第十二章 二阶电路的时域分析精选文档.ppt

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1、第十二章 二阶电路的时域分析2023/1/231本讲稿第一页，共六十页l 重点重点1.1.用经典法分析二阶电路用经典法分析二阶电路2.2.二阶电路的零输入响应有几种表现形式？二阶电路的零输入响应有几种表现形式？特点？特点？l 难点难点不同特征根的响应讨论不同特征根的响应讨论2023/1/232本讲稿第二页，共六十页1、二阶齐次微分方程的通解形式、二阶齐次微分方程的通解形式特征根：特征根：特征方程为：特征方程为：通解通解:知知 识识 复复 习习 2023/1/233本讲稿第三页，共六十页当特征方程有不同的实根当特征方程有不同的实根 p1、p2 时时:当特征方程有相同的实根当特征方程有相同的实根

2、p 时时:当特征方程有共轭的复根当特征方程有共轭的复根 :2023/1/234本讲稿第四页，共六十页2 2、欧拉公式、欧拉公式 2023/1/235本讲稿第五页，共六十页问题的提出问题的提出第一节第一节 RLC RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应二阶电将将出现动态元件之间的能量交换二阶电将将出现动态元件之间的能量交换例例+-+-左图电路中，设开关左图电路中，设开关S S闭合闭合前的瞬间，有前的瞬间，有t=0t=0时开关闭合，分析电路时开关闭合，分析电路中的暂态过程。中的暂态过程。RLC串联电路的简单物理过程分

3、析串联电路的简单物理过程分析2023/1/236本讲稿第六页，共六十页1、建立关于、建立关于uC的电路方程的电路方程一、一、响应响应uC与与iLuC与与iL确定的步骤确定的步骤换路后的电路如右图所示在图示参考方向下，电路的KVL方程为式中+-+-+-+-将上述关系以uC作为应变量代入KVL方程，经整理后得2023/1/237本讲稿第七页，共六十页 这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。其初始条件为其初始条件为 2、确定特解、确定特解 其次方程没有特解，即其次方程没有特解，即u uCPCP=0=0。2023/1/238本讲稿第八页，共六十页3、确定通解、确定通解

4、 其特征方程为其特征方程为 其特征根为其特征根为 定义定义称为称为衰减常数衰减常数 0 0为为RLCRLC串联电路串联电路的谐振角频率的谐振角频率 于是于是 2023/1/239本讲稿第九页，共六十页 通解为通解为 式中式中A A1 1、A A2 2是积分常数，由电路初始条件确定。是积分常数，由电路初始条件确定。s s1 1、s s2 2仅决定于电路结构与元件参数，它们是电路的仅决定于电路结构与元件参数，它们是电路的固有频率固有频率或或自然频率自然频率。注意注意 在二阶电路中，没有时间常数的概念。在二阶电路中，没有时间常数的概念。、0 0、s s1 1、s s2 2的单位都是的单位都是1/s1

5、/s。2023/1/2310本讲稿第十页，共六十页4、写出全解、写出全解5、确定常数、确定常数A1、A2 将上式中令将上式中令t=0t=0+，代入初始条件，代入初始条件，得得 在在t=0t=0+处，对（处，对（12-512-5）式对）式对t t求导，代入初始条件，求导，代入初始条件，有有2023/1/2311本讲稿第十一页，共六十页 联立式（联立式（12-612-6）、（）、（12-712-7）得积分常数为得积分常数为注意注意 常数常数A A1 1、A A2 2不仅与电路初始状态有关，而且，还不仅与电路初始状态有关，而且，还与电路结构、元件参数有关。与电路结构、元件参数有关。2023/1/23

6、12本讲稿第十二页，共六十页 将积分常数代入将积分常数代入u uC C的全解中，可得零输入响应的全解中，可得零输入响应u uC C为为 电流为电流为2023/1/2313本讲稿第十三页，共六十页 上式中上式中s s1 1s s2 2由由得得将上式代入到将上式代入到i iL L中，化简后得中，化简后得注意注意 式（式（12-912-9）与式（）与式（12-1112-11）指出，式中前一项是由电）指出，式中前一项是由电容器上的初始电压容器上的初始电压U U0 0引起的零输入响应，后一项是由电感器引起的零输入响应，后一项是由电感器中的初始电流中的初始电流I I0 0引起的零输入响应。引起的零输入响应

7、。初始电压初始电压U U0 0引起的零输入响应引起的零输入响应初始电流初始电流I I0 0引起的零输入响应引起的零输入响应2023/1/2314本讲稿第十四页，共六十页二、二、电路不同参数值时暂态过程分析电路不同参数值时暂态过程分析 在在RLCRLC串联电路中，由于元件参数的不同，电路的暂串联电路中，由于元件参数的不同，电路的暂态过程有三种不同的性状。态过程有三种不同的性状。2023/1/2315本讲稿第十五页，共六十页为了简化分析，设式（为了简化分析，设式（12-912-9）中）中I I0 0=0=0。得得2023/1/2316本讲稿第十六页，共六十页 这表明，在任一时刻这表明，在任一时刻t

