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1、近世代数课件置换群近世代数课件置换群2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1 1本讲稿第一页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2 2其中其中 是是1 1n n中的某一数字中的某一数字.(1)(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来式所示的置换可以用一个更简洁的方式来表示，这就是用表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之若干个没有公共数字的独立循环之积积来表示，如来表示，如其中其中(5)(5)称为称为单循环单循环，它代表，它代表5 5变为变为5.5.即即5 5不变不变.(1 4).(1 4)为为二循环二循环

2、，它代表，它代表1 1变为变为4 4，而，而4 4又变为又变为1.(2 3 6)1.(2 3 6)为为三循环三循环，代表，代表2 2变为变为3 3，3 3变为变为6 6，6 6又变为又变为2.2.一般用记号一般用记号本讲稿第二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3 3代表一个代表一个k k循环，并称循环，并称k k为循环的长度，两个数字的为循环的长度，两个数字的循环循环(即循环长度即循环长度k=2)k=2)又称为又称为对换对换.显然，两没有显然，两没有公共数字的独立循环之间是相互对易的，如公共数字的独立循环之间是相互对易的，如而同一循环中的数字

3、可作轮换而不改变该循环的结而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结果，如果，如 单循环往往省去不写，如单循环往往省去不写，如(2)(2)式可写成式可写成本讲稿第三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4 4任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之积积，如，如而一般情况下可以证明：而一般情况下可以证明：本讲稿第四页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5 5当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易的，如的

4、，如由此可见，由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的一个置换可分解为若干个没有相同数字的独立循环之积独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相而一个循环又可分解为若干个含有相同数字的对换之积同数字的对换之积.因此，一个置换可分解为若干个因此，一个置换可分解为若干个含有相同数字的对换之积含有相同数字的对换之积.由于一个循环分解为对换由于一个循环分解为对换乘积的形式不是唯一的，如乘积的形式不是唯一的，如(3)(3)式示式示,所以一个置换可所以一个置换可分解为对换之积的形式不是唯一的分解为对换之积的形式不是唯一的.一个置换若能分解一个置换若能分解为奇数个对换之积，则称为为奇数个对换之积，

5、则称为奇置换奇置换.反之反之,一个置换若一个置换若能分解为偶数个对换之积，则称为能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换偶置换.一个置换可一个置换可分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性本讲稿第五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院6 6却是唯一的却是唯一的.因为任一置换可分解为形式一定的循因为任一置换可分解为形式一定的循环乘积，而每一循环长度环乘积，而每一循环长度k k的奇偶性一定，若循环的奇偶性一定，若循环长度长度k k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积为偶数，则该循环可分解为奇数个对换

6、之积,如如 .反之，若长度反之，若长度k k为为奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 .任一置换任一置换 和它的逆和它的逆 具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.如如 显然两个偶显然两个偶(奇奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与置换之积为偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积为奇置换一个偶置换之积为奇置换.记所有偶置换的全体为记所有偶置换的全体为 ，则，则 的数目正好的数目正好本讲稿第六页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院7 7等于个等于个 .并且由于偶并且由于偶 偶偶=偶满足封闭偶满足封闭,单位元单位元(恒等

7、置换恒等置换零个对换零个对换)，另，另 ，故，故构成构成 的一个子群，且是一个不变子群的一个子群，且是一个不变子群.因为对因为对于任意的于任意的 ，有有显然商群显然商群 是二阶群是二阶群,它有两个一维表示它有两个一维表示与与 ,而任何一商群的表示也一定是其大群而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以的表示，所以 群一定有两个不等价的一维表示群一定有两个不等价的一维表示,其中一个是其中一个是 ，即，即 中的所有置换都对应于单中的所有置换都对应于单位元位元1 1，此为恒等表示，此为恒等表示.另一个一维表示是另一个一维表示是 ,在该表示中所有偶置换都对应于在该表示中所有偶置换都对应于1 1，而所

