差分方程实验优秀PPT.ppt

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1、差分方程实验你现在浏览的是第一页，共29页4.2 日常生活中的经济问题日常生活中的经济问题银行存款与利率银行存款与利率银行存款与利率银行存款与利率 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为元的存款账户，银行的年利率为7%.用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：每年的存款额：a0,a1,a2,a3,an,设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an,因此存款问题的数学模型是：因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,你现在浏

2、览的是第二页，共29页家庭教育基金家庭教育基金家庭教育基金家庭教育基金 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元元作为家庭教育基金作为家庭教育基金.若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总年后教育基金总额的表达式额的表达式.预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的费用为岁入大学时所需的费用为30000元，按年利元，按年利率率10%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元计算，小

3、张夫妇每年应向银行存入多少元?设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利率元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,你现在浏览的是第三页，共29页抵押贷款抵押贷款抵押贷款抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元万元.他们已经筹集他们已经筹集4万元，万元，另外另外6万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款.若贷款月利率为若贷款月利率为1%，还贷期限为，还贷期限为25年，年，问小李夫妇每月要还多少钱？

4、问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠款个月后的欠款额为额为an，则，则 a0=60000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,你现在浏览的是第四页，共29页分期付款分期付款分期付款分期付款 小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价一台售价8000元元的电脑，可分的电脑，可分36个月付款，每月付个月付款，每月付300元即可元即可.同时他收到了银行提同时他收到了银行提供消费贷款的消息：供消费贷款

5、的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？款？经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第设第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,贷款模型贷款模型 a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,你现在浏览的是第五页，共29页一阶线性差分方程一阶线性差分方程一阶线性差分方程一阶线性

6、差分方程 在上述模型中，给出了在上述模型中，给出了an+1与与an之间的递推公式之间的递推公式.将它们写成统一将它们写成统一的形式：的形式：a0=c,an+1=an+b,n=0,1,2,3,称此类递推关系为称此类递推关系为一阶线性差分方程一阶线性差分方程一阶线性差分方程一阶线性差分方程.当当b=0时称为齐次差分方程，时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程否则称为非齐次差分方程.定义定义定义定义1 1 对任意数列对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定义如下：定义如下：a1=a2-a1,a2=a3-a2,an=an+1-an,定义定义定义定义2 2 对数列对数列A=a1,

7、a2,an,，其一阶差分的差分称为二阶差，其一阶差分的差分称为二阶差分分,记为记为 2A=(A).即：即：2an=an+1-an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义一般地，可以定义n阶差分阶差分.你现在浏览的是第六页，共29页 例例1 用计算机计算存款模型的各阶差分用计算机计算存款模型的各阶差分.(*首先计算首先计算20年内的存款清单年内的存款清单*)r=0.07;a0=1000;an_:=(1+r)an-1;money1=Tablen,an,n,0,20;TableFormJoin年份年份,存款额存款额,money1(*其次计算各阶差分其

8、次计算各阶差分*)dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan;d3an_:=d2an+1-d2an;diff=Tablen,an,dan,d2an,d3an,n,0,9;TableFormJoinN,An,Dan,D2an,D3an,diff dif1=Transposediff;TableFormdif13/dif12,dif14/dif13,dif15/dif14你现在浏览的是第七页，共29页差分方程差分方程差分方程差分方程 a an n=b=b的解的解的解的解 由由 an+1-an=b,n=0,1,2,得得 an-a0=n b.如果如果a0=c,则有则有 an=n b+

9、c.一般地一般地,差分方程差分方程 k an=b 的解是的解是:an=ck nk+ck-1nk-1+c1n+c0,其中其中 ck=b/k!.验证如下：验证如下：an_:=c4n4+c3n3+c2n2+c1n+c0;dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan;d3an_:=d2an+1-d2an;d4an_:=d3an+1-d3an;d3an/Simplifyd4an/Simplify你现在浏览的是第八页，共29页差分方程差分方程差分方程差分方程 a an+1n+1=a an n+b+b的解的解的解的解 定理定理定理定理1 1 一阶线性差分方程一阶线性差分方程 an+1=an+

