10-1-1=8 查表得：查表得：查表得：查表得：=15.51=15.51=15.51=15.51t)ht)=(=(t)t)0 0e e-t t/0!=/0!=e e-t t=exp(-Qt/3600)exp(-Qt/3600)exp(-Qt/3600)exp(-Qt/3600)本讲稿第二十一页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 连续型分布连续型分布负指数分布负指数分布(续续)(3)(3

25、)负指数分布在应用中的局限性：负指数分布在应用中的局限性：P(t)0.51.01.52.0t负指数分布概率密度负指数分布概率密度p(t)=d 1-P(ht)/dt=e-t 车头时距越小出现的概率越大？车头时距越小出现的概率越大？本讲稿第二十二页，共六十三页4.2 4.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 连续型分布负指数分布(续)(4)负指数分布的应用 主干道主干道优先优先次干道次干道优先优先停让停让计算次干道通计算次干道通行能力行能力本讲稿第二十三页，共六十三页4.2 交通流特性的统计分布 连续型分布连续型分布2 2）移位负指数分布）移位负指数分布 (1)(1)基基本本假假定定：不不

26、能能超超车车的的单单列列交交通通流流和和车车流流量低的车头时距分布量低的车头时距分布 (2)(2)基基本本模模型型：车车流流平平均均到到达达率率为为（辆辆/秒秒），最最小小车车头头时时距距为为 时时，到到达达的的车车头头时时距距 h h 大大于于 t t 秒的概率为秒的概率为 P(P(ht)ht)=e e-（t-t-）(3)(3)分布的均值与方差：分布的均值与方差：M=1/M=1/+m m(样样本本均均值值)；D=1/D=1/2 2 s s 2 2(样本方差样本方差样本方差样本方差)本讲稿第二十四页，共六十三页4.24.2 交通流特性的统计分布交通流特性的统计分布 连续型分布连续型分布移位负指

27、数分布移位负指数分布(续续)(4)(4)移位负指数分布的局限性：移位负指数分布的局限性：P(t)0.51.01.52.0t 车头时距越接近于车头时距越接近于 出现的出现的可能性越大可能性越大？本讲稿第二十五页，共六十三页 连续型分布连续型分布3 3）韦布尔分布）韦布尔分布）韦布尔分布）韦布尔分布 (1)(1)基本假定：基本假定：基本假定：基本假定：一般场合的车头时距与速度分布；一般场合的车头时距与速度分布；(2)(2)基本模型：基本模型：基本模型：基本模型：到达的车头时距到达的车头时距到达的车头时距到达的车头时距 h h h h 大于大于 t t t t 秒的概率为秒的概率为秒的概率为秒的概率

28、为式中式中式中式中 ，为分布参数，取正值且为分布参数，取正值且为分布参数，取正值且为分布参数，取正值且 。为起点参数，为起点参数，为起点参数，为起点参数，为形状参数，为形状参数，=1,=1,=0=0 为尺度参数。显而易见，负指数为尺度参数。显而易见，负指数为尺度参数。显而易见，负指数为尺度参数。显而易见，负指数分布和移位负指数分布是韦布尔分分布和移位负指数分布是韦布尔分分布和移位负指数分布是韦布尔分分布和移位负指数分布是韦布尔分布的特例。（试证明）布的特例。（试证明）布的特例。（试证明）布的特例。（试证明）本讲稿第二十六页，共六十三页 连续型分布连续型分布 3）韦布尔分布）韦布尔分布 (3)拟

29、拟合合方方法法，设设定定样样本本t1,t2,t3,tn，则则拟拟合合步步骤骤为为;计算样本均值计算样本均值m和方差和方差s2及样本的偏倚系数及样本的偏倚系数Cs Cs=(ti-m)3/(n-3)s3由由韦韦布布尔尔分分布布拟拟合合用用表表(P73)中中，查查出出与与Cs相相对对应应的的 1/，B()和和A(),计算出参数计算出参数。计算参数计算参数，的估计值：的估计值：=m+sA()=-sB()韦布尔分布的优越性：简洁、便利、韦布尔分布的优越性：简洁、便利、通用性好通用性好本讲稿第二十七页，共六十三页例：书例：书例：书例：书73737373例（例（例（例（4.2.64.2.64.2.64.2.

