第六章测量误差PPT讲稿.ppt

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1、第六章测量误差第1页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类测量工作中我们可以发现，测量结果不可避免测量工作中我们可以发现，测量结果不可避免的的存在误差存在误差，比如：，比如：1 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。、对同一量多次观测，其观测值不相同。2 2、观测值之和不等于理论值：、观测值之和不等于理论值：三角形三角形 +180+180 闭合水准闭合水准 h0A AB BC C第2页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类v距离测量误差距离测量误差v角度测量误差角度测量误差v高程测量误差高程测量误差ABD往往D

2、返返理论上理论上：D D往往=D=D返返实测中实测中：D D往往 D D返返理论上理论上：A+B+C=180A+B+C=180 实测中实测中：A+B+C180A+B+C180A AB BC CP1P4P3P2h1h3h2h4理论上理论上：h1+h2+h3+h4=0实测中实测中：h1+h2+h3+h40第3页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类一、测量误差的定义一、测量误差的定义 观测值与其真实值（简称真值）之间的差异，称观测值与其真实值（简称真值）之间的差异，称为测量误差。为测量误差。（观测观测误差误差=观测值观测值-真值真值）式中：式中：代表观测值

3、代表观测值 ；代表真值；代表真值；就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。第4页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类二、测量误差产生的原因二、测量误差产生的原因等精度观测等精度观测：观测条件相同的情况下进行的观测。：观测条件相同的情况下进行的观测。不等精度观测不等精度观测：观测条件不相同的情况下进行的：观测条件不相同的情况下进行的 观测。观测。1.1.仪器误差仪器误差2.2.观测误差观测误差3.3.外界条件的影响外界条件的影响观测条件观

4、测条件第5页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法测量误差的分类及其处理方法 按照对观测结果影响的性质的不同，测量误差可按照对观测结果影响的性质的不同，测量误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种。分为粗差、系统误差和偶然误差三种。1 1、粗差、粗差粗差是一种大量级的观测误差，属于测量上的失误。粗差是一种大量级的观测误差，属于测量上的失误。产生原因产生原因：粗差产生的原因较多，主要是作业员的疏忽大粗差产生的原因较多，主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的，如大数被读错、读数被记录员记错、照意、失职而引起的，如大数被读错、读数被

5、记录员记错、照准了错误的目标等等。准了错误的目标等等。处理方法处理方法：含有粗差的观测值都不能使用。因此，一旦发现粗含有粗差的观测值都不能使用。因此，一旦发现粗差，该观测值必须舍弃或重测差，该观测值必须舍弃或重测。第6页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法测量误差的分类及其处理方法2 2、系统误差、系统误差定义定义：系统误差又称累积误差，是指在一定的观测条件下进：系统误差又称累积误差，是指在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差。差

6、。例如（例如（1 1）某钢尺的注记长度为）某钢尺的注记长度为30m30m，鉴定后，其实际长度为，鉴定后，其实际长度为30.003m30.003m，即每量一整尺段，就会产生，即每量一整尺段，就会产生0.003m0.003m的误差，这种误差的的误差，这种误差的数值和符号都是固定的，误差的大小与所量距离成正比。数值和符号都是固定的，误差的大小与所量距离成正比。（2 2）又如水准仪的视准轴与水准管轴不平行，就会使得观测时在水）又如水准仪的视准轴与水准管轴不平行，就会使得观测时在水准尺上读数会产生误差，这种误差的大小与水准尺至水准仪的距离成准尺上读数会产生误差，这种误差的大小与水准尺至水准仪的距离成正比

7、，也保持同一符号。正比，也保持同一符号。（3 3）定线误差。）定线误差。第7页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法测量误差的分类及其处理方法2 2、系统误差、系统误差产生原因产生原因：产生系统误差的原因有很多，主要是由于：产生系统误差的原因有很多，主要是由于使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。处理方法处理方法：（1 1）检校仪器）检校仪器 （2 2）采取合理的观测方法加以抵消或削弱）采取合理的观测方法加以抵消或削弱 （3 3）计算改正）计算改正 注意：系统误差具

