材料力学杆件变形分析优秀PPT.ppt

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1、材料力学杆件变形分析你现在浏览的是第一页，共52页第一节第一节 杆件轴向拉压变形杆件轴向拉压变形第二节第二节 圆轴扭转变形圆轴扭转变形第三节第三节 积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形第四节第四节 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施总结与讨论总结与讨论你现在浏览的是第二页，共52页 杆件在载荷作用下都将发生杆件在载荷作用下都将发生变形变形（deformationdeformation）。在有些结）。在有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工

2、程中使用的传动轴、车使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方件的变形，还是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲法。本章将具体讨论杆

3、件轴向拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。你现在浏览的是第三页，共52页第一节第一节 杆件轴向拉压变形杆件轴向拉压变形 当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，杆件沿轴线方向的变形，称为杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形轴向变形（axial deformationaxial deformation）；）；垂直于轴线方向的变形

4、，称为垂直于轴线方向的变形，称为横向变形横向变形（lateral lateral deformationdeformation）。）。1 1拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压杆的轴向变形与胡克定律 实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截面的面积为面的面积为A，原长为，原长为l，在轴向拉力，在轴向拉力F 作用下产生变形，如图作用下产生变形，如图4-14-1所示，所示，变形后杆长为变形后杆长为l1 1，则杆在轴线方向的则杆在轴线方向的

5、伸长量为伸长量为 你现在浏览的是第四页，共52页 l是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即即轴向线应变轴向线应变（axial strainaxial strain）为）为 其中其中为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压为

6、杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压缩时为负。缩时为负。实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定范实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以得到杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以得到杆件变形的计算公式为杆件变形的计算公式为 你现在浏览的是第五页，共52页 上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡胡克定律克定律（HookeHoo

7、kes laws law），适用于等截面常轴力拉压杆。在），适用于等截面常轴力拉压杆。在比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横截面面积成反比，乘积截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的称为拉压杆的抗拉压刚度抗拉压刚度（tensile or compression rigiditytensile or compression rigidity）。显然，对于给定长）。显然，对于给定长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚度度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚度EA越大，杆的轴向变形就越小。越大，杆的轴向变形就

8、越小。对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉压杆，如下图所示，其轴向变形为压杆，如下图所示，其轴向变形为 你现在浏览的是第六页，共52页 对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向变形对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向变形量为量为 将式将式 等号两边同除以杆长，即等号两边同除以杆长，即得到得到 或或 上式为胡克定律的另一种表达式。上式为胡克定律的另一种表达式。你现在浏览的是第七页，共52页2 2拉压杆的横向变形与泊松比拉压杆的横向变形与泊松比 如图所示，设杆件的原宽度为如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用

9、下，宽度变，在轴向拉力作用下，宽度变为为b1 1，横向变形量为，横向变形量为b=b1 1-b，则横向应变为，则横向应变为 显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则为负值，即轴为负值，即轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与横向的正应变的符缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与横向的正应变的符号是相反的。号是相反的。你现在浏览的是第八页，共52页通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正应变通过实验发现，当材料在弹性范围

10、内时，拉压杆的轴向正应变与与横向正应变横向正应变成正比。用成正比。用来表示横向正应变来表示横向正应变与轴向正应变与轴向正应变之比的绝对值，有之比的绝对值，有 或或 式中，比例常数式中，比例常数称为泊松比（称为泊松比（Poisson radioPoisson radio）。在比例极限）。在比例极限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的泊松内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的泊松比，大多数各向同性材料的泊松比比，大多数各向同性材料的泊松比你现在浏览的是第九页，共52页例例4-1 4-1 圆截面杆如图圆截面杆如图4-34-3所示，已知所示，已知F=4=4kN，l1 1=l2