8、有奇置换，而所有奇置换本讲稿第七页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院8 8都对应于都对应于1.1.2.的共轭类的共轭类 现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.设有两个置换设有两个置换 与与 ，它们都是，它们都是 的群元素，的群元素，其中其中则则 的共轭元素为：的共轭元素为：本讲稿第八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院9 9这一结果表明，这一结果表明，欲求置换欲求置换 的共轭置换的共轭置换 ，只，只需对置换需对置换 中的上下两行数字同时施行置换中的上下两行

9、数字同时施行置换 ,例如例如对对 的上下两行数字同时施行置换的上下两行数字同时施行置换 得：得：若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求共轭元素的规则又可表述为：共轭元素的规则又可表述为：欲求置换欲求置换 的共轭的共轭置换置换 ,先将先将 与与 写成独立的循环之积的形写成独立的循环之积的形本讲稿第九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1010式，然后对式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行的每个循环因子中的数字分别施行置换置换.如在上例中，我们有如在上例中，我们有对对 中的每个数字分别施行置换中的每个

10、数字分别施行置换 得：得：与前面所得结果相同与前面所得结果相同.由上面的讨论可见，由上面的讨论可见，与它的共轭元素与它的共轭元素 有有相同的循环结构相同的循环结构.反之，有相同的循环结构的元素反之，有相同的循环结构的元素本讲稿第十页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1111一定是相互共轭的一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组，而群中所有相互共轭的元素组成一个共轭类，为了确定成一个共轭类，为了确定 群中共轭类的数目群中共轭类的数目,人人们引入了们引入了配分配分的概念的概念:约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次约定按循环长度递减来排列独

11、立循环之积的次序，而包括在序，而包括在n n次循环中的循环总长度等于次循环中的循环总长度等于n n，这，这样样n n可分解为一些不增加的整数之和，称为可分解为一些不增加的整数之和，称为n n的一的一个配分个配分,且每一个且每一个n n次置换都对应于一个次置换都对应于一个n n的配分，的配分，如置换如置换 其配分为：其配分为：6=3+2+16=3+2+1或简记为或简记为3 2 1.3 2 1.由于相互共轭的元素具有相同的由于相互共轭的元素具有相同的本讲稿第十一页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1212循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的循环

12、结构，所以互为共轭元素的配分是相同的.也也就是说就是说 的一个共轭类中的所有元素对应于的一个共轭类中的所有元素对应于n n的同的同一个配分，所以一个配分，所以置换群置换群 的共轭类数目等于的共轭类数目等于n n的不的不同的配分数同的配分数.例例1:1:有两个类有两个类 配分配分 1 1=,1 1=,有一个元素有一个元素:(1)(2)=.:(1)(2)=.配分配分 2,2,有一个元素有一个元素:(1 2).:(1 2).有三个类有三个类 配分配分 1 1 1=,1 1 1=,有一个元素有一个元素:(1)(2)(3)=.:(1)(2)(3)=.配分配分 2 1,2 1,有三个元素有三个元素:(1

13、2):(1 2)、(1 3)(1 3)、(2 3).(2 3).配分配分 3,3,有两个元素有两个元素:(1 2 3):(1 2 3)、(1 3 2).(1 3 2).本讲稿第十二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1313 有五个类有五个类 配分配分 1 1 1 1=,1 1 1 1=,有一个元素有一个元素:(1)(2)(3)(4)=.(1)(2)(3)(4)=.配分配分 2 1 1=2 ,2 1 1=2 ,有六个元素有六个元素:(1 2):(1 2)、(1 3)(1 3)、(1 4)(1 4)、(2 3)(2 3)、(2 4)(2 4)、(

14、3 4).(3 4).配分配分 2 2=,2 2=,有三个元素有三个元素:(1 2)(3 4):(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3).(1 4)(2 3).配分配分 3 13 1，有八个元素，有八个元素:(1 2 3):(1 2 3)、(1 3 2)(1 3 2)、(1 2 4)(1 2 4)、(1 4 2)(1 4 2)、(1 3 4)(1 3 4)、(1 4 3)(1 4 3)、(2 3 4)(2 3 4)、(2 4 3).(2 4 3).配分配分44，有，有6 6个元素：个元素：(1 2 3 4)(1 2 3 4)、(1 2 4 3)(1

