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1、简单的二阶微分方程本讲稿第一页，共四十三页一、可降阶的二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程解解 本讲稿第二页，共四十三页方程的方程的特点特点特点特点：方程右端不显含未知函数：方程右端不显含未知函数y.y.方程的方程的解法解法解法解法：,则则将它将它们们代入方程得代入方程得令令本讲稿第三页，共四十三页本讲稿第四页，共四十三页本讲稿第五页，共四十三页解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 3本讲稿第六页，共四十三页 例例 4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲受重力的作用而下垂，试

2、问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线线分析分析 本讲稿第七页，共四十三页 解解 将此两式相除，得 取原点O到点A的距离为定值于是有建立坐标系如图所示，设曲线方程为由题意得 本讲稿第八页，共四十三页，两端积分，得，两端积分，得 将初始条件将初始条件代入代入式，解得式，解得代入代入式，得式，得再将再将将将代入上式，并代入上式，并积积分得分得将初始条件将初始条件代入代入式，解得式，解得将将代入代入式，式，解得曲线方程为解得曲线方程为本讲稿第九页，共四十三页小结小结1.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2.不显含不显含y的二阶微分方程的二阶微分方程3.不显含不显含x的二阶微分方程的二阶微分方程本讲稿

3、第十页，共四十三页思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.本讲稿第十一页，共四十三页思考题解答思考题解答本讲稿第十二页，共四十三页思考题解答思考题解答本讲稿第十三页，共四十三页练练 习习 题题本讲稿第十四页，共四十三页解解受力分析受力分析二、二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程本讲稿第十五页，共四十三页物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程强迫振动的方程强迫振动的方程对于象这样的微分方程，我们给出如下定义对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:本讲稿第十六页，共四十三页程称为程称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程.称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线

4、性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程.称为称为二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程.1 1二阶线性微分方程的定义二阶线性微分方程的定义形如形如这样的微分方程这样的微分方程/本讲稿第十七页，共四十三页2 2二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构问题问题:本讲稿第十八页，共四十三页例如例如线性无关线性无关;线性相关线性相关.本讲稿第十九页，共四十三页特别地特别地:例如例如例如例如本讲稿第二十页，共四十三页3 3二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构本讲稿第二十一页，共四十三页三、二阶常系数

5、线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程形如形如这样的这样的微分方程称为微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程形如形如这样的微分方程称为这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程例如例如例如例如是二阶常系数齐次线性微分是二阶常系数齐次线性微分是二阶常系数齐次线性微分是二阶常系数齐次线性微分方程方程；是二阶常系数非齐次线性微分是二阶常系数非齐次线性微分是二阶常系数非齐次线性微分是二阶常系数非齐次线性微分方程方程本讲稿第二十二页，共四十

6、三页1 1二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性微分方程解法将其代入上方程将其代入上方程,得得特征方程特征方程特征根特征根本讲稿第二十三页，共四十三页（1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为本讲稿第二十四页，共四十三页（2 2）有两个相等的实根）有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为本讲稿第二十五页，共四十三页（3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得

7、齐次方程的通解为特征根为特征根为本讲稿第二十六页，共四十三页的特征方程是的特征方程是的通解的通解本讲稿第二十七页，共四十三页解解的特征方程为的特征方程为解得解得故所求微分方程的通解为故所求微分方程的通解为 例例11本讲稿第二十八页，共四十三页 例例22求微分方程求微分方程的特解的特解.解解的特征方程为的特征方程为解得解得所求微分方程的通解为所求微分方程的通解为将将分别代入上两式，解得分别代入上两式，解得所求微分方程的特解为所求微分方程的特解为本讲稿第二十九页，共四十三页解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为 例例33本讲稿第三十页，共四十三页小结小结小结小结二阶常系数齐次线性

8、微分方程求通解的二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.本讲稿第三十一页，共四十三页练练 习习 题题 本讲稿第三十二页，共四十三页二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程对应的齐次方程通解结构通解结构两种类型两种类型难点难点：如何求特解？：如何求特解？方法方法：待定系数法：待定系数法.2 2 2 2二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法本讲稿第三十三页，共四十三页设非齐方程特解为设

9、非齐方程特解为代入原方程代入原方程本讲稿第三十四页，共四十三页综上讨论综上讨论设设是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，本讲稿第三十五页，共四十三页解解对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为 例例11本讲稿第三十六页，共四十三页本讲稿第三十七页，共四十三页解解对应齐次方程的特征方程对应齐次方程的特征方程 例例22对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解特征根特征根原方程通解为原方程通解为本讲稿第三十八页，共四十三页解解特征方程特征方程 例例33对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解特征根特征根原方程通解为原方程通解为本讲稿第三十九

10、页，共四十三页小结小结(待定系数法待定系数法)本讲稿第四十页，共四十三页思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定的待定特解的形式特解的形式.设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根思考题解答思考题解答本讲稿第四十一页，共四十三页练练 习习 题题本讲稿第四十二页，共四十三页 通过本课题学习，学生应该达到：1会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解；2会根据实际问题建立二阶微分方程。（一）（一）P109习题习题7.3；（二）（二）P109习题习题7.3；（三）（三）P109习题习题7.3【授课小结授课小结】【课后练习课后练习】本讲稿第四十三页，共四十三页