现代控制理论-精品文稿.ppt

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1、现代控制理论-第1页，本讲稿共64页课程的基本问题课程的基本问题基本要求基本要求考核成绩：期末考试确定，满考核成绩：期末考试确定，满分分100分分上课要求：希望认真听课上课要求：希望认真听课作作 业：希望认真完成作业，但不记成绩业：希望认真完成作业，但不记成绩教材及参考书教材及参考书n现代控制理论现代控制理论 主编主编 王金城王金城 化学工业出版社化学工业出版社n现代控制理论基础现代控制理论基础 主编主编 梁慧冰梁慧冰 机械工业出版社机械工业出版社教学内容（教学内容（前五章前五章）1 1 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 2 2 线性系统的状态空间运动分析线性系统的状态空间运动分析

2、 3 3 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性 4 4 控制系统的稳定性控制系统的稳定性李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 5 5 线性控制系统的综合线性控制系统的综合 6 6 现现代控制理代控制理论专题论专题第2页，本讲稿共64页1.1 1.1 引言引言1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述1.3 1.3 状态空间描述的状态变量图状态空间描述的状态变量图1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述1.6 1.6 离散系统状态空间描述的建立离散系统状态空间描述的建立1.7 1.7 线性

3、变换线性变换1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵1 1 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述第3页，本讲稿共64页1.1 1.1 引言引言n经经典控制理典控制理论论的的发发展和完善展和完善时时代：代：从从19321932年年奈奈魁魁斯斯特特（H.NyquistH.Nyquist）发发表表反反馈馈放放大大器器的的频频率率域域稳稳定性定性论论文起，到二十世文起，到二十世纪纪五十年代末。五十年代末。n现现代控制理代控制理论论的形成和的形成和发发展展时时代：代：从二十世从二十世纪纪五十年代末开始，其五十年代末开始，其标标志性成果：志性成果：1956 1956年年

4、庞庞特里雅金（特里雅金（L.S.PontryaginL.S.Pontryagin）的极大）的极大值值原理原理 1957 1957年年贝贝尔尔曼（曼（R.BellmanR.Bellman）的）的动态规动态规划理划理论论 1961 1961年卡年卡尔尔曼（曼（R.E.KalmanR.E.Kalman）的）的线线性性递递推推滤滤波理波理论论 其中，状其中，状态态空空间间的概念和方法的引入，的概念和方法的引入，则则起了重要的推起了重要的推 动动作用。作用。第4页，本讲稿共64页n研究对象：线性与非线性系统、定常与时变系统、单变量与多变量系统、连续与离散系统n数学上：状态空间法（输入-状态-输出）n方法

5、上：研究系统输入/输出特性和内部性能n内容上：线性系统理论（基础）、系统辨识、最优控制、自适应控制等1.1 1.1 引言引言第5页，本讲稿共64页n状态变量状态变量 是指能够完全描述系统运动状态的且数量最少的一组变量。完全描述是指，如果给定了t=t0时刻这组变量的值，和tt0时的输入信号，那么系统在tt0的任何瞬时的行为就完全确定了。数量最少是指反映系统状态的一组独立的变量。1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n121 状态和状态空间状态和状态空间 状态和状态空间长久以来就在描述质点和刚体运动的经典动力学中得到了广泛的应用。在经典控制理论中所讨论过的相平面，就是一个特殊的二维状态空间。n状

6、态状态 所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。一个质点作直线运动，它的状态就是各时刻的位置与速度 一个RLC电路，它的状态就是各时刻电感电流与电容电压第6页，本讲稿共64页n状状态态向向量量 以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，记为1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n状态空间状态空间 以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴所构成的n维欧式空间称为状态空间。状态空间中每一点都代表一个特定状态。系统tt0各时刻的状态构成状态空间中一条轨迹。第7页，本讲稿共64页n122 被控过程

7、被控过程的状态空间描述的状态空间描述1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n被控过程的输出特性是简单的函数关系，可表为 j=1,2,mn被控过程的动力学特性，可用n个一阶常微分方程组来描述 i=1,2,n u1(t),u2(t),ur(t)为控制变量,即输入变量x1(t),x2(t),xn(t)为状态变量y1(t),y2(t),ym(t)为输出变量,可直接测量,故也称为量测变量第8页，本讲稿共64页1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n引入向量函数引入向量函数 状态空间描述状态空间描述（状态空间表达式）（状态空间表达式）n状态方程状态方程n输出方程输出方程n令令第9页，本讲稿共64页1.