15、2 4 3)、(1 3 2 4)(1 3 2 4)、(1 3 4 2)(1 3 4 2)、(1 4 2 3)(1 4 2 3)、(1 4 3 2).(1 4 3 2).由由1.31.3节的讨论知，节的讨论知，与与 群同构，所以群同构，所以 也也有两个一维与一个二维不可约表示有两个一维与一个二维不可约表示.本讲稿第十三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1414 有不变子群有不变子群其商群为：其商群为：其中其中 本讲稿第十四页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1515显然显然 与与 群同构，因此，

16、群同构，因此，群的三个不可约群的三个不可约表示还是表示还是 的表示的表示.由于由于 有有5 5个类个类(=5(=5个不可个不可约表示约表示)，它的阶数为，它的阶数为4 4！=24.=24.所以由所以由2.62.6节节(6)(6)式知，各不可约表示维数的平方和满足关系式知，各不可约表示维数的平方和满足关系亦即亦即所以所以故：故：本讲稿第十五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1616所以所以 的的5 5个不可约表示分别为：两个一维表示、个不可约表示分别为：两个一维表示、一个二维表示及两个三维表示一个二维表示及两个三维表示.本讲稿第十六页，共六十六

17、页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院17173.2 杨图与杨盘杨图与杨盘 由上节的讨论可以看出，由上节的讨论可以看出，群的类是和群的类是和n n的配的配分联系在一起的，分联系在一起的，n n的各种配分可以形象地用杨图的各种配分可以形象地用杨图表示出来表示出来.1.杨图杨图 设设n n的某种配分为的某种配分为 ，其中，其中 ,且且 ，该配分是由，该配分是由n n个格子组成的方格图，其个格子组成的方格图，其中第一行为中第一行为 个格子，第二行为个格子，第二行为 个格子等等个格子等等.如图所示如图所示.上面一行的方格数大于等于下面一行的上面一行的方格数大于等于下

18、面一行的方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格子数合起来总共有子数合起来总共有n n个方格个方格.此方格图即称为此方格图即称为n n次杨次杨图图.本讲稿第十七页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1818 例例1:1:群的杨图由两个格子组成，各配分的群的杨图由两个格子组成，各配分的杨图为杨图为:本讲稿第十八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院1919 群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图为群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图为:群的杨图由四个格子组

19、成，各配分的杨图为群的杨图由四个格子组成，各配分的杨图为:本讲稿第十九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2020 显然杨图数显然杨图数=配分数配分数=共轭类数共轭类数=不等价不可约不等价不可约表示数表示数.假设在假设在n n的配分中，单循环有的配分中，单循环有 个，个，2 2循环有循环有个，个，n n循环有循环有 个等等，则个等等，则 对于对于 中一个确定的类，中一个确定的类，n n的配分的配分 是一定的，所以可以用数组是一定的，所以可以用数组 来标记来标记 的共轭类，这种标记方法的好处之一是可以用的共轭类，这种标记方法的好处之一是可以用数组

20、数组 方便地求出各类中所包含的方便地求出各类中所包含的元素数元素数，其结，其结果是果是本讲稿第二十页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2121 证证:设设 中某置换的循环结构为中某置换的循环结构为在括号中点子的总数为在括号中点子的总数为n n个，现在有个，现在有n n个不同的数个不同的数字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制条字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制条件，总共有种件，总共有种 放法放法.但但 中有许多是属于相同中有许多是属于相同的置换，一是各独立循环的对易不给出新置换，所的置换，一是各独立循环的对易不给出新置换，所以以 个