8、有累积性，对测量成果影响较大。注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。第8页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类三、测量误差的分类及其处理方法测量误差的分类及其处理方法3 3、偶然误差、偶然误差定义定义：在一定的观测条件下进行一系列的观测，如果观测在一定的观测条件下进行一系列的观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性，即从表面现象看，误差误差的大小和符号均呈现偶然性，即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言具有一，但就大量误差的总体而言具有一定统计规律，定统计规律，这样的误差称为偶然误差。这样的

9、误差称为偶然误差。产生原因产生原因：产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者的估读误差，照准目标时的照准误控制的，如观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等。差等。粗差可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然粗差可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。误差是不可避免的，并且是消除不了的。第9页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类3 3、偶然误差、偶然误差例如：例如：1)、距离测量、距离测量 N No oD9.59.49.79.59.69.39.29.60.

10、1-0.20-0.10.20.3-0.11234567第10页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类3 3、偶然误差、偶然误差例例:2):2)读数误差读数误差(水准测量水准测量)0.858中丝读数：0.8590.860第11页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类3 3、偶然误差、偶然误差偶然误差的特性偶然误差的特性人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布表现出一定的统计规律。表现出一定的统计规律。1 1、三角形内角和例子、三角形内角和例子 在某测区，在相同的

11、观测条件下，独立地观测在某测区，在相同的观测条件下，独立地观测358358个平个平面三角形的全部内角，由于观测值含有误差，因此，面三角形的全部内角，由于观测值含有误差，因此，每个三角形内角之和一般不会等于其真值每个三角形内角之和一般不会等于其真值180180度。各三度。各三角形内角和的真误差为：角形内角和的真误差为：第12页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类第13页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类v频率直方图频率直方图 根据统计结果的数据画出如下的直方图。横轴表示误根据统计结果的数据画出如下的直方图。

12、横轴表示误差的数值，纵轴为各区间内误差出现的频率除以区间差的数值，纵轴为各区间内误差出现的频率除以区间的间隔，即的间隔，即 。图中有斜线的长方形图中有斜线的长方形面积就代表误差出现面积就代表误差出现在某区间的频率。在某区间的频率。第14页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类v误差分布图误差分布图 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的分布。当误差个数的分布。当误差个数 ，同时无限缩小误差区间，上图，同时无限缩小误差区间，上图中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线中的各矩形的顶边

13、折线就成为一条光滑的连续曲线。这条曲线称为误差分布曲线也称为这条曲线称为误差分布曲线也称为正态分布曲线。曲线上任意一点的正态分布曲线。曲线上任意一点的纵坐标纵坐标y y均为横坐标均为横坐标 的函数，其的函数，其函数形式为函数形式为：式中式中 为观测值的标准差，其平方为观测值的标准差，其平方称为方差，可以反映观测精度的高称为方差，可以反映观测精度的高低。低。第15页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类v偶然误差的特性偶然误差的特性统计大量的试验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的试验结果，表明偶然误差具有如下特性：（1 1）在一定观测条件下的有限

14、个观测中，偶然误差的绝对值）在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；【有限性】不会超过一定的限值；【有限性】（2 2）绝对值小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现）绝对值小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；【小误差的密集性】的频率小；【小误差的密集性】（3 3）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。【对称）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。【对称性】性】（4 4）偶然误差的平均值随观测次数的无限增多而趋近于）偶然误差的平均值随观测次数的无限增多而趋近于0 0，即即 【抵偿性】偶然误差最本质的统计特性。【抵偿性】偶然误差最本质的统计特性