11、 2=100mm=100mm，弹，弹性模量性模量E=200GPa=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过过0.10mm0.10mm，即许用轴向变形，即许用轴向变形 l=0.10mm=0.10mm。试确定杆的直径。试确定杆的直径d。【解】（【解】（1 1）变形分析。）变形分析。AB段和段和BC段的轴力分别为段的轴力分别为 FN1=2F FN2=F 杆杆AC的总伸长为的总伸长为 你现在浏览的是第十页，共52页（2 2）直径设计。）直径设计。按照设计要求，总伸长按照设计要求，总伸长l不得超过许用变形不得超过许用变形 l，即要求，即要求 例例4-1

12、4-1 圆截面杆如图圆截面杆如图4-34-3所示，已知所示，已知F=4=4kN，l1 1=l2 2=100mm=100mm，弹性，弹性模量模量E=200GPa=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm0.10mm，即许用轴向变形，即许用轴向变形 l=0.10mm=0.10mm。试确定杆的直径。试确定杆的直径d。由此得由此得 可以取直径为可以取直径为 你现在浏览的是第十一页，共52页3 3桁架的节点位移桁架的节点位移 桁架的变形通常用节点的桁架的变形通常用节点的位移位移（displacementdisplacement）表示，现）表

13、示，现以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。例例4-2 4-2 桁架是由桁架是由1 1、2 2杆组成，杆组成，通过铰链连接，在节点通过铰链连接，在节点A承受承受铅垂载荷铅垂载荷F=40kN=40kN作用。已知杆作用。已知杆1 1为钢杆，横截面面积为钢杆，横截面面积A1=960=960mm2 2，弹性模量，弹性模量E1=200GPa=200GPa，杆，杆2 2为木杆，横截面面积为木杆，横截面面积A2=2.5104=2.5104mm2，弹性模量，弹性模量E2=10GPa=10GPa，杆，杆2 2的杆长为的杆长为1m1m。求节。求节点点A的位

14、移。的位移。你现在浏览的是第十二页，共52页【解】（【解】（1 1）利用截面法，可以求得）利用截面法，可以求得1 1、2 2两杆的轴力分别为两杆的轴力分别为 （拉力）（拉力）（压力）（压力）由胡克定律可以求得两杆的变形分别为由胡克定律可以求得两杆的变形分别为 你现在浏览的是第十三页，共52页（2 2）求节点）求节点A A的位移。的位移。节点节点A A的水平位移与的水平位移与铅垂位移分别为铅垂位移分别为 （）（）A点的位移为点的位移为 在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束力与内力，并可采用力与内力，并可采用以垂线代替圆弧法以

15、垂线代替圆弧法确定节点位移。确定节点位移。你现在浏览的是第十四页，共52页第二节第二节 圆轴扭转变形圆轴扭转变形1 1圆轴扭转变形圆轴扭转变形 圆轴的扭转变形，用各横截面间绕轴线作相对转动的相对角圆轴的扭转变形，用各横截面间绕轴线作相对转动的相对角位移位移j j 表示。相距为表示。相距为dx的两个横截面间有相对转角的两个横截面间有相对转角dj j，即微段，即微段dx的扭转变形为的扭转变形为 因此，对于间距为因此，对于间距为l 的两截面的的两截面的扭转角扭转角（angle of twistangle of twist）为）为 对于长度为对于长度为l l，扭矩，扭矩T T为常数的等截面圆轴，其两端

16、横截面的相对扭为常数的等截面圆轴，其两端横截面的相对扭转角为转角为 乘积乘积GIP称为圆轴截面的称为圆轴截面的抗扭刚度抗扭刚度（torsion rigiditytorsion rigidity）你现在浏览的是第十五页，共52页 对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆截面轴，对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆截面轴，其扭转变形为其扭转变形为 式中，式中，Ti、li、Gi与与IPi分别为轴段分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹性模的扭矩、长度、剪切弹性模量与极惯性矩，量与极惯性矩，n为杆件的总段数。为杆件的总段数。你现在浏览的是第十六页，共52页2 2圆轴扭转的刚度条件圆轴扭转