21、个i i循环中有循环中有 种置换是属于同一种置换，因种置换是属于同一种置换，因此此 中必须除去中必须除去 ，再就是各循环中数，再就是各循环中数字的轮换不给出新置换，如字的轮换不给出新置换，如(123)=(231)=(312).(123)=(231)=(312).所所以以一个一个i i循环中将重复置换循环中将重复置换i i次次，个个i i循环要重复置循环要重复置本讲稿第二十一页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2222换换 次，所以次，所以 中必须除去中必须除去 ，因此得结，因此得结果果(1)(1)式式.例例2:2:对于群对于群 ，在类，在类 中

22、，中，故故 ,故按故按(1)(1)式，在类式，在类中包含的元素数为中包含的元素数为在类在类 中，中，则则 ,故故本讲稿第二十二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2323在类在类 中，中，则，则故故在类在类 中，中，则，则故故在类在类 中，中，则，则故故本讲稿第二十三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2424这些结果与这些结果与3.13.1节例节例1 1的结果是一致的的结果是一致的.2.杨盘杨盘 置换群的不可约表示的个数与杨图的个数联系置换群的不可约表示的个数与杨图的个数联系起来起来(二者相等

23、二者相等)，再引入杨盘的概念，就可以确定，再引入杨盘的概念，就可以确定出出各不可约表示的维数各不可约表示的维数.在在 的杨图的杨图 上，将上，将n n个数字无重复地填满个数字无重复地填满n n个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列的，而每一列由上往下，数字也是增加的，由此得的，而每一列由上往下，数字也是增加的，由此得到的填了数字的杨图，称之为到的填了数字的杨图，称之为杨盘杨盘(或杨表或杨表).例3:,n=1,2,3,4 时的杨盘如下图示本讲稿第二十四页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2525 杨盘

24、杨盘本讲稿第二十五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2626 定理：定理：群中不可约表示群中不可约表示 的维数的维数 等于等于杨图杨图 上杨盘的个数上杨盘的个数.例例4:4:对于对于 群群 杨图杨图 ,杨盘杨盘1 1个个,.,.杨图杨图 ,杨盘杨盘2 2个个,.,.杨图杨图 ，杨盘，杨盘1 1个，个，.故在故在 群的三个不可约表示中，两个是一维群的三个不可约表示中，两个是一维的，另一个是二维的，这与的，另一个是二维的，这与3.13.1节例节例1 1得到的结论得到的结论是一致的是一致的.对于 群 杨图杨图 ，杨盘，杨盘1 1个，个，.本讲稿第二

25、十六页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2727 杨图杨图 ，杨盘，杨盘2 2个，个，.杨图杨图 ，杨盘，杨盘3 3个，个，.杨图杨图 ，杨盘，杨盘3 3个，个，.杨图杨图 ，杨盘，杨盘1 1个个，.所以在群所以在群 的的5 5个不可约表示中，其中有两个不可约表示中，其中有两个是一维的，一个是二维的，另两个是三维的个是一维的，一个是二维的，另两个是三维的.这这与与3.13.1节例节例1 1得到的结论是一致的得到的结论是一致的.群不可约表示的维数，亦可通过如下简单群不可约表示的维数，亦可通过如下简单的公式求得：的公式求得：本讲稿第二十七页，共六十

26、六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院2828其中一个方格的其中一个方格的曲距定义为该方格右面和下面的方曲距定义为该方格右面和下面的方格数之和加格数之和加1 1.例如，对于杨图例如，对于杨图 ，由上式可得，由上式可得其不可约表示的维数为其不可约表示的维数为对于杨图对于杨图 ，与上例所得结果相一致与上例所得结果相一致.本讲稿第二十八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院29293.3 的不可约表示的不可约表示 由前面的讨论可知，由由前面的讨论可知，由杨图与杨盘杨图与杨盘，我们可以，我们可以确定不可约表示的确定不

27、可约表示的个数与维数个数与维数，这节我们将讨论，这节我们将讨论的不可约表示矩阵的具体求法的不可约表示矩阵的具体求法.为此目的，我们先对杨图中的每个杨盘作标号为此目的，我们先对杨图中的每个杨盘作标号,如用如用 来标记它们，即来标记它们，即 代表杨代表杨图图 中标号为中标号为i i的杨盘的杨盘.假设共有假设共有 个杨盘，则个杨盘，则对应于杨图对应于杨图 的不可约表示的不可约表示是是 维的，维的，矩阵元矩阵元 本讲稿第二十九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3030下脚标下脚标r r、s s是对应于杨图是对应于杨图 的诸杨盘的诸杨盘 的标的标号号.