15、。第16页，共45页，编辑于2022年，星期三6.1 6.1 测量误差的分类测量误差的分类v误差处理的原则：误差处理的原则：1 1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。观测。2 2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。抵消和削弱。3 3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。据减少其影响。第17页，共45页，编辑于2022年，星期三一、精度一、精度精度就是观测成果的精确程度，是指对某精度就是观测成果的精确程度，是指对某一量的多次观测中，其

16、误差分布的密集或一量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。离散的程度。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准第18页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准二、评定精度的标准二、评定精度的标准1、中误差、中误差定义定义 在相同条件下，对某量（真值为在相同条件下，对某量（真值为X X）进行）进行n n次独次独立观测，观测值立观测，观测值l l1 1，l l2 2，l ln n，各观测值的真误各观测值的真误差差1 1，2 2，n n，则中误差，则中误差m m的定义为：的定义为：式中式中第19页，共45页，

17、编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准1、中误差中误差中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观测值精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散测值精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散程度。中误差程度。中误差m m值小，表明误差的分布较为密集，各值小，表明误差的分布较为密集，各观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之，观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之，中误差中误差m m值较大，表明误差的分布较为离散，观测值值较大，表明误差的分布较为离散，观测值之间的差异也大，这组观测的精度就低。之间的差异也大，

18、这组观测的精度就低。说明：中误差越小，观测精度越高。说明：中误差越小，观测精度越高。第20页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准1、中误差中误差几几点点说说明明：（1 1）各各观观测测值值必必须须在在相相同同的的观观测测条条件件下下进进行行的观测；的观测；（2 2）观观测测值值的的真真值值必必须须可可知知，真真误误差差才才能能求求出；出；（3 3）前面的）前面的“”“”号不能省略。号不能省略。此外，作为识别观测值优劣的精度标准，常把中误此外，作为识别观测值优劣的精度标准，常把中误差差m m做标识，将做标识，将m m置于观测值置于观测值L L数字之后，

19、即数字之后，即LmLm，表示该观测值所达到的精度。表示该观测值所达到的精度。第21页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准1、中误差中误差例例1：设有两组观测值，各组均为同精度观测，它们设有两组观测值，各组均为同精度观测，它们的真误差分别为：的真误差分别为：第一组：第一组：；第二组：；第二组：分别求出两组观测值的中误差。分别求出两组观测值的中误差。解：根据公式求得解：根据公式求得 由此可知，第一组观测值比第二组观测值的精度高。由此可知，第一组观测值比第二组观测值的精度高。第22页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度

20、的标准2、容许误差（极限误差）容许误差（极限误差）定义定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。值就是容许（极限）误差。在等精度观测某量的一组误差中，绝对值大于两倍在等精度观测某量的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的概率为中误差的偶然误差，其出现的概率为4.54.5，大于三，大于三倍中误差的偶然误差，其出现的概率为倍中误差的偶然误差，其出现的概率为0.3%0.3%。因此，。因此，测量中通常取测量中通常取2 2倍或倍或3 3

21、倍中误差作为偶然误差的容许误倍中误差作为偶然误差的容许误差，即差，即容容=2=2m m 或或容容=3=3m m。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限区别误差和错误的界限。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。第23页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准3 3、相对（中）误差、相对（中）误差定义：定义：相对误差相对误差K K 是中误差的绝对值是中误差的绝对值 m m 与相应观测与相应观测值值D D 之比，通常以分母为之比，通常以分母为1 1的分式的分式 来表示，称其为相来表示，称其为相对（中）误差。

22、即对（中）误差。即:一一一一般般般般情情情情况况况况 :角角度度、高高差差的的误误差差用用m m表表示示，量量距距误误差差用用K K表表示。示。第24页，共45页，编辑于2022年，星期三6.2 6.2 衡量精度的标准衡量精度的标准3 3、相对（中）误差、相对（中）误差例 已知两段距离长度和中误差分别为D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：显然，第二段的相对中误差较小，其精度较高。显然，第二段的相对中误差较小，其精度较高。第25页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 概念概念 误差传播定律：阐述观测值的中误