17、的刚度条件 在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足相应的刚度条件。相应的刚度条件。在工程实际问题中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率，即在工程实际问题中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率，即单单位长度扭转角位长度扭转角j j，使其不得超过某一规定的许用值，使其不得超过某一规定的许用值 j j。由第三章圆轴扭转强度分析时得到的扭转角的变化率为由第三章圆轴扭转强度分析时得到的扭转角的变化率为 其单位是其单位是rad/m 所以，圆轴扭转的刚

18、度条件为所以，圆轴扭转的刚度条件为 你现在浏览的是第十七页，共52页对于等截面圆轴，其刚度条件为对于等截面圆轴，其刚度条件为 式中，式中，j j为许用单位长度扭转角。为许用单位长度扭转角。另外，对于某些特定的杆件，会限制两个指定截面的相对另外，对于某些特定的杆件，会限制两个指定截面的相对扭转角，其刚度条件可以表达为扭转角，其刚度条件可以表达为 式中，式中，j j 为许用扭转角。为许用扭转角。你现在浏览的是第十八页，共52页例例4-3 4-3 图图4-54-5所示圆截面轴所示圆截面轴AC，承受外力偶矩，承受外力偶矩MA、MB和和MC作用。试计算该轴的总扭转角作用。试计算该轴的总扭转角j jAC（

19、截面（截面C相对于截面相对于截面A的扭转角）的扭转角），并校核轴的刚度。已知，并校核轴的刚度。已知MA=180=180Nm，MB=320=320Nm，MC=140=140Nm，IP=3.010=3.0105 5mmmm4 4，l=2 2m，G=80=80GPa，j j=0.5=0.5/m。【解】【解】（1 1）扭转变形分析。）扭转变形分析。利用截面法，得利用截面法，得AB和和BC段的扭矩分别为段的扭矩分别为 TAB=180Nm TBC=-140Nm 你现在浏览的是第十九页，共52页则两段的扭转角分别为则两段的扭转角分别为 则轴的总扭转角为则轴的总扭转角为 （2 2）刚度校核。）刚度校核。轴为等

20、截面轴，轴为等截面轴，AB段的扭矩最大，所以，段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率，即单位长度扭转角为段的扭转角变化率，即单位长度扭转角为 可见，该轴满足刚度条件。可见，该轴满足刚度条件。你现在浏览的是第二十页，共52页第三节第三节 积分法求梁弯曲变形积分法求梁弯曲变形 当直梁发生平面弯曲时，对于细长梁，剪力对其变形的影当直梁发生平面弯曲时，对于细长梁，剪力对其变形的影响一般均可忽略不计，而认为弯曲时各横截面仍保持平面，响一般均可忽略不计，而认为弯曲时各横截面仍保持平面，与弯曲后的梁轴正交。因此，梁的变形可用横截面形心的线与弯曲后的梁轴正交。

21、因此，梁的变形可用横截面形心的线位移与截面的角位移表示。位移与截面的角位移表示。横截面的形心在垂直于梁轴横截面的形心在垂直于梁轴方向的线位移，称为方向的线位移，称为挠度挠度（deflectiondeflection），用），用w表示表示 不同截面的挠度不相同，且挠度是连续变化的，所以如果沿不同截面的挠度不相同，且挠度是连续变化的，所以如果沿变形前的梁轴建立坐标轴变形前的梁轴建立坐标轴x，则挠度可以表示为，则挠度可以表示为 梁的轴线从原来的直线变成一条连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的梁的轴线从原来的直线变成一条连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠挠曲轴曲轴或或挠曲线挠曲线（deflection c

22、urvedeflection curve），截面形心的轴向位移远小于其，截面形心的轴向位移远小于其横向位移，因而可忽略不计。上式也代表挠曲线的解析表达式，称为横向位移，因而可忽略不计。上式也代表挠曲线的解析表达式，称为挠挠曲线方程曲线方程（deflection equationdeflection equation）。）。你现在浏览的是第二十一页，共52页 根据平面假设，横截面在梁弯曲变形后，仍与梁轴垂直，则横截根据平面假设，横截面在梁弯曲变形后，仍与梁轴垂直，则横截面会发生角位移，即绕中性轴转过一个角度，称为面会发生角位移，即绕中性轴转过一个角度，称为转角转角（slope of slope