28、根据置换群理论，群的不可约表示中相应于对根据置换群理论，群的不可约表示中相应于对换换 的矩阵元的矩阵元 由以下规则确定由以下规则确定:其中的其中的 代表将杨盘代表将杨盘 中的数字中的数字本讲稿第三十页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3131互换后得到的杨盘互换后得到的杨盘.为杨盘为杨盘 中的数字中的数字的的轴距轴距，计算轴距有一个简单的规则，即如果，计算轴距有一个简单的规则，即如果规定规定沿着杨盘向上或向右移动一格为沿着杨盘向上或向右移动一格为+1+1，向下或向左，向下或向左移动一格为移动一格为-1-1，则从，则从k-1k-1出发，沿着直角路

29、线到达出发，沿着直角路线到达k k总共经过的方格的代数和就是轴距总共经过的方格的代数和就是轴距.上述规则仅给出了两相邻数字对换的不可约表上述规则仅给出了两相邻数字对换的不可约表示的矩阵，利用下列递推关系示的矩阵，利用下列递推关系 就可将任一对换用相邻数字的对换表示出来，比就可将任一对换用相邻数字的对换表示出来，比如如本讲稿第三十一页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3232由于任一置换都可以分解为对换之积，这样只要知由于任一置换都可以分解为对换之积，这样只要知道了的所有相邻对换元素道了的所有相邻对换元素(k-1,k)(k-1,k)的表示矩阵的表

30、示矩阵 .就可以确定出就可以确定出 的任一元素的表示矩阵，从而的任一元素的表示矩阵，从而 群群的不可约表示也就完全确定了的不可约表示也就完全确定了.例例1:1:现在我们利用上述方法求出群现在我们利用上述方法求出群 的表的表示矩阵示矩阵.对于对于 群，其杨图与杨盘为：群，其杨图与杨盘为：本讲稿第三十二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3333所以不可约表示所以不可约表示 与与 都是一维的都是一维的.对于杨盘对于杨盘 ，故，故 ,对于对于 群，其杨图与杨盘为：群，其杨图与杨盘为：本讲稿第三十三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学

31、与计算科学学院数学与计算科学学院3434所以，不可约表示所以，不可约表示 与与 是一维的，而是一维的，而 是二是二维的维的.故得：故得：对于杨盘对于杨盘 ,再由关系再由关系(3)(3)知知:本讲稿第三十四页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3535对于对于 盘，盘，,故由故由(1)(1)式得式得:.:.对于对于 盘，盘，故由，故由(1)(1)式得式得:.:.因因 故由故由(1)(1)式得式得:这样这样本讲稿第三十五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3636对于对于 盘，盘，故由故由(1)(1)

32、式得式得:对于对于 盘，盘，故由故由(1)(1)式得式得:又又 故由故由(1)(1)式得式得:这样这样本讲稿第三十六页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3737再由上面的关系再由上面的关系(3)(3)可求解其它元素的表示可求解其它元素的表示,结果为结果为:由此可见，由此可见，群的各表示与群的各表示与2.42.4节例节例1 1求得的求得的群的不可约表示一一对应，其结果完全一样，这是群的不可约表示一一对应，其结果完全一样，这是显然的显然的.因为因为 群与群与 同构同构.本讲稿第三十七页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学

