数值分析第七章数值微分与数值积分精品文稿.ppt

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1、数值分析第七章数值微分与数值积分1第1页，本讲稿共94页 利用离散点上函数的信息求函数导数近似值的方法利用离散点上函数的信息求函数导数近似值的方法,称为称为数值微分数值微分.差商型数值微分公式差商型数值微分公式 插值型插值型数值微分数值微分公式公式1 数值微分数值微分2第2页，本讲稿共94页由导数定义由导数定义当当h很小时很小时,可用可用差商差商近似导数近似导数.3第3页，本讲稿共94页 差商型求导公式差商型求导公式(3)中心差商公式中心差商公式(1)向前差商公式向前差商公式(2)向后差商公式向后差商公式4第4页，本讲稿共94页 几何意义几何意义B点切线斜率点切线斜率 从几何直观看从几何直观看

2、:中中心差商效果最好心差商效果最好5第5页，本讲稿共94页 截断误差截断误差其中其中由由Taylor公式可得公式可得6第6页，本讲稿共94页 二阶导数的中心差商公式二阶导数的中心差商公式 截断误差截断误差7第7页，本讲稿共94页近似计算近似计算数值积分数值积分8第8页，本讲稿共94页 依据微积分基本定理依据微积分基本定理,只要找到被积函数只要找到被积函数 f(x)的原的原函数函数 F(x),F (x)=f(x),便有便有 为什么还要对积分进行近似计算为什么还要对积分进行近似计算 大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数 实验测量或数值计算给出的通常是

3、一张离散函数表实验测量或数值计算给出的通常是一张离散函数表,即被积函数的表达式未知即被积函数的表达式未知.数值积分数值积分9第9页，本讲稿共94页 依据积分中值定理依据积分中值定理 就是说，底就是说，底为为b a 而高为而高为 f()的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形 f(x)的面积的面积.取取a,b内若干个节点内若干个节点xk 处的高度处的高度 f(xk),通过加权通过加权平均的方法生成平均高度平均的方法生成平均高度 f(),这类求积公式称这类求积公式称机械求机械求积公式积公式式中式中 xk 称为称为求积节点求积节点,Ak 称为称为求积系数求积系数,亦称伴随节点亦称

4、伴随节点的权的权.数值积分基本思想数值积分基本思想10第10页，本讲稿共94页2 Newton-Cotes 公式公式基本思想基本思想:利用利用插值多项式插值多项式其中其中Ln(x)是是n阶阶Lagrange插值多项式，用插值多项式，用Ln(x)的的积分近似积分近似 f(x)的积分，即的积分，即插值型求积公式插值型求积公式11第11页，本讲稿共94页由由 决定决定,与与 无关无关.节点节点 f(x)在在a,b上取上取 a x0 x1 0,使得使得则称该求积公式是则称该求积公式是稳定稳定的的.求积公式的稳定性求积公式的稳定性38第38页，本讲稿共94页 若求积公式是稳定的若求积公式是稳定的,则则

5、f(x)的观察值的较小的误的观察值的较小的误差引起的求积结果的误差也是较小的差引起的求积结果的误差也是较小的.求积公式没有求积公式没有把把 f(x)的误差的误差“放大放大”很多很多.39第39页，本讲稿共94页证明证明因此复化梯形公式是数值稳定的因此复化梯形公式是数值稳定的.当当 定理定理 复化梯形公式是复化梯形公式是数值稳定数值稳定的的.40第40页，本讲稿共94页x0 x2xf(x)x4hhxn 2hxn.hx3x1xn 1 复化复化Simpson公式公式分片二次多项式近似分片二次多项式近似41第41页，本讲稿共94页 将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n=2m等分等分,步长步长 h=

6、(b a)/n,分点分点 xk=a+kh (k=0,1,n).在每个小区间在每个小区间 x2k 2,x 2k (k=1,m)上用上用Simpson公式：公式：复化复化Simpson公式公式k=1,m42第42页，本讲稿共94页=Sn(f)复化复化Simpson公式公式43第43页，本讲稿共94页当当 f(x)在在a,b上具有四阶连续导数时上具有四阶连续导数时,故得故得 复化复化Simpson公式的截断误差公式的截断误差44第44页，本讲稿共94页 由复化由复化Simpson公式的截断误差知公式的截断误差知,误差阶为误差阶为 h4,收敛性是显然的收敛性是显然的,事实上事实上,只要只要 f(x)C

7、a,b则可得到则可得到收敛性收敛性,即即 由于求积系数均为正由于求积系数均为正,与复化梯形公式一样的证法可得与复化梯形公式一样的证法可得复化复化 Simpson公式是公式是数值稳定数值稳定的的.45第45页，本讲稿共94页例：例：计算计算解：解：其中其中=3.138988494其中其中=3.141592502运算量运算量基本相同基本相同 显然用复化显然用复化Simpson公式计算精度较高公式计算精度较高,这与它们的误差这与它们的误差阶的结论是相符的阶的结论是相符的.46第46页，本讲稿共94页例例 对于函数对于函数给出给出n=8的函数表的函数表,试用试用复化梯形公式及复化复化梯形公式及复化Si