23、差与观测值误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差之间关系的定律。函数中误差之间关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数第26页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律一、线性函数的误差传播定律一、线性函数的误差传播定律设线性函数为：设线性函数为：式中式中 为独立的直接观测值，为独立的直接观测值，为常数，为常数，相应的观测值的中误差为相应的观测值的中误差为 ，则，则Z Z的中误差公式为的中误差公式为推导过程：推导过程：由于误差的存在有：由于误差的存在有：所以有：所以有：第27页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传

24、播定律误差传播定律一、线性函数的误差传播定律一、线性函数的误差传播定律假设对假设对 进行了进行了n n次独立观测则次独立观测则有：有：将上述将上述n n个式子平方求和除以个式子平方求和除以n n得：得：由偶然误差的第四特性知上式最后一项为由偶然误差的第四特性知上式最后一项为0 0。根据中。根据中误差公式则有误差公式则有 第28页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律一、线性函数的误差传播定律一、线性函数的误差传播定律1 1、和差函数和差函数根据线性函数中误差公式可得：根据线性函数中误差公式可得：当观测值为等精度观测时当观测值为等精度观测时则上式变为则上式变

25、为 ，式中，式中m m为单位观测中误差。为单位观测中误差。2 2、倍数函数、倍数函数 Z=KXZ=KX 根据线性函数中误差公式可得：根据线性函数中误差公式可得：第29页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律二、一般函数的误差传播定律二、一般函数的误差传播定律设非线性函数的一般式为：设非线性函数的一般式为：式中：式中：为独立观测值；为独立观测值；为独立观测为独立观测值的中误差。值的中误差。将函数取全微分，并用将函数取全微分，并用“”“”替代替代“d”“d”，得，得按线性函数的误差传播公式可得：按线性函数的误差传播公式可得：第30页，共45页，编辑于2022年

26、，星期三误差传播定律的几个主要公式：误差传播定律的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数返回6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律第31页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律三、运用误差传播定律的步骤三、运用误差传播定律的步骤v求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：1.1.列出观测值函数的表达式：列出观测值函数的表达式：2.2.对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与与观观测测值值真真误误差差之间的关系式：之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3

27、 3、根据误差传播定率计算观测值函数中误差：、根据误差传播定率计算观测值函数中误差：第32页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律三、运用误差传播定律的步骤三、运用误差传播定律的步骤注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。必须是独立观测值。例例11已已知知：测测量量斜斜边边D=50.000.05mD=50.000.05m，测测得得倾倾角角=15000030=15000030求：水平距离求：水平距离D D的中误差的中误差解：解：1.1.函数式函数式 2.2.全微分全微分 3.3.求中误差求中误

28、差第33页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 例例22用测回法测角，如已知每一方向观测值的中误用测回法测角，如已知每一方向观测值的中误差为差为 ，求一测回角值，求一测回角值 的中误差。的中误差。设设 为照准目为照准目标方向的观测值，一个测回的角值等于盘左、盘右标方向的观测值，一个测回的角值等于盘左、盘右两个半测回角值的平均值。两个半测回角值的平均值。解：解：1.1.函数式函数式 2 2、由于是线性函数直接带误差传播公式得、由于是线性函数直接带误差传播公式得第34页，共45页，编辑于2022年，星期三6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律 例例33对一

29、个三角形观测了其中的两个角对一个三角形观测了其中的两个角 ，测角，测角中误差分别为中误差分别为 ，求另一个角，求另一个角 的中的中误差误差 。解：解：1.1.求函数式求函数式 2 2、由于是线性函数直接带误差传播公式得、由于是线性函数直接带误差传播公式得第35页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 在实际工作中，除少数理论值的真值已知外，一般在实际工作中，除少数理论值的真值已知外，一般观测值的真值，由于误差的影响，很难测定。为了观测值的真值，由于误差的影响，很难测定。为了提高观测值的精度，测量上通常利用有限的多余观