33、院数学与计算科学学院38383.4 群不可约表示的特征标群不可约表示的特征标 群的不可约表示的特征标称为它的群的不可约表示的特征标称为它的单纯特单纯特征标征标，它是类的函数，常用，它是类的函数，常用 来标记，这里的来标记，这里的右右上角上角 为为n n的一种配分的一种配分 ,用以标用以标记记 的不可约表示的不可约表示，右下脚右下脚 也是也是n n的一种配分的一种配分.用以标记用以标记 中的某一类中的某一类，按置换群，按置换群理论，理论，群相应于配分群相应于配分 的不可约表示的不可约表示 在在 类中的特征标为：类中的特征标为：上式求和上式求和i i是对将是对将 个连续格子添加到个连续格子添加到本

34、讲稿第三十八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院3939杨图 中的所有可能的方法进行的，而其中 为在每次添加中连续格子的“距”之和，而“距”为最长一列中的格子数减1.所谓连续格子是指处在杨图 同一行的格子，每一行的格子标号相同，且由上而下标号依次增大，如下图所示:本讲稿第三十九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4040将将 的格子添加到杨图的格子添加到杨图的的规则是：规则是：添加每一组数字相同的连续格子不许出添加每一组数字相同的连续格子不许出间断，添加的每一步都要使所得到的方格图为一杨间断，添

35、加的每一步都要使所得到的方格图为一杨图，且从上而下或从左而右看，数字必须是不减次图，且从上而下或从左而右看，数字必须是不减次序，每一步添加相同数字的格子必须形成那一步的序，每一步添加相同数字的格子必须形成那一步的杨图阶梯的一个连续段，所谓杨图的阶梯是由杨图杨图阶梯的一个连续段，所谓杨图的阶梯是由杨图右下方的边缘带上的格子组成右下方的边缘带上的格子组成.如杨图如杨图 的阶的阶梯是由下图中有阴影的格子所组成，即每一步应将梯是由下图中有阴影的格子所组成，即每一步应将数字添加到杨图的最外层数字添加到杨图的最外层.本讲稿第四十页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算

36、科学学院4141 例例1:1:各不可约表示的特征标由上节各不可约表示的特征标由上节(3.3(3.3节节)例例1 1的结果可以容易的得到，这里我们将用公式的结果可以容易的得到，这里我们将用公式(1)(1)求得其特征标求得其特征标.对于对于 对于对于本讲稿第四十一页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4242 对于对于本讲稿第四十二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院43433.5 的分支律的分支律 现在假设在某一组基矢下，相对于杨图现在假设在某一组基矢下，相对于杨图 群的不可约表示为群的不可约表示为

37、 ,如果用如果用 来作为来作为n-1n-1个符号个符号(1,2,n-1)(1,2,n-1)的置换群的表示时，它一般的置换群的表示时，它一般不再是不可约的了不再是不可约的了.适当适当地选取一组新基矢，即对地选取一组新基矢，即对 作一相似变换作一相似变换,我们可将其分块对角化，这样我们可将其分块对角化，这样其中各其中各 就构成就构成 的不可约表示，那么的不可约表示，那么是如何确定的呢？这就是分支律将要回答的问题是如何确定的呢？这就是分支律将要回答的问题.本讲稿第四十三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4444 分支律分支律:对于对于n n次杨图次

38、杨图 ，如果它的某一行的，如果它的某一行的格子数多于下一行的格子数，那么从这一行挪去一格子数多于下一行的格子数，那么从这一行挪去一个格子可得到一个个格子可得到一个n-1n-1次杨图次杨图 ，用这种方法得到，用这种方法得到的所有的所有n-1n-1次杨图就给出了次杨图就给出了 的不可约表示的不可约表示 中中 所包含的所包含的 各种不可约表示各种不可约表示 ，而且，而且 的每的每一个不可约表示只出现一次一个不可约表示只出现一次.如如 群的杨图群的杨图按分支律所述规则，可以从这按分支律所述规则，可以从这5 5个格子中分别挪去个格子中分别挪去一个格子，得到一个格子，得到 本讲稿第四十四页，共六十六页20