23、of cross sectioncross section），用），用q q表示。由几何关系可知，横截面的转角表示。由几何关系可知，横截面的转角q q与与挠曲线在该截面处的切线与坐标轴挠曲线在该截面处的切线与坐标轴x的夹角的夹角q q相等，即相等，即 由于梁的变形一般很小，这时转角由于梁的变形一般很小，这时转角q q也很小，于是有挠曲线与转也很小，于是有挠曲线与转角之间的近似关系为角之间的近似关系为 它表明，横截面的转角等于挠曲它表明，横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。可见，在线在该截面处的斜率。可见，在忽略剪力影响的情况下，转角与忽略剪力影响的情况下，转角与挠度相互关联。挠度相互关联。

24、在右手坐标系中，挠度在右手坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角向上为正，向下为负。转角q q规定为截规定为截面法线与面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负。轴夹角逆时针为正，顺时针为负。你现在浏览的是第二十二页，共52页1 1挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 纯弯曲正应力的推导过程可知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层纯弯曲正应力的推导过程可知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为曲率与梁的弯矩之间关系为 由于纯弯曲梁的弯矩为常数，对于等截面梁，弯曲刚度为常数由于纯弯曲梁的弯矩为常数，对于等截面梁，弯曲刚度为常数时，曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。而当截面上同时时，

25、曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。而当截面上同时存在剪力与弯矩即横力弯曲时，显然这两项内力对梁的变形均存在剪力与弯矩即横力弯曲时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。研究表明：当横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高有影响。研究表明：当横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可用来计算横度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，上式变为力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，上式变为 即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截

26、面的该截面的抗弯刚度抗弯刚度（flexural rigidityflexural rigidity）EI成反比。成反比。你现在浏览的是第二十三页，共52页由高等数学可知，平面曲线由高等数学可知，平面曲线w w=w w(x x)上任一点的曲率为上任一点的曲率为 将上述关系用于分析梁的变形，可得将上述关系用于分析梁的变形，可得 上式称为上式称为挠曲线微分方程挠曲线微分方程，它是一个二阶非线性微分方程。，它是一个二阶非线性微分方程。在工程实际问题中，梁的转角一般均很小，因此在工程实际问题中，梁的转角一般均很小，因此有有(d(dw/d/dx)2 2远小于远小于1 1，所以上式可简化为，所以上式可简化为

27、你现在浏览的是第二十四页，共52页 d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由该图以向上为正。由该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如图（可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如图（a a）所示，）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为凸曲线，为正。反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为凸曲线，如图（如图（b b）所示，）所示，d2w/dx2为负。可见，为负。可见，d2w/dx2与弯矩与弯矩M的符号的符号一致。因此上式的右端应取正号，即一致。因此上式的右端应取正号，即 上式称为上式称为挠曲线近似微分方程挠曲线近

28、似微分方程（approximately differential approximately differential equation of the deflection curveequation of the deflection curve），简称为），简称为挠曲线微分方程挠曲线微分方程。你现在浏览的是第二十五页，共52页2 2用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 将上述挠曲线近似微分方程相继积分两次，依次得将上述挠曲线近似微分方程相继积分两次，依次得 C、D为积分常数为积分常数 上述积分常数可利用梁上某些截面的已知位移条件来确定。梁截面上述积分常数可利用梁上某些截面的已知位移