10、b 的通解是：的通解是：定理定理定理定理2 2 对一阶线性差分方程对一阶线性差分方程 an+1=an+b,若若|1,则则 an逐渐远离平衡解逐渐远离平衡解 b/(1-)(发散型不动点发散型不动点).你现在浏览的是第九页，共29页家庭教育基金模型家庭教育基金模型家庭教育基金模型家庭教育基金模型 由由 a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,得通解得通解:将将 a0=x,=1+r,b=x 代入代入,得得 c=x(1+r)/r,因此方程的特解是因此方程的特解是:将将 a18=30000,r=0.1 代入计算出代入计算出 x=586.41.你现在浏览的是第十页，共29页购房抵押贷款

11、模型购房抵押贷款模型购房抵押贷款模型购房抵押贷款模型 由由 a0=60000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,将将 =1+r,b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:若在第若在第N个月还清贷款，令个月还清贷款，令 aN=0,得得:将将 a0=60000,r=0.01,N=25*12=300 代入计算出代入计算出 x=631.93.你现在浏览的是第十一页，共29页分期付款模型分期付款模型分期付款模型分期付款模型 若小王采取分期付款方式，每月要付若小王采取分期付款方式，每月要付300元元.如果采用贷款方式，类如果采用贷款方式，类似于上一模型，将似于上一模型，将 a0=80

12、00,r=0.15/12,N=36 代入计算出代入计算出 x=277.32.比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。你现在浏览的是第十二页，共29页4.3 Fibonacci 数列数列问题问题问题问题 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘书中记中记载着这样一个有趣的问题：载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少若不计兔子的死亡

13、数，问一年之后共有多少对兔子？对兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 你现在浏览的是第十三页，共29页 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满满足下列递推关系：足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用列，在自然科学和

14、数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2.钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3.树的分枝树的分枝 4.杨辉三角形杨辉三角形你现在浏览的是第十四页，共29页观察观察观察观察FibonacciFibonacci数列数列数列数列(*计算计算Fibonacci数列的前数列的前20项，并作图项，并作图*)F0=F1=1;Fn_:=Fn-1+Fn-2;fib=TableFi,i,0,20 tu1=ListPlotfib,PlotStyle-PointSize0.018;(*取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线取对数后再观察，可以发现图像近似一

15、条直线.*)lgf=Logfib;tu2=ListPlotlgf,PlotStyle-PointSize0.018;(*使用线性函数对数据进行拟合使用线性函数对数据进行拟合*)fx_=Fitlgf,1,x,x tu3=Plotfx,x,0,21,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showtu3,tu2 通过计算可知，通过计算可知，fn 0.465577 e 0.478438n.你现在浏览的是第十五页，共29页Fibonacci Fibonacci 数列的通项公式数列的通项公式数列的通项公式数列的通项公式 Fibonacci 数列满足递推关系数列满足递推关系 fn+2=fn+1+f

16、n，称为二阶线性差分方，称为二阶线性差分方程程.通过前面的计算，可以猜测通过前面的计算，可以猜测 fn 具有指数形式具有指数形式.不妨设不妨设 fn=n,代入差分方程，得代入差分方程，得 2-1=0.其解记为其解记为 1,2.得到差分方程的通解为得到差分方程的通解为:fn=C1 1n+C2 2n.r=Solvex2-x-1=0,x;a=x/.r1;b=x/.r2;F1n_:=c1 an+c2 bn;cc=SolveF10=1,F11=1,c1,c2/Simplify F1n/.cc1/Simplify你现在浏览的是第十六页，共29页生成函数生成函数生成函数生成函数 对给定数列对给定数列a0,a

17、1,an,，以，以an为系数构造一个形式幂级数：为系数构造一个形式幂级数：G(x)=a0+a1x+a2x2+an xn+称为数列称为数列an的的生成函数生成函数生成函数生成函数(也称为也称为母函数母函数母函数母函数).例例例例1 1.有限数列有限数列 的生成函数是的生成函数是 G(x)=(1+x)n.例例例例2 2.无穷数列无穷数列 的生成函数是的生成函数是 G(x)=ex.例例例例3 3.以以G(x)=为生成函数的数列是为生成函数的数列是an=2n-1.你现在浏览的是第十七页，共29页Fibonacci Fibonacci 数列的生成函数数列的生成函数数列的生成函数数列的生成函数 设设Fib