30、6）在某坡道上测得重型车辆爬坡速度的）在某坡道上测得重型车辆爬坡速度的）在某坡道上测得重型车辆爬坡速度的）在某坡道上测得重型车辆爬坡速度的156156156156个值，个值，个值，个值，经整理后列于表（经整理后列于表（经整理后列于表（经整理后列于表（P74P74P74P74）的第一、第三列，试用韦布尔分布的第一、第三列，试用韦布尔分布的第一、第三列，试用韦布尔分布的第一、第三列，试用韦布尔分布拟合之。拟合之。拟合之。拟合之。解：解：本讲稿第二十八页，共六十三页4.3 4.3 排队论及其应用排队论及其应用1 1）简述）简述 是是研研究究“服服务务”系系统统因因“需需求求”拥拥挤挤而而产产生生等等

31、待待行行列列的的现现象象，以以及及合合理理协协调调“需需求求”与与“服务服务”关系的一种数学理论；关系的一种数学理论；应应用用于于交交通通延延误误、通通行行能能力力、交交通通信信号号配配时时、停停车车场场、收收费费站站、加加油油站站等等交交通通设设施施的的设设计计与管理分析，方案制定等。与管理分析，方案制定等。本讲稿第二十九页，共六十三页 2 2 2 2）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用 (1)(1)(1)(1)基本概念基本概念 排排排排队队队队：单单指指等等待待服服务务的的，不不包包括括正正在在服服务务的的,排排队队系统，则包括两

32、者系统，则包括两者 排队系统的三个组成部分排队系统的三个组成部分排队系统的三个组成部分排队系统的三个组成部分排排队队系系统统输输 入入 过过 程程排排 队队 规规 则则服服 务务 方方 式式定定 长长 输输 入入(D)泊松泊松 输输 入入(M)爱尔朗输入爱尔朗输入(Ek)损损 失失 制制等等 待待 制制混混 合合 制制定定 长长 分分 布布(D)负指数分布负指数分布(M)爱尔朗分布爱尔朗分布(Ek)“顾客顾客”的到达规律的到达规律遇排队自动消失遇排队自动消失按序及优先制按序及优先制两种的结合两种的结合服务台数及每顾客服务时间服务台数及每顾客服务时间顾客按怎样顾客按怎样的次序接受的次序接受服务服

33、务 本讲稿第三十页，共六十三页4.3 排队论及其应用2 2）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用 (1)(1)基本概念基本概念 排队系统的主要数量指标排队系统的主要数量指标等待时间：等待时间：到达时起至开始接受服务的期间；到达时起至开始接受服务的期间；忙期：忙期：服务台连续繁忙的时期；服务台连续繁忙的时期；队队长长：有有排排队队顾顾客客数数与与排排队队系系统统中中顾顾客客数数之之分分，用来衡量排队系统的服务水平。用来衡量排队系统的服务水平。本讲稿第三十一页，共六十三页4.3 排队论及其应用2 2）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用 (2)(2)基本模型基本模型 排队系统的

34、表现：排队系统的表现：M M代表泊松分布或负指数分布；代表泊松分布或负指数分布；D D代表定长输入或定长分布；代表定长输入或定长分布；E Ek k代表爱尔朗分布的输入或服务代表爱尔朗分布的输入或服务排队系统一般表现为：输入排队系统一般表现为：输入/服务服务/服务台服务台 M/M/N,M/D/1,D/M/N,EM/M/N,M/D/1,D/M/N,Ek k/D/N /D/N 本讲稿第三十二页，共六十三页4.3 排队论及其应用2 2）排队论的基本原理及应用）排队论的基本原理及应用 M/M/1 M/M/1（单通道服务）系统的计算公式（单通道服务）系统的计算公式基基本本参参数数：平均到达率（辆/秒）；到