29、条件来确定。梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁的的已知位移条件或位移约束条件，称为梁的边界条件边界条件（boundary boundary conditionsconditions）。积分常数确定后，即得到梁的挠曲线方程和转角方程，）。积分常数确定后，即得到梁的挠曲线方程和转角方程，由此可以求出任一截面的挠度与转角。由此可以求出任一截面的挠度与转角。你现在浏览的是第二十六页，共52页 当弯矩方程需要分段建立，或抗弯刚度沿梁轴变化，以致其表达式当弯矩方程需要分段建立，或抗弯刚度沿梁轴变化，以致其表达式需要分段建立时，挠曲线近似微分方程也需要分段建立，而在各段的需要分段建立时，挠曲线近似微

30、分方程也需要分段建立，而在各段的积分中，将分别包含两个积分常数，为了确定这些积分常数，除应利积分中，将分别包含两个积分常数，为了确定这些积分常数，除应利用位移边界条件外，还应利用分段处挠曲线的连续（挠度相等）、光用位移边界条件外，还应利用分段处挠曲线的连续（挠度相等）、光滑（转角相等）条件。因为在相邻段的交接处，相邻两截面应具有相滑（转角相等）条件。因为在相邻段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度和转角。分段处挠曲线所满足的连续、光滑条件，简称为梁同的挠度和转角。分段处挠曲线所满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的位移的连续条件连续条件（continuity conditionscontinui

31、ty conditions）。）。对于分段数为对于分段数为n的静定梁，求解时将包含的静定梁，求解时将包含2n个积分常数，但由于个积分常数，但由于存在存在n-1个分界面，所以将提供个分界面，所以将提供2(n-1)个连续条件，再加上两个个连续条件，再加上两个位移边界条件，共位移边界条件，共2n个约束条件，恰好可用来确定个约束条件，恰好可用来确定2n个积分常个积分常数。数。由此可见，梁的位移不仅与弯矩及梁的抗弯刚度有关，而由此可见，梁的位移不仅与弯矩及梁的抗弯刚度有关，而且与梁位移的边界条件及连续条件有关。且与梁位移的边界条件及连续条件有关。你现在浏览的是第二十七页，共52页例例4-4 4-4 抗弯

32、刚度为抗弯刚度为EI的等直的等直悬臂梁受均布载荷悬臂梁受均布载荷q作用，如作用，如图所示，试求该梁的转角方程图所示，试求该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的和挠曲线方程，并求自由端的转角转角q qB和挠度和挠度wB。【解】（【解】（1 1）列出弯矩方程。）列出弯矩方程。（2 2）列出挠曲线近似微分方程并积分。）列出挠曲线近似微分方程并积分。积分积分 C、D为积分常数。为积分常数。你现在浏览的是第二十八页，共52页（3 3）确定积分常数。）确定积分常数。边界条件为边界条件为 将以上边界条件代入，得将以上边界条件代入，得 所以求得所以求得 （4 4）将）将C、D代入并整理得转角方程和挠曲线方程

33、。代入并整理得转角方程和挠曲线方程。（5 5）求）求q qB和和wB。（）（）你现在浏览的是第二十九页，共52页例例4-5 4-5 如图所示为一简支梁，梁的如图所示为一简支梁，梁的C截面处作用一集中力截面处作用一集中力F，设设EI为常数。试求梁的转角方程和挠曲线方程，并求为常数。试求梁的转角方程和挠曲线方程，并求q qmax和和wmax。【解】（【解】（1 1）求支反力和列弯矩方）求支反力和列弯矩方程。程。由平衡方程可得支反力为由平衡方程可得支反力为 弯矩方程为弯矩方程为 AC段段 （0 xa）CB段段 （axl）你现在浏览的是第三十页，共52页（2 2）列出挠曲线近似微分方程并积分。）列出挠