8、 t，有，有u uC C00，电容器始终处于放电，电容器始终处于放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻尼。状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻尼。2023/1/2317本讲稿第十七页，共六十页由由得得 在在t tm m处，处，i iL L有一极值。令上式在有一极值。令上式在t=tt=tm m处的一阶导数为零，得处的一阶导数为零，得 上式，在上式，在s s1 1-s-s2 200时，有时，有得得2023/1/2318本讲稿第十八页，共六十页由由得得 在在t tm m处，处，u uL L有一极值。令上式在有一极值。令上式在t=tt=tm m处的一阶导数处的一阶导数为零，得为零，得得得20

9、23/1/2319本讲稿第十九页，共六十页2023/1/2320本讲稿第二十页，共六十页 式中的两个常数式中的两个常数A1，A2由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定。确定。则有则有2023/1/2321本讲稿第二十一页，共六十页可得可得代入初始条件代入初始条件于是有于是有2023/1/2322本讲稿第二十二页，共六十页 当将当将u uC C与与i iL L波形都画出来时，波形都画出来时，可以看出放电过程仍然是可以看出放电过程仍然是非周期非周期性性的，暂态过程处于的，暂态过程处于临界状态临界状态。电。电路为路为临界阻尼临界阻尼。定义定义为为临界电阻临界电阻2023/1/2323本

10、讲稿第二十三页，共六十页 为为RLC串联电路的衰减震荡角频率。串联电路的衰减震荡角频率。对此定义对此定义2023/1/2324本讲稿第二十四页，共六十页这样电路的固有频率可以写成这样电路的固有频率可以写成s s1 1与与s s2 2为一共轭复数。为一共轭复数。则有则有代入初始条件代入初始条件可得可得代入代入u uC C(t)(t)可得可得2023/1/2325本讲稿第二十五页，共六十页 将上式将上式与与d d看成右图所示直角三角形的两条看成右图所示直角三角形的两条直角边，利用直角边，利用则上式可以化成则上式可以化成2023/1/2326本讲稿第二十六页，共六十页将上式对将上式对t t求导，可得

11、求导，可得式中初相式中初相2023/1/2327本讲稿第二十七页，共六十页上二式表明上二式表明2023/1/2328本讲稿第二十八页，共六十页 为了简化振荡过程，设为了简化振荡过程，设I I0 0=0=0，得，得 由此画出的由此画出的u uC C与与i iL L波形如右上图所示。波形如右上图所示。在图示波形中：在图示波形中：（1 1）i iL L过零点的时刻过零点的时刻由由得得即即2023/1/2329本讲稿第二十九页，共六十页（2 2）i iL L过极值的时刻过极值的时刻由由得得即即引用右上图中的关系后，有引用右上图中的关系后，有即即2023/1/2330本讲稿第三十页，共六十页由此得由此得

12、i iL L过极值的时刻为过极值的时刻为（3 3）u uC C过零点的时刻过零点的时刻由由得得即即（4 4）u uC C达极值的时刻即是达极值的时刻即是i iL L过零点的时刻过零点的时刻2023/1/2331本讲稿第三十一页，共六十页2023/1/2332本讲稿第三十二页，共六十页当当=0=0，即，即R=0R=0，由，由得得即固有频率为一对共轭虚数。即固有频率为一对共轭虚数。由由给出给出2023/1/2333本讲稿第三十三页，共六十页这样，由式（这样，由式（12-2212-22）与）与式（式（12-23）得得2023/1/2334本讲稿第三十四页，共六十页 上二式表明上二式表明u uC C、

13、i iL L的振幅为定值，即电路中的暂态的振幅为定值，即电路中的暂态过程是过程是等幅振荡等幅振荡，也即，也即无阻尼振荡无阻尼振荡。下图为下图为I I0 0=0=0与与u uC C（0 0+）=U=U0 0时的时的u uC C、i iL L波形。波形。以上分析表明，以上分析表明，RLCRLC串联零输串联零输入电路暂态过程的特征取决于固入电路暂态过程的特征取决于固有频率有频率s s1 1与与s s2 2，即当，即当s s1 1与与s s2 2分别为分别为实数实数、复数复数与与纯虚数纯虚数时，电路相应时，电路相应的暂态过程就是的暂态过程就是非周期性放电非周期性放电、衰衰减振荡减振荡与与等幅振荡等幅振

14、荡。2023/1/2335本讲稿第三十五页，共六十页 例例12-112-1 在图在图12-6a12-6a电路中，电路中，L=1HL=1H，C=1/4FC=1/4F，u uC C(0(0-)=1V)=1V，电感器为零初始。，电感器为零初始。T=0T=0时开关时开关S S闭合，试就下列情况，计闭合，试就下列情况，计算电容电压算电容电压u uC C,并画出并画出u uC C波形波形：(1)R=5(1)R=5；(2)R=4(2)R=4；(3)R=2(3)R=2；(4)R=0(4)R=0。+-解解(1)R=5(1)R=5临界电阻为临界电阻为电路的暂态过程属于过阻尼。衰减常数为电路的暂态过程属于过阻尼。衰