35、达的平均时距1/1/（秒）；平均服务率（辆/秒）；平均服务时间 1/1/；交通强度(利用系数)=/状状态态判判断断：1，排队系统的顾客数不出现排队，排队消散的条件为 6)=1-P(6)=1=0.97=O.O3P(6)=1-P(6)=1=0.97=O.O3P(6)=1-P(6)=1=0.97=O.O3P(6)=1-P(6)=1=0.97=O.O3;概率很小概率很小概率很小概率很小,所以数量合适所以数量合适所以数量合适所以数量合适.本讲稿第三十九页，共六十三页3 3、M/M/NM/M/N系统的计算公式系统的计算公式 车辆平均到达率车辆平均到达率 到达的平均时距到达的平均时距 排队从每个服务台接受服

36、务后的平均输出率排队从每个服务台接受服务后的平均输出率 平均服务时间平均服务时间 交通强度或利用系数交通强度或利用系数 系统稳定系统稳定 系统不稳定系统不稳定本讲稿第四十页，共六十三页系统中没有车辆的概率：系统中没有车辆的概率：系统中没有车辆的概率：系统中没有车辆的概率：系统中有系统中有系统中有系统中有k k k k辆车的概率：辆车的概率：辆车的概率：辆车的概率：系统中的平均车辆数：系统中的平均车辆数：系统中的平均车辆数：系统中的平均车辆数：平均排队长度：平均排队长度：平均排队长度：平均排队长度：平均消耗时间：平均消耗时间：平均消耗时间：平均消耗时间：平均等待时间：平均等待时间：平均等待时间：

37、平均等待时间：本讲稿第四十一页，共六十三页例例3 3：一加油站，今有：一加油站，今有24002400辆辆/小时的车流量通过小时的车流量通过4 4个通道引向四个加油泵，平均每辆车加油时间个通道引向四个加油泵，平均每辆车加油时间为为5 5秒，服从负指数分布，试分别按秒，服从负指数分布，试分别按M/M/4M/M/4系统和系统和四个相同的四个相同的M/M/1M/M/1系统计算各相应指标并比较之。系统计算各相应指标并比较之。(书书78)78)解解解解1 1 1 1）按四个平行的）按四个平行的）按四个平行的）按四个平行的M/M/1M/M/1M/M/1M/M/1系统计算系统计算系统计算系统计算根据题意，每个

38、油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一根据题意，每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一根据题意，每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一根据题意，每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一个车辆换到另一个车道上去。把总车流辆四等分，就是引向每个车辆换到另一个车道上去。把总车流辆四等分，就是引向每个车辆换到另一个车道上去。把总车流辆四等分，就是引向每个车辆换到另一个车道上去。把总车流辆四等分，就是引向每个油泵的车流量，于是对每个油泵：个油泵的车流量，于是对每个油泵：个油泵的车流量，于是对每个油泵：个油泵的车流量，于是对每个油泵：本讲稿第四十二页，共六十三页而对于四个油泵构成的系统：

39、而对于四个油泵构成的系统：本讲稿第四十三页，共六十三页按M/M/4系统计算本讲稿第四十四页，共六十三页4.4 跟车理论4.4.14.4.1引言引言 何何为为跟跟车车理理论论：运用动力学方法，探究在无法超车的单一车道上车队列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并用数学模式表达加以分析阐明的一种理论。研研究究的的目目的的：试图通过观察各个车辆逐一跟驶的方式来了解单车道交通流的特性。用用途途：用来检验管理技术和通讯技术，以便使尾撞事故减到最低限度。本讲稿第四十五页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.2 4.4.2 车辆跟驶特性分析车辆跟驶特性分析 非非自自由由流流行行驶驶状