34、曲线近似微分方程并积分。由于弯矩方程在由于弯矩方程在C处分段，故应对处分段，故应对AC段及段及CB段分别计算。段分别计算。AC段段（0 xa）积分积分 CB段段（axl）其中，其中，C1 1、D1 1、C2 2、D2 2为积分常数。为积分常数。你现在浏览的是第三十一页，共52页（3 3）确定积分常数。四个积分常数，应找出四个边界条件。在）确定积分常数。四个积分常数，应找出四个边界条件。在A、B支座处，梁的挠度为零，在支座处，梁的挠度为零，在C处是连续和光滑的，因此在其左、处是连续和光滑的，因此在其左、右两侧挠度和转角应相等，即右两侧挠度和转角应相等，即 边界条件为边界条件为 C处的光滑条件为处

35、的光滑条件为 C处的连续条件为处的连续条件为 代入边界条件及连续光滑条件可求得代入边界条件及连续光滑条件可求得 你现在浏览的是第三十二页，共52页则转角方程和挠曲线方程分别为则转角方程和挠曲线方程分别为 你现在浏览的是第三十三页，共52页（4 4）确定）确定q qmax和和wmax 最大转角最大转角：A、B两端的截面转角为两端的截面转角为 若若ab，则，则q qB q qA，可以断定，可以断定q qB为最大转角为最大转角 最大挠度最大挠度：由上面计算可知：由上面计算可知A截面的转角截面的转角q qA为负，可以求得为负，可以求得C截面截面的转角为的转角为 如果如果ab，则，则q qC0，可见从截

36、面，可见从截面A到截面到截面C，转角由负到正，转角由负到正，而挠曲线为光滑连续曲线，则而挠曲线为光滑连续曲线，则q q=0的截面必然在的截面必然在AC段内。令段内。令AC段转角等于零，可得段转角等于零，可得 x0即为挠度最大值的截面的位置。即为挠度最大值的截面的位置。你现在浏览的是第三十四页，共52页将将x0代入代入AC段挠度计算公式，可求得最大挠度为段挠度计算公式，可求得最大挠度为 当集中力当集中力F F作用于跨度中点时，显然最大挠度发生在跨度中点，作用于跨度中点时，显然最大挠度发生在跨度中点，这也可由挠曲线的对称性直接看出。这也可由挠曲线的对称性直接看出。另一种极端情况是集中力无限靠近于杆

37、端支座，如靠近右端支座，此另一种极端情况是集中力无限靠近于杆端支座，如靠近右端支座，此时时 ，所以有，所以有 最大挠度为最大挠度为 可见即使在这种情况下，发生最大挠度的截面仍然在跨度中点附近。可见即使在这种情况下，发生最大挠度的截面仍然在跨度中点附近。也就是说，挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度也就是说，挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度。中点的挠度近似代替最大挠度。你现在浏览的是第三十五页，共52页可以通过可以通过ACAC段挠度计算公式，令段挠度计算公式，令x=l/2，求得跨中的挠度为，求得跨中的挠度为 在极端情况下，集中力无限靠近在

38、极端情况下，集中力无限靠近B端，则端，则 这时用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为这时用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为 可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用跨度中点挠度可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用跨度中点挠度来代替其最大挠度，并且不会引起太大的误差。来代替其最大挠度，并且不会引起太大的误差。你现在浏览的是第三十六页，共52页第四节第四节 叠加法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形 用积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现用积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分常数，运算较为烦琐，所以工程中发展出许多简化的计算方两个积分常数，运算较为烦琐

39、，所以工程中发展出许多简化的计算方法，叠加法便是其中的一种。法，叠加法便是其中的一种。1 1、载荷叠加法、载荷叠加法 在线弹性、小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为线性微在线弹性、小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，因此，当梁上同时分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，因此，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。挠度与转角也一定

40、与载荷成线性齐次关系。变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，他载荷无关。当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，即可利用叠加法计算梁的位移。而且应力不超过材料的比例极限，即可利用叠加法计算梁的位移。只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，然后将其相只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，然后将其相加，便可得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变加，便可得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的载荷叠加法。形