8、2 1.2 状态空间描述状态空间描述n用矩阵方程表示n如果所描述过程是线性的第10页，本讲稿共64页1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述nA(t)为系统矩阵，nn维；B(t)为控制矩阵，nr维；C(t)为输出矩阵，mn维，D(t)为传递矩阵,mr维。简记为S(A,B,C,D)n如果系统是线性定常系统 其中A，B，C，D分别为常数矩阵第11页，本讲稿共64页1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n123 非线性状态空间描述的线性化非线性状态空间描述的线性化 考察系统在x0=x(t0)附近的运动，且对于x0和u0有将f 和g在x0，u0处进行泰勒级数展开，则有式中其中f，g是x，u的非线性函

9、数。n实际的控制系统总是非线性的，即第12页，本讲稿共64页1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n用增量表示 令 忽略a，b，则有 第13页，本讲稿共64页1.2 1.2 状态空间描述状态空间描述n例例 试求下列非线性系统在x0=0和u0=1处的线性化方程。n解解 由状态方程和输出方程得n于是第14页，本讲稿共64页1.3 1.3 状态空间描述的状态变量图状态空间描述的状态变量图 n状态变量图的图形符号状态变量图的图形符号 加法器 比例器 积分器 带初始条件积分器 n状态空间描述的一般形式状态空间描述的一般形式向量信号第15页，本讲稿共64页n三阶系统微分方程三阶系统微分方程 1.3 1.

10、3 状态空间描述的状态变量图状态空间描述的状态变量图 n一阶系统微分方程一阶系统微分方程第16页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 从系统的机理出发进行推导 由系统的结构图建立 对系统的微分方程或传递函数进行转换建立方法建立方法n例例 试列写RLC网络的状态空间描述，以电流i2为输出。n解解 此网络的贮能元件有电感L1，L2和电容C，考虑到i1，i2和uc这三个变量是独立的，故可选它们为状态变量。根据网络回路和节点方程，可得 n1.4.1 1.4.1 从系统的机理出发建立状态空间描述从系统的机理出发建立状态空间描述 第17页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态

11、空间描述的建立状态空间描述的建立 n令x1=i1，x2=i2，x3=uc，整理得第18页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 n例例 列写以M1和M2的位移y1和y2为输出的状态空间描述。n解解 弹簧和质量块是贮能单元，可选择位移y1、y2和速度v1、v2为状态变量。第19页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 n令x1=y1，x2=y2，及u=f 式中xT=x1 x2 x3 x4，yT=y1 y2 第20页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 n1.4.2 1.4.2 从系统结构图出发建立状态空间

12、描述从系统结构图出发建立状态空间描述n 例例 某系统的结构图如图,试求其状态空间描述。第21页，本讲稿共64页1.4 1.4 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 n对对于于传递传递函数中含有零点的函数中含有零点的环节环节，需，需变换变换成真分式成真分式 真分式 第22页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n考考虑虑一个一个单输单输入入-单输单输出出线线性定常系性定常系统统，它的运，它的运动动方程是一方程是一个个n阶线阶线性常系数微分方程性常系数微分方程:n其其传递传递函数函数为为n目的是目的是寻寻求一个状求一个状态态空空间间描述与之描述

13、与之对应对应 当当mn时时，d=0。而当。而当m=n时时，d=b00 n在保在保证输证输入入输输出关系不出关系不变变前提下，可以有多种的前提下，可以有多种的A，b，c，d与之与之对对应应，而每一种，而每一种对应对应就是一种就是一种实现实现。第23页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n1.5.1 1.5.1 能控标准形实现能控标准形实现 n设单输设单输入入-单输单输出控制系出控制系统统由由传递传递函数描述函数描述 因因m=n-1，即，即d=0，所以，所以n用状用状态变态变量量图图建立系建立系统统的状的状态态空空间间描述，将上式改写描述，将

14、上式改写 第24页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 第25页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n能控标准形实现能控标准形实现n例例 试列写如下二阶系统状态空间描述的能控标准形 n解解 将传递函数改写 友矩友矩阵阵第26页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n（1 1）不包含输入导数项的情况不包含输入导数项的情况n设系统的微分方程为令第27页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间

15、描述 n（2 2）包含输入导数项的情况包含输入导数项的情况 n系统的传递函数为 n上式分解为如下两部分串联，并引入中间变量Z(s)第28页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n1.5.2 1.5.2 能观测标准形实现能观测标准形实现n重写系统的传递函数 n构造状态变量图第29页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n能观测标准形实现能观测标准形实现对偶关系对偶关系n能控标准形实现能控标准形实现第30页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间

16、描述 n1.5.3 1.5.3 约当标准形实现约当标准形实现n（1 1）特征根互异情况）特征根互异情况系统的传递函数为 其中l1，l2，ln互异。将上式展开成部分分式 第31页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n约当标准形实现约当标准形实现第32页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n（2 2）特征根有重根情况）特征根有重根情况n设系统只有l1是重根，且重数为k，其余n-k个特征根是单根。此时，系统的传递函数可写成第33页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态

17、空间描述输出描述为状态空间描述 第34页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n写成一般形式写成一般形式其中第35页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 n1.5.41.5.4 多输入多输入-多输出系统的实现多输出系统的实现n以双输入-双输出二阶系统为例。设系统的微分方程为 对导数积分第36页，本讲稿共64页1.5 1.5 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 第37页，本讲稿共64页1.6 1.6 离散系统状态空间描述的建立离散系统状态空间描述的建立 n周期性采样