18、onacci 数列的生成函数是数列的生成函数是:F(x)=f0+f1x+f2x2+fn xn+,其中其中 fn+2=fn+1+fn.由由 ，得得 .从而得从而得 .再由再由 f0=f1=1,得得:你现在浏览的是第十八页，共29页4.5 分叉与混沌分叉与混沌Logistic Logistic 方程方程方程方程 在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复杂在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复杂.例例如在池塘内，环境可供如在池塘内，环境可供1000条鱼生存条鱼生存.在鱼的数量远远低于此数时，在鱼的数量远远低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长鱼群的增长接近于指数增长.但当鱼的数量

19、接近生存限时，由于生但当鱼的数量接近生存限时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢，几乎停止增长态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢，几乎停止增长.如果鱼群如果鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增长数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增长.这种现象可以用这种现象可以用logistic方程进行刻画方程进行刻画.pn+1-pn=k pn(N-pn)你现在浏览的是第十九页，共29页 例例例例1 1 池塘中鱼的数量满足差分方程池塘中鱼的数量满足差分方程 pn+1-pn=0.001 pn(1000-pn)选择不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势选择不同的初值，观察鱼群数量的

20、变化趋势.px_:=2x-0.001x2;picta_:=Moduledata1,data1=NestListp,a,30;ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict0;pict1;pict500;pict1000;pict1500;你现在浏览的是第二十页，共29页 例例例例2 2 学校有两名同学在星期一返校时患了流感，假设流感的传染率为学校有两名同学在星期一返校时患了流感，假设流感的传染率为0.002，问两周之后全校，问两周之后全校400名学生中会有多少人感染过流感？名学生中会有多少人感染过流感？记记 an 为到第为到第

21、n 天时感染过流感的学生人数天时感染过流感的学生人数.假定流感患者的增加速假定流感患者的增加速度与流感患者同尚未感染流感的接触次数度与流感患者同尚未感染流感的接触次数an(400-an)成正比成正比.因此，因此，an满足满足logistic方程方程 an+1-an=0.002 an(400-an)p1x_:=x+0.002x(400-x);pict1a_:=Moduledata1,data1=NestListp1,a,14;ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict12;你现在浏览的是第二十一页，共29页Logistic

22、Logistic 方程的迭代方程的迭代方程的迭代方程的迭代 logistic方程是非线性方程，其标准形式为方程是非线性方程，其标准形式为:an+1=r an(1-an),下面通过实验观察迭代数列的收敛性下面通过实验观察迭代数列的收敛性.logisticr_,a_,n_:=Modulep,data,tu1,tu2,px_:=r x(1-x);data=NestListp,a,n;tu1=ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.018,DisplayFunction-Identity;tu2=ListPlotdata,PlotJoined-True,PlotStyle-

23、RGBColor0,0,1,DisplayFunction-Identity;Showtu1,tu2,DisplayFunction-$DisplayFunction;你现在浏览的是第二十二页，共29页(*初值初值 r=0.7,a0=0.2*)logistic0.7,0.2,30;容易看出，迭代数列单调收敛于容易看出，迭代数列单调收敛于0.(*初值初值 r=2.9,a0=0.2*)logistic2.9,0.2,30;迭代数列上下振荡，趋向于不动点迭代数列上下振荡，趋向于不动点(r-1)/r.(*初值初值 r=3.4,a0=0.2*)logistic3.4,0.2,30;经过一段时间的调整，迭

24、代数列开始接近在经过一段时间的调整，迭代数列开始接近在0.42和和0.82之间振荡之间振荡.这类振荡称为这类振荡称为2-2-循环循环循环循环.你现在浏览的是第二十三页，共29页(*初值初值 r=3.55,a0=0.2*)logistic3.55,0.2,30;出现了周期为出现了周期为4的振荡，称为的振荡，称为4-4-循环循环循环循环.通过以上的观察可以发现，当参数通过以上的观察可以发现，当参数 r 变化时，相应的迭代数列从收敛变化时，相应的迭代数列从收敛到唯一的不动点到唯一的不动点(1-循环循环)到到2-循环再到循环再到4-循环，这样的分裂行为称为循环，这样的分裂行为称为分分分分叉叉叉叉(bi