39、23/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4545只有这两种去格子的方法，而按照如下方法去格子只有这两种去格子的方法，而按照如下方法去格子是不允许的是不允许的一是因为去格子的行的格子数不多于它的下面一行一是因为去格子的行的格子数不多于它的下面一行,另外，去格子后的图不是杨图，因此由另外，去格子后的图不是杨图，因此由 群的杨群的杨图图 到到 群杨图的约化只能是群杨图的约化只能是 本讲稿第四十五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4646相应的表示有关系相应的表示有关系 例例1:1:在在3.33.3节例节例1 1，我们曾求

40、得，我们曾求得 群的不可群的不可约表示为：约表示为：对于对于 ，元素，元素(e)(e)与与(12)(12)的各不可约表示为：的各不可约表示为：本讲稿第四十六页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4747对于杨图对于杨图故故 亦即亦即对于杨图对于杨图故故 ，亦即，亦即本讲稿第四十七页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院4848对于杨图对于杨图 ，故，故亦即亦即所得结果与所得结果与3.33.3节例节例1 1的结果相符合的结果相符合.本讲稿第四十八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计

41、算科学学院数学与计算科学学院49493.6 SU(n)群的不可约表示群的不可约表示 本节将扼要地介绍杨图在特殊幺正群本节将扼要地介绍杨图在特殊幺正群SU(n)SU(n)表表示中的应用示中的应用.设有非奇异设有非奇异n n阶复矩阵阶复矩阵U(n)U(n)群群,如果它的元素如果它的元素 满足关系满足关系亦即亦即则称则称U(n)U(n)为幺正群为幺正群(Unitary Group),(Unitary Group),在在U(n)U(n)中中,行列行列式等于式等于1 1的元素的全体构成的群称为特殊幺正群的元素的全体构成的群称为特殊幺正群(Special Unitary Group),(Special U

42、nitary Group),记为记为SU(n),SU(n),即即本讲稿第四十九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院50501.杨图与杨图与SU(n)的不可约表示的不可约表示 SU(n)SU(n)群的不可约表示通过群的不可约表示通过n-1n-1个参数个参数来描述，这一组参数来描述，这一组参数 可用杨图表示出来，可用杨图表示出来，如图所示，为具体起见，图中取如图所示，为具体起见，图中取 、若这个杨图代表的是若这个杨图代表的是SU(7)SU(7)群的一个不可约表示，则群的一个不可约表示，则该表示应记为该表示应记为 本讲稿第五十页，共六十六页2023/

43、1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5151若代表的是若代表的是SU(6)SU(6)群的一个不可约表示，则该表示群的一个不可约表示，则该表示应记为：应记为：同理若代表的是同理若代表的是SU(5)SU(5)群的一个不可约表示，则该群的一个不可约表示，则该表示应记为：表示应记为：这时标有这时标有 的一列格子是多余的的一列格子是多余的.因为因为SU(5)SU(5)群的群的不可约表示有不可约表示有四个参数四个参数，因此最多只需四行格子，因此最多只需四行格子，这样多余的五行格子可以去掉，如下图所示这样多余的五行格子可以去掉，如下图所示本讲稿第五十一页，共六十六页2023/1/2

44、82023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5252 SU(n)SU(n)群各不可约表示的维数由下述公式求得群各不可约表示的维数由下述公式求得.SU(2)SU(2)群各不可约表示由一个参数群各不可约表示由一个参数 描述，描述，记为记为 ，其维数为：，其维数为：SU(3)SU(3)群的不可约表示由两个参数群的不可约表示由两个参数 、描描述，记为述，记为 ，其维数为，其维数为本讲稿第五十二页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5353 一般地，一般地，SU(n)SU(n)群的不可约表示由个群的不可约表示由个n-1n-1个参个参数描述，记为