30、提高观测值的精度，测量上通常利用有限的多余观测，计算平均值来代替观测值的真值，用改正数测，计算平均值来代替观测值的真值，用改正数 代替真误差代替真误差 ，以解决实际问题。，以解决实际问题。一、一、算术平均值算术平均值(最或然值最或然值)设对某量作了设对某量作了n n次等精度的独立观测，观测值为次等精度的独立观测，观测值为l1、l2ln 则算术平均值为：则算术平均值为：第36页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 一、一、算术平均值算术平均值(最或然值最或然值)利用偶然误差的特性，可以证明利用偶然误差的特性，可以证明

31、算术平均值比组内算术平均值比组内的任一观测值更为接近于真值的任一观测值更为接近于真值。证明：证明：设观测量的真值为设观测量的真值为X X，则观测值的真误差为，则观测值的真误差为 （i=1i=1，2 2，n n）将各式相加得将各式相加得即即 故故 即即第37页，共45页，编辑于2022年，星期三一、一、算术平均值算术平均值(最或然值最或然值)由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即即说说明明n n趋趋近近无无穷穷大大时时，算算术术平平均均值值即即为为真真值值。如如果果n n为为有有限限次次数，数，为一微小量，算术平均值为一微小量，算术平均值x

32、 x仍较各观测值接近于真值。仍较各观测值接近于真值。我们将最接近于真值的近似值称为最或然值或称最可靠值。我们将最接近于真值的近似值称为最或然值或称最可靠值。6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 第38页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 二、二、观测值改正数观测值改正数观测量的最或然值与观测值之差，称为观测值改正观测量的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。当为等精度观测时，算术平均值数。当为等精度观测时，算术平均值x x与观测值与观测值 之之差，即为改正数差，即为改

33、正数V V，有：，有：将上式两端相加得：将上式两端相加得：（因为（因为 ）说明观测值改正数有一个重要特性，即在等精度观说明观测值改正数有一个重要特性，即在等精度观测条件下，观测值改正数的总和为零。测条件下，观测值改正数的总和为零。第39页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差因此实际工作中通常采用因此实际工作中通常采用观测值的改正数计算中误差观测值的改正数计算中误差证明：证明：前提条件：观测值真值前提条件：观测值真值X X已知已知前提条件：观测值真

34、值前提条件：观测值真值X X未知，算术平均值未知，算术平均值x x已知已知第40页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差证明如下：证明如下：由真误差定义有由真误差定义有 （i=1i=1，2 2，n n）由改正数定义有由改正数定义有 （i=1i=1，2 2，n n）两式相加有：两式相加有：令令 则则 （1）式）式将（将（1）式两端各自平方，并求其和，则）式两端各自平方，并求其和，则 考虑到考虑到 故有故有第41页，共45页，编辑于2022年，星期三6

35、.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差证明续：证明续：又因为又因为故故（PQ）第42页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差证明续：证明续：由于由于 为偶然误差，它们的非自为偶然误差，它们的非自乘积乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即的特性，即 因此因此 代入式代入式 中则有：中则有：即即第4

36、3页，共45页，编辑于2022年，星期三6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 四、四、算术平均值的中误差算术平均值的中误差M M设对某量进行设对某量进行n n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为 ，中误差，中误差为为m m，推导算术平均值中误差。，推导算术平均值中误差。推导：因为推导：因为按误差传播公式可得算术平均值的中误差为按误差传播公式可得算术平均值的中误差为 故故 第44页，共45页，编辑于2022年，星期三例题：设用经纬仪测量某个角例题：设用经纬仪测量某个角6 6测回，观测值列于表中测回，观测值列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值算术平均值x x中误差为中误差为：返回6.4 6.4 同精度观测的算术平均值及其中误差同精度观测的算术平均值及其中误差 第45页，共45页，编辑于2022年，星期三