40、状态态：高密度状态的车流，车间距不大，车队中任一车辆都受到前车速度的制约，司机只能按前车所提供的信息采用相应的车速。智能车辆的交通流前后车辆可以实现通信。非自由行驶状态的车队特性：非自由行驶状态的车队特性：制约性：制约性：（1）紧随要求：司机不愿落后很多；（2）车速条件：后车在前车车速附近摆动；（3）间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离本讲稿第四十六页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.2 4.4.2 车辆跟驶特性分析（续）车辆跟驶特性分析（续）延延迟迟性性：后车对前车运行状态的改变有一个反应过程：感觉-认识-判断-执行（四个阶段所需要的时间称为反应时间），若反

41、应时间为T，前车在t时刻的动作，后车要经过（t+T）时刻才能做做出动作出动作。传传递递性性：第n辆车制约着第（n+1）辆车的运行状态的特性。由于传递性具有延迟性，所以，信信息息沿沿车队向后传递是间断连续的车队向后传递是间断连续的。本讲稿第四十七页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.3 4.4.3 线性跟车模型线性跟车模型 模型的建立：模型的建立：描述跟车的刺激反应现象。（1）关于刺激与反应：前导车的加速或减速，以及随之发生的两车之间的速速度度差差和和车车间间距距离离的的变变化化；反应为后车所做的加速或减速动作及其实际效果。（2）建模条件：两车间距s(t)s(t)（行

42、驶中前导车刹车时，后车可不撞车停下的间距）；反应时间T内后车车速不变；后车及前导车在减速期间行驶的距离相等。（3）基本模型：S(t)=dS(t)=d1 1+L=T x+L=T xn+1n+1(t+T)+L(t+T)+L.本讲稿第四十八页，共六十三页n+1nn+1n+1ns(t)xn+1(t)xn(t)d1d2Ld3前车开始减速的位置时刻t两车的位置后车开始减速的位置完全刹车后两车的位置本讲稿第四十九页，共六十三页4.4.3 4.4.3 线性跟车模型线性跟车模型 模型的建立：模型的建立：（4）反应与敏感度及刺激的关系，对(3)式微分得 xn(t)-xn+1(t+T)=Txn+1(t+T)xn+1

43、(t+T)=1/Txn(t)-xn+1(t+T)反应=敏感度*刺激 考考虑虑变变速速过过程程中中两两车车行行驶驶距距离离可可能能不不相相等等等等一一般般场场合合 x xn+1n+1(t+T)=(t+T)=xxn n(t)(t)-x xn+1n+1(t+T)(t+T)为为反反应应强强度度系系数数，量量纲纲为为秒秒-1-1，不不应应理理解解为为敏敏感感度度，而而应看成与驾驶员动作的强弱程度直接相关应看成与驾驶员动作的强弱程度直接相关.本讲稿第五十页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.3 4.4.3 线性跟车模型线性跟车模型 模型的的稳定性模型的的稳定性解二阶微分方程，可

44、用公式解二阶微分方程，可用公式C=C=T T表征稳定性。表征稳定性。（1）局部稳定：前后两车速度近似相等，车间距离大体保持一常数；随着c值的增加，车间距逐渐成为不稳定。说明，如果对早就出现的刺激（反应时间T长）,或反应太强烈，使情况可能会偏向错误的方向。本讲稿第五十一页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.3 4.4.3 线性跟车模型线性跟车模型 模型的的稳定性模型的的稳定性（2）渐进稳定：前车速度向其后各车传播的特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了，叫不稳定；若逐渐衰减，则叫稳定。研研究究表表明明：当当一一列列行行驶驶车车辆辆仅仅当当c0.5c0.5c0.5时时，将