41、的载荷叠加法。你现在浏览的是第三十七页，共52页如图如图4-104-10所示的梁，若载荷所示的梁，若载荷q、F及及Me单独作用时，单独作用时，B截面的挠度分截面的挠度分别为别为(wB)q、(wB)F和和 ，则所有载荷共同作用时该截面，则所有载荷共同作用时该截面的挠度为的挠度为 2 2、逐段分析叠加法、逐段分析叠加法 在计算有些梁的变形时，虽然载荷是比较简单的，但是梁在计算有些梁的变形时，虽然载荷是比较简单的，但是梁需要分段分析，不能再利用前述载荷叠加法。例如，计算图需要分段分析，不能再利用前述载荷叠加法。例如，计算图4-114-11（a a）所示梁截面）所示梁截面C的挠度的挠度wC，（）（）（

42、b b）图）图 你现在浏览的是第三十八页，共52页（）（）（b b）图）图 （c c）图）图 （）则截面则截面C的总挠度为的总挠度为 （）上述两种方法前者为分解载荷，后者为分解梁；前者的理论基础是力作上述两种方法前者为分解载荷，后者为分解梁；前者的理论基础是力作用的独立性原理，而后者的依据则是梁段局部变形与梁总体位移间的几何用的独立性原理，而后者的依据则是梁段局部变形与梁总体位移间的几何关系。但是，由于在实际求解时常将两种方法联合应用，所以习惯上将二关系。但是，由于在实际求解时常将两种方法联合应用，所以习惯上将二者统称为者统称为叠加法叠加法（superposition methodsuperp

43、osition method）。）。你现在浏览的是第三十九页，共52页例例4-6 4-6 求图求图4-124-12（a a）所示梁挠曲线方程，并求梁中点挠度及最大）所示梁挠曲线方程，并求梁中点挠度及最大转角。已知转角。已知M=0.5ql2,梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI。【解】【解】梁承受集中力偶和均布载荷作用，首先将载荷简化，梁承受集中力偶和均布载荷作用，首先将载荷简化，将图（将图（a a）所示的梁分解为如图（）所示的梁分解为如图（b b）、（）、（c c）所示的简支梁，）所示的简支梁，一个受集中力偶作用，一个受均布载荷作用。一个受集中力偶作用，一个受均布载荷作用。（1 1）求挠曲线方程。

44、查表可知，在）求挠曲线方程。查表可知，在M与与q单独作用下梁挠曲线方程单独作用下梁挠曲线方程分别为分别为 你现在浏览的是第四十页，共52页根据叠加原理，梁在两个载荷作用下的挠曲线方程为根据叠加原理，梁在两个载荷作用下的挠曲线方程为 即即 （2 2）求最大转角。图（）求最大转角。图（b b）所示梁截面）所示梁截面A A的转角比截面的转角比截面B的转角大，的转角大，图（图（c c）所示梁截面）所示梁截面A和截面和截面B的转角相同。显然两种情况下的转角相同。显然两种情况下A、B截截面对应的转角方向一致，所以截面面对应的转角方向一致，所以截面A的转角最大，查表的转角最大，查表4-24-2可求得可求得梁

45、的最大转角为梁的最大转角为 （）你现在浏览的是第四十一页，共52页（3 3）求中点挠度。查表求得梁中点的挠度为）求中点挠度。查表求得梁中点的挠度为 （）你现在浏览的是第四十二页，共52页例例4-7 4-7 图图4-134-13（a a）所示悬臂梁，同时承受集中力）所示悬臂梁，同时承受集中力F F和均布载和均布载荷荷q作用，且作用，且F=qa，试求横截面，试求横截面C的挠度。设抗弯刚度的挠度。设抗弯刚度EI为常为常数。数。【解】【解】当均布载荷当均布载荷q单独作用单独作用时，如图时，如图4-134-13（b b）所示，横截）所示，横截面面B的转角与挠度为的转角与挠度为 （）（）则由于均布载荷的作