25、furcation)(bifurcation).(*初值初值 r=3.7,a0=0.2*)logistic3.7,0.2,30;此时没有稳定的周期性此时没有稳定的周期性.迭代数列在区间迭代数列在区间(0,1)内振荡，而且表现出内振荡，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，这种状态称为对初始条件非常敏感的依赖性，这种状态称为混沌混沌混沌混沌(chaos)(chaos).你现在浏览的是第二十四页，共29页Feigenbaum Feigenbaum 图图图图 设设 f(x)是定义在实数域上的实值函数，如果存在是定义在实数域上的实值函数，如果存在 x*，使得，使得 f(x*)=x*，则称，则称 x*为

26、为 f(x)不动点不动点不动点不动点.如果所有附近的点在迭代过程中如果所有附近的点在迭代过程中都趋于某个不动点，则称该不动点为都趋于某个不动点，则称该不动点为吸引点吸引点吸引点吸引点，或称为，或称为稳定点稳定点稳定点稳定点；如；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则称该项点为果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则称该项点为排斥点排斥点排斥点排斥点(不不稳定点稳定点).如果如果 f(a1)=a2,f(a2)=a3,f(ak)=a1,并且并且 aj a1,j=2,3,k,则则a1,a2,ak 构成一个构成一个k-k-循环循环循环循环.a1称为称为k-k-周期点周期点周期点周期点，a1,a

27、2,ak 称称为一个为一个k-k-周期轨道周期轨道周期轨道周期轨道.为了观察为了观察 r 对迭代格式对迭代格式 an+1=r an(1-an)的影响，将区间的影响，将区间(0,4以步以步长长 r 离散化离散化.对每个离散的对每个离散的 r 值进行迭代，忽略前值进行迭代，忽略前50个迭代值，把个迭代值，把点点(r,a51),(r,a52),(r,a100)显示在坐标平面上显示在坐标平面上.这样形成的图形称为这样形成的图形称为FeigenbaumFeigenbaum图图图图,它反映了混沌与分叉的基本特性它反映了混沌与分叉的基本特性.你现在浏览的是第二十五页，共29页 Feign_,x0_:=Mod

28、uleplist=,a,i,temp,pilist=,Fora=1,a=n,a+,temp=x0;plist=;Fori=1,i=50,i+,temp=4*a*temp(1-temp)/n;Fori=51,i RGBColor1,0,0,PointSize0.008,DisplayFunction-Identity;Showpilist,DisplayFunction-$DisplayFunction;Feig500,0.2;你现在浏览的是第二十六页，共29页练习二练习二练习二练习二 对迭代格式对迭代格式 an+1=4 an(1-an),n=1,2,使用初值使用初值0.21进行迭代，记录前进行

29、迭代，记录前100次的迭代数据次的迭代数据.把把0,1区间十等区间十等分，统计迭代数列中落在各个小区间内的项数，做出统计表分，统计迭代数列中落在各个小区间内的项数，做出统计表.迭代数迭代数列在列在0,1区间内分布均匀吗？任取区间区间内分布均匀吗？任取区间(0,1)内的一些初值重复这一实内的一些初值重复这一实验，总结实验结果验，总结实验结果.对迭代格式对迭代格式 an+1=3.45 an(1-an),n=1,2,重复上述实验，实验结果有区别吗？你能解释这个现象吗？重复上述实验，实验结果有区别吗？你能解释这个现象吗？你现在浏览的是第二十七页，共29页 statisticr_,a_,n_:=Modu

30、lep,data,i,j,count,x,head,body,px_:=r x(1-x);data=NestListp,a,n;head=;body=;Forj=0,j10,j+,countj=0;AppendTohead,Nj/10;Fori=2,i=Lengthdata,i+,x=Floor10datai;countx+;Forj=0,jcol1,col2;ll=Linea,0,a,pa;Dob=pa;c=pb;ll=Appendll,Linea,b,b,b,Lineb,b,b,c,Lineb,c,c,c,Linec,c,c,pc;a=c,k,1,n;g1=Showg0,Graphicsll iterpict0.7,0.2,5;iterpict2.9,0.2,5;iterpict3.4,0.2,5;iterpict3.55,0.2,5;iterpict3.7,0.2,5你现在浏览的是第二十九页，共29页