45、将以以大大波波动动幅幅度度传传播播，增增加加了了车车辆辆间间的的干干扰扰；当当干干扰扰的的幅幅度度增加到小于一个车长时，尾撞事故即将发生。增加到小于一个车长时，尾撞事故即将发生。.本讲稿第五十二页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.4 4.4.4 跟车模型与车流模型跟车模型与车流模型 车流模型的再认识车流模型的再认识（1）车流模型是指在稳稳定定的车流中，流、密、速之间的相依关系；（2）根据跟车模型可以推导出各种速-密模型。对方程：xn+1(t+T)=xn(t)-xn+1(t+T)积分得 xn+1(t+T)=xn(t)-xn+1(t+T)+c车队处于稳定状态时：xn+

46、1(t+T)=xn+1(t).本讲稿第五十三页，共六十三页4.4 4.4 跟车理论（续）跟车理论（续）4.4.4 4.4.4 跟车模型与车流模型跟车模型与车流模型 因此，前式可化为：u=s+c,令k=1/s，则k就是车流密度，利用边界条件可求得 和 c.推导:当u=0时，车队的密度为拥塞密度kj，于是 0=a/kj+c,c=-a/kj 式变成 u=a(1/k-1/kj)且 q=uk=a(1-k/kj).又因k=0时，由上式知q达到最大值qm,即a=qm得到车流模型为：u=qm(1/k-1/kj)q=qm(1-k/kj)本讲稿第五十四页，共六十三页注意线性跟车模型的缺陷（可由对应的车流模型中推出

47、），其原因是该模型的假定。根源在于它假定后随车的跟驶反映只依赖于它与前导车的速度差，而与两车的间距及后车本身的速度无关。本讲稿第五十五页，共六十三页跟车模型的推广跟车模型的推广 .本讲稿第五十六页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.1 引言引言运用流体动力学的原理，又称车流波动理论；模拟对比表本讲稿第五十七页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.2 车流连续方程守恒定律：流入量-流出量=某路段车辆数的变化；k/t +q/x =0表明：当车流辆随距离而降低时，车流密度则随时间而增大。本讲稿第五十八页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动

48、力学模拟理论4.4.3车流中的集散波n n定义及波速：车流集结：遇红灯或瓶颈时车流陆续停车排队而集结成密度高的队列的现象；车流疏散：排队车辆陆续启动而疏散成一列具有适当密度的车队的现象；车流波动：车流中两种不同密度部分分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象；车流波及波速：车流中密度不同的两部分的分界面，该波沿道路移动速度称为波速本讲稿第五十九页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.3车流中的集散波(续)n n研究集散波的意义 描述与解析车流集结与疏散现象，计算车流排队长度的变化；n波速公式：W=(Q1-Q2)/(K1-K2)当车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近时，

49、则可演化为：W=dQ/dK本讲稿第六十页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.3车流中的集散波(续)n n波速的演变qABCA点（低密度、低流量）点（低密度、低流量）B点（高密度、高流量）点（高密度、高流量）C点（高密度、低流量）点（高密度、低流量）kAB：集散波的波速为正，波沿：集散波的波速为正，波沿道路向前进，道路向前进，集结波集结波；C B：集散波的波速为负，波沿：集散波的波速为负，波沿道路后退，道路后退，消散波消散波；本讲稿第六十一页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.3车流中的集散波(续)n n停车波和起动波及其理论的应用红灯结束时交叉口进口道上排队的车辆数；车辆到达率：固定断面记数的概念排队延长率：变动断面记数的概念停车波：集结波，停车队列的尾部沿上游延伸的速度就是停车波的波速 W停=(0-Q)/(Kj-K)本讲稿第六十二页，共六十三页4.4 流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论4.4.3车流中的集散波(续)n n停车波和起动波及其理论的应用停车波向上游移动的距离 W停r=Qr/(Kj-K)停下的车辆数：Nr=Qr Kj/(Kj-K)=Qr/(1-K/Kj)Qr 当K接近于Kj时，Nr远大于Qr，否则。应用与练习：本讲稿第六十三页，共六十三页