46、用，引起截面则由于均布载荷的作用，引起截面C的挠度为的挠度为 （）你现在浏览的是第四十三页，共52页当载荷当载荷F单独作用时，如图（单独作用时，如图（c）所示，横截面）所示，横截面C的挠度为的挠度为 （）根据叠加原理，截面根据叠加原理，截面C的挠度为的挠度为 （）你现在浏览的是第四十四页，共52页例例4-8 4-8 变截面梁如图所示，试求跨中点变截面梁如图所示，试求跨中点C的挠度。的挠度。【解】采用叠加法计算。【解】采用叠加法计算。由于由于AB梁的支承、梁的支承、截面惯性矩和载荷都截面惯性矩和载荷都是对称的，其变形也是对称的，其变形也必然是对称的，因此，必然是对称的，因此，跨中点跨中点C截面的

47、转角为截面的转角为零，挠曲线在零，挠曲线在C点的切点的切线是水平的线是水平的这样，就可以把变截面梁的这样，就可以把变截面梁的CB部分看作是悬臂梁，如图（部分看作是悬臂梁，如图（b b）所）所示，自由端示，自由端B在载荷在载荷F/2作用下的挠度作用下的挠度wB也就在数值上等于原来也就在数值上等于原来ABAB梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度wC你现在浏览的是第四十五页，共52页对惯性矩为对惯性矩为I的的DB段悬臂梁查表可段悬臂梁查表可得得B B截面相对于截面相对于D D截面的位移为截面的位移为 将将CB梁从梁从D截面假想截开，得到截面假想截开，得到DB和和CD两段悬臂梁，如图（两段悬臂梁，如图（c c

48、）和）和（d d）所示。）所示。D截面上的弯曲内力截面上的弯曲内力为为你现在浏览的是第四十六页，共52页B截面由于截面由于q qD和和wD而引起的挠度是而引起的挠度是 对于惯性矩为对于惯性矩为I1的悬臂梁的悬臂梁CD，查表，查表可以求出可以求出D截面由于弯矩和剪力引起截面由于弯矩和剪力引起的转角和挠度为的转角和挠度为 你现在浏览的是第四十七页，共52页叠加叠加wB1和和wB2即可求得即可求得AB梁跨中点梁跨中点C的挠度的挠度 你现在浏览的是第四十八页，共52页第五节第五节 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小，从挠曲线的近似微分方

49、程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小，跨度长短，横截面的惯性矩和材料的弹性模量等有关。所以应从以上跨度长短，横截面的惯性矩和材料的弹性模量等有关。所以应从以上各方面因素入手减少梁的弯曲变形。各方面因素入手减少梁的弯曲变形。1 1、改善结构形式以减小弯矩数值、改善结构形式以减小弯矩数值 弯矩是引起弯曲变形的主要因素，减小了弯矩也就减小了弯弯矩是引起弯曲变形的主要因素，减小了弯矩也就减小了弯曲变形，而通过改变结构形式是实现弯矩的简单有效的方法。曲变形，而通过改变结构形式是实现弯矩的简单有效的方法。如图所示的轴，应尽可能如图所示的轴，应尽可能地使齿轮和皮带轮靠近支地使齿轮和皮带轮靠近支座，以降低皮

50、带轮张力引座，以降低皮带轮张力引起的弯矩。起的弯矩。你现在浏览的是第四十九页，共52页 从前面的一些例题也可以看出，在集中力作用下，挠度与跨度的从前面的一些例题也可以看出，在集中力作用下，挠度与跨度的三次方成正比，如将梁的跨度缩短，则挠度的减小即刚度提高的非三次方成正比，如将梁的跨度缩短，则挠度的减小即刚度提高的非常显著的。所以在机械加工中，对镗刀杆的长度有一定限制，以保常显著的。所以在机械加工中，对镗刀杆的长度有一定限制，以保证镗孔的精度。在有些结构的跨度不能减小的情况下，也可以采取证镗孔的精度。在有些结构的跨度不能减小的情况下，也可以采取增加支承的方式提高梁的刚度。如在镗刀杆的端部增加尾架