18、线性定常系统的差分方程一般具有如下的形式 n进行Z变换，导出脉冲传递函数 （单输入输出变量系统）（多输入输出多变量系统）第38页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n1.7.1 1.7.1 线性非奇异变换线性非奇异变换nA与 是相似矩阵，它们具有相同的基本特性：行列式相同、秩相同、特征多项式相同、特征值相同等 n选取不同状态变量得到不同状态空间描述 n它们具有相同输入、相同输出、相同的状态变量维数 式中或第39页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n例例 将如下系统变换为状态空间描述对角线标准形n 解解 选取非奇异变换阵P为新的状态变量是原状态变量的线性组合第40页

19、，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 将一般形式的状态空间描述变换为对角线标准形第41页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n1.7.2 1.7.2 系系统统的特征的特征值值和特征向量和特征向量n（1 1）系系统统的特征的特征值值 设A是nn的矩阵，若存在一非零向量p，有 A p=l p l称为A的特征值，p称为A的对应于特征值l的特征向量。n特征多特征多项项式式 将行列式|lI-A|展开|lI-A|=ln+a 1ln-1+an-1l+an n特征方程特征方程 det(l I-A)=|lI-A|=0 特征方程的根就是特征值l第42页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性

20、变换线性变换 n对于友矩阵对于友矩阵l 1=-1l 2=-2l 3=-3 特征多项式为：|lI-A|=ln+a 1ln-1+an-1l+an n例例第43页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n（2 2）系统的不变量与特征值的不变性）系统的不变量与特征值的不变性 n系统经线性变换后，其特征多项式不变：n证明证明 n特征多项式的系数a 1，a 2，a n称为系统的不变量 第44页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n（3 3）特征向量的计算）特征向量的计算 A p=l pn例例 试求矩阵的特征向量n解解 根据|lI-A|=0已计算出：l1=-1，l2=-2，l3=-3

21、 计算对应于l1=-1 的特征向量p1 按定义 A p1=l p1 设第45页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 解出 p120，p11p13，令p111，则p131 同理，可算出l2=-2，l3=-3的特征向量第46页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n1.7.3 1.7.3 将状态空间描述变换为约当标准形将状态空间描述变换为约当标准形 n（1）A阵为任意形式阵为任意形式采用线性变换 ，将 变换为n（）特征值互异时）特征值互异时 求出l i的特征向量pi，i1,2,n。由pi构成变换矩阵P 由于第47页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n两边左乘

22、P-1，得 第48页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n（）特征）特征值值有重根有重根时时设A有n个特征值，其中l1为k重根，其余为互异根。第49页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n即k个重根个重根 n-k个个单单根根 n也可根据A矩阵特征方程的第k行的代数余子式求 第50页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n例例 试将矩阵变换为约当标准形n解解 A阵的特征方程为n下面分别用两种方法求变换阵P。根据递推方法求解 根据A矩阵特征方程的代数余子式求解其特征值为l 1=l 2=1，l 3=5。第51页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换

23、n 根据递推方法求解p13=8为任选 先计算重根l 1=l 2=1的特征向量p p1 A p1=l 1 p1即第52页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n再由A p2=l 1 p2+p1计算p2 n最后计算对应于l 3=5的特征向量p3：Ap3=l3 p3因此第53页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n 根据A矩阵特征方程的代数余子式求解n将行列式 按第一行展开，得代数余子式 n将l 1=1代入，得p11=p12=p13=0，这样p1=0，不符合要求。故改为按第二行展开 n将l 1=1代入，得p11=0，p12=0，p13=-32 第54页，本讲稿共64页1.7

24、 1.7 线性变换线性变换 由 法得到：n对于重根l 2=1，有 n将l 3=5代入代数余子式，得n 将A阵变换成约当标准形第55页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n考虑如下系统：n问题：如何求变换阵P 得到什么样的标准形第56页，本讲稿共64页1.7 1.7 线性变换线性变换 n()特征值互异时特征值互异时 变换阵P为n(2)(2)A阵为阵为友矩友矩阵阵n()特征值有重根时特征值有重根时 以l 1是三重根为例第57页，本讲稿共64页1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 n1.8.1 1.8.1 单输入单输入-单输出系统单输出系统拉氏变换拉氏变

25、换 标量函数 式中 其中 adj()adjoint,伴随矩阵,是A相应元素的代数余子式 det()determinant,行列式,即为A的特征多项式 第58页，本讲稿共64页1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 n例例 已知三阶系统的状态空间描述n解解 先求则传递函数第59页，本讲稿共64页1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 n1.8.2 1.8.2 多多输输入入-多多输输出系出系统统式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。拉氏变换拉氏变换 u-x间的传递函数阵为u-y间的传递函数阵为第60页，本讲稿共64页

26、1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 n例例 求系统的传递函数阵n解解第61页，本讲稿共64页1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 n该传递函数阵也可写成如下形式n分子多项式的系数不是标量，而是矩阵，称为矩阵多项式第62页，本讲稿共64页1.8 1.8 由状态空间描述求传递函数阵由状态空间描述求传递函数阵 1.8.3 1.8.3 传递函数阵的不变性传递函数阵的不变性传递函数阵为第63页，本讲稿共64页作业作业 1-21-3(3)、(4)、(6)1-5(1)1-6(2)1-7(2)1-8(2)1-101-111-12第64页，本讲稿共64页