15、减常数为2023/1/2336本讲稿第三十六页，共六十页 谐振角频率为谐振角频率为+-电路的固有频率为电路的固有频率为电容电压由电容电压由得得2023/1/2337本讲稿第三十七页，共六十页+-(2)R=4(2)R=4临界电阻为临界电阻为电路属于临界阻尼。电容电压由电路属于临界阻尼。电容电压由得得2023/1/2338本讲稿第三十八页，共六十页+-(3)R=2(3)R=2临界电阻为临界电阻为电路属于欠阻尼。衰减常数为电路属于欠阻尼。衰减常数为谐振频率由谐振频率由给出。给出。衰减振荡角频率由衰减振荡角频率由得得2023/1/2339本讲稿第三十九页，共六十页电路的固有频率由式（电路的固有频率由式

16、（12-2112-21）得得由式（由式（12-2412-24）得得电容电压由电容电压由得得2023/1/2340本讲稿第四十页，共六十页+-(4)R=0(4)R=0R=0R=0时，电路为无阻尼振荡。时，电路为无阻尼振荡。电容电压由式（电容电压由式（12-2812-28）得得 上述四种情况的上述四种情况的u uC C波形如右图所示。波形如右图所示。2023/1/2341本讲稿第四十一页，共六十页第二节第二节 GCL GCL并联电路的零输入响应并联电路的零输入响应 GCL并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程+-+-2023/1/2342本讲稿第四十二页，共六十页 代入电容

17、，电阻和电感的VCR方程 得到微分方程 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为 由此求解得到特征根 2023/1/2343本讲稿第四十三页，共六十页 当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：1.时，s1,s2为两个不相等的实根。2.时，s1,s2为两个相等的实根。3.时，s1,s2为共轭复数根。当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。2023/1/2344本讲稿第四十四页，共六十页 由上分析可知，由上分析可知，GCLGCL并联电路的零输入响应是并联电路

18、的零输入响应是RLCRLC串联串联电路零输入响应的对偶。其对偶特性如下电路零输入响应的对偶。其对偶特性如下+-+-+-+-u uC C与与i iL L有关有关联方向！联方向！u uC C与与i iL L有关有关联方向！联方向！2023/1/2345本讲稿第四十五页，共六十页例1：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。解：由KVL可知由KCL知则i(t)RLuS(t)2023/1/2346本讲稿第四十六页，共六十页而将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程其特征方程为2023/1/2347本讲稿第四十七页，共六十页特征根为因 ，电路为过阻尼情况。2023/1/2348本讲稿

19、第四十八页，共六十页例 电路如图所示，已知G=3S，L=0.25H,C=0.5F,iS(t)=(t)A。求t0时电感电流和电容电压的零状态响应。解：根据G，L，C 的量值，计算出固有频率+-+-2023/1/2349本讲稿第四十九页，共六十页 利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程 求得常数K1=-2，K2=1。最后得到电感电流和电容电压 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 2023/1/2350本讲稿第五十页，共六十页+-+-2023/1/2351本讲稿第五十一页，共六十页+-+-2023/1/2352本讲稿第五十二页，共六十页例 图示 RL

20、C并联电路中，已知G=0.1S，L=1H，C=1F，iS(t)=(t)A。求t0时，电感电流的零状态响应。解：首先计算固有频率 其响应为+-+-2023/1/2353本讲稿第五十三页，共六十页 利用零初始条件，得到 由此可得 最后得到电感电流为 2023/1/2354本讲稿第五十四页，共六十页 用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。衰减系数为0.05的电感电流的波形 2023/1/2355本讲稿第五十五页，共六十页u4(t)=(t)*(1.00 )*exp(-.500E-01t)cos(.999 t-90.00)2023/1/2356本讲稿第五十六页，共六十页i3(t)=(t)*(1

21、.00 )*exp(-.500E-01t)cos(.999 t+177.1)+(t)*(1.00 +j .000 )*exp(.000 +j .000 )t2023/1/2357本讲稿第五十七页，共六十页本章小结时，s1,s2为两个不相等的实根，称电路是过阻尼电路是过阻尼。时，s1,s2为两个相等的实根，称电路是临界阻尼电路是临界阻尼。时，s1,s2为共轭复数根，称电路是欠阻尼电路是欠阻尼。1、二阶电路暂态过程的特征由电路自然频率确定，也即由零输入电路的结构与元件参数确定。（1）对RLC串联电路时，称电路是无阻尼电路是无阻尼。式中R0为临界电阻。2023/1/2358本讲稿第五十八页，共六十页过阻尼。临界阻尼。欠阻尼。（1）对GCL并联联电路 无阻尼。式中G0为临界电阻。2、二阶电路中的外施激励，仅提供电路的强制响应。2023/1/2359本讲稿第五十九页，共六十页本章习题P142/1P143/2、3、4、52023/1/2360本讲稿第六十页，共六十页