45、数描述，记为 ，其维数为，其维数为 如：如：SU(4)SU(4)群不可约表示的维数为群不可约表示的维数为SU(5)SU(5)群不可约表示的维数为群不可约表示的维数为 本讲稿第五十三页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5454另简单地计算可得：另简单地计算可得：2.表示直积的分解表示直积的分解 现在我们来介绍一下如何用杨图将现在我们来介绍一下如何用杨图将SU(n)SU(n)的两的两个不可约表示的直积分解为不可约表示的直和的方个不可约表示的直积分解为不可约表示的直和的方法，也就是给出表示直积的法，也就是给出表示直积的克莱布施克莱布施戈登展开戈登展开

46、:本讲稿第五十四页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5555作出两个直积的不可约表示的杨图作出两个直积的不可约表示的杨图.例如，例如，SU(3)SU(3)群两表示的直积群两表示的直积 ，相应的杨图为：，相应的杨图为：选择其中的一个杨图作为选择其中的一个杨图作为基础图基础图，为了简单起见，为了简单起见，通常选择比较复杂（格子数较多者）的一个作为基通常选择比较复杂（格子数较多者）的一个作为基础图，保持基础图不变，然后将另一个图中的格子础图，保持基础图不变，然后将另一个图中的格子编上行号，第一行都填编上行号，第一行都填1 1，第二行都填，第二行都填2

47、 2，等等等等.然后将带行号然后将带行号1 1的格子按下述规则加到基础图上去的格子按下述规则加到基础图上去,作出一切可能扩大的杨图，再将带行号作出一切可能扩大的杨图，再将带行号2 2的格子按的格子按同样的规则加到已扩大了的杨图上去，同样的规则加到已扩大了的杨图上去，等等，等等，本讲稿第五十五页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5656一直耗尽所有格子为止一直耗尽所有格子为止.最后将所有可能扩大了的最后将所有可能扩大了的杨图加起来，就得到直积表示的分解杨图加起来，就得到直积表示的分解.拼图的规则是拼图的规则是:(1)(1)拼到基础图上同一行的格拼

48、到基础图上同一行的格子行号从左到右是不减的子行号从左到右是不减的.(2).(2)拼到基础图上同一拼到基础图上同一列的格子行号不能相同，同一列中的行号从上到下列的格子行号不能相同，同一列中的行号从上到下是增加的是增加的.(3).(3)拼出的每一个图必须是杨图拼出的每一个图必须是杨图,且总行且总行数不能超过数不能超过n.(4)n.(4)最后得到的杨图，从第一行开始最后得到的杨图，从第一行开始逐行由右向左读这些数字时，数字逐行由右向左读这些数字时，数字2 2不得出现在数不得出现在数字字1 1之前等等，而且数字之前等等，而且数字1 1出现出现k k次再出现次再出现2 2时，时，2 2出出现的次数不得大

49、于现的次数不得大于k k，以此类推，以此类推.例如两个例如两个1 1和两个和两个2 2，只能有，只能有11221122，12121212，而不能有，而不能有21122112，12211221等等等等.本讲稿第五十六页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5757 例例1:SU(3)1:SU(3)群的两个不可约表示的直积群的两个不可约表示的直积的杨图如图的杨图如图(1)(1)示，取第一个杨图为基础图，将第示，取第一个杨图为基础图，将第二个杨图的行编号得：二个杨图的行编号得：本讲稿第五十七页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学

50、学院数学与计算科学学院5858略去三个格子的多余列略去三个格子的多余列(不可约表示不可约表示 只有两个参只有两个参数故只需两行杨图数故只需两行杨图)，所以，所以这样这样上述亦可用维数简记为：上述亦可用维数简记为：本讲稿第五十八页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院5959 例例2:2:SU(3)SU(3)群的两个不可约表示的直积群的两个不可约表示的直积的杨图为的杨图为则则或或 SU(3)SU(3)群的两个不可约表示的直积群的两个不可约表示的直积本讲稿第五十九页，共六十六页2023/1/282023/1/28数学与计算科学学院数学与计算科学学院60