8、mpson公式计算积分公式计算积分解解0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925应用复化梯形公式求得应用复化梯形公式求得T8=0.9456909应用复化应用复化Simpson公式求得公式求得S8=0.9460832准确值准确值 I=0.9460831两者运算量基本相同两者运算量基本相同47第47页，本讲稿共94页trapz:复化梯形公式求积分复化梯形公式求积分.用法用法:trapz(X,Y),其中其中X,Y为相同维

9、数的向量为相同维数的向量.例例:X=0.125:0.125:1.0;Y=sin(X)./X;X=0,X;Y=1,Y;trapz(X,Y)ans=0.94569086358270Matlab函数函数48第48页，本讲稿共94页例例 若用复化求积公式计算积分若用复化求积公式计算积分的近似值的近似值,若要求计算结果有若要求计算结果有4位有效数字位有效数字,n应取多大应取多大?解解复化梯形公式的误差复化梯形公式的误差若用复化梯形公式求积分若用复化梯形公式求积分,n取取41能达到精度要求能达到精度要求.49第49页，本讲稿共94页故应取故应取n=4.该例表明该例表明,为达到相同的精度为达到相同的精度,用

10、复化用复化Simpson公式公式所需的计算量比复化梯形公式要少所需的计算量比复化梯形公式要少,这也说明了复化这也说明了复化Simpson公式的精度高公式的精度高.复化复化Simpson公式的误差公式的误差50第50页，本讲稿共94页 复化复化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法将区间将区间a,b分成分成n=2m等分等分,记记称称 为为梯形值序列梯形值序列.51第51页，本讲稿共94页所有新增加节点的函数值之和所有新增加节点的函数值之和其中其中 复化复化梯形公式的逐次分半算法梯形公式的逐次分半算法52第52页，本讲稿共94页以以n=8,m=3为例为例.记记 fk=f(xk)x0 x2x4

11、x6x3x1x5x7x8所有新增加节点的函数值之和所有新增加节点的函数值之和.53第53页，本讲稿共94页 复化梯形公式余项的后验估计复化梯形公式余项的后验估计f (1),f (2)分别是分别是 f (x)在在a,b上的上的n个点与个点与 2n 个点处的算术平均值个点处的算术平均值(每个小区间上取一个点每个小区间上取一个点).当当n较大时较大时,有有54第54页，本讲稿共94页因此因此,若事先给定误差限若事先给定误差限 ,则当则当时时,就可停止计算就可停止计算,并认为并认为 T2n是满足精度要求的近似值是满足精度要求的近似值.55第55页，本讲稿共94页 复化复化Simpson公式的逐次分半算

12、法公式的逐次分半算法将区间将区间a,b分成分成 n=2m 等分等分,记记称称 为为Simpson序列序列.56第56页，本讲稿共94页因此因此,若事先给定误差限若事先给定误差限 ,则当则当时可停止计算时可停止计算,取取 S2n为满足精度要求的近似值为满足精度要求的近似值.复化复化Simpson公式余项的后验估计公式余项的后验估计57第57页，本讲稿共94页4 Romberg求积公式求积公式启示启示:是否用是否用 复化梯形公式余项的后验估计表明复化梯形公式余项的后验估计表明逼近逼近 I(f)比用比用 T2n要好要好.事实上有事实上有即梯形值序列的巧妙线性组合得到即梯形值序列的巧妙线性组合得到Si

13、mpson序列序列!58第58页，本讲稿共94页以以n=4为例加以说明为例加以说明.记记 fk=f(xk),59第59页，本讲稿共94页逼近逼近 I(f)比用比用 S2n要好要好.回答回答:是的是的,记记则它恰为复化则它恰为复化Cotes公式公式;且有如下误差估计式且有如下误差估计式 复化复化Simpson公式余项的后验估计表明公式余项的后验估计表明 问题问题:是否用是否用60第60页，本讲稿共94页类似地可以得到类似地可以得到其中其中被称为被称为Romberg序列序列.截断误差截断误差:61第61页，本讲稿共94页停机准则停机准则:梯形值序列梯形值序列Simpson序列序列Cotes序列序列

14、Romberg序列序列 Romberg求积公式求积公式62第62页，本讲稿共94页例例 计算计算=0.9207355=0.9397933=0.9445135=0.9456909解解先求梯形值序列先求梯形值序列63第63页，本讲稿共94页24180.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.95608690.94608330.94608300.94608310.9460831 利用只有两三位有效数字的利用只有两三位有效数字的T1,T8 经过三次外推得到经过三次外推得到7位有效数字位有效数字.可见加速的效果可见加速的效果十分显著十分显著.用用Romb

15、erg算法计算如下算法计算如下64第64页，本讲稿共94页 理论依据理论依据:复化梯形公式的余项展开复化梯形公式的余项展开.记记定理定理 设设则则其中系数其中系数 k(k=0,1,)是与是与 h 无关的常数无关的常数.T(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h2)阶阶.65第65页，本讲稿共94页 当区间当区间a,b 2n等分时等分时,则有则有在定理中以在定理中以 h/2 代替代替 h 得得上式乘以上式乘以4减去减去 T(h)再除以再除以3,记之为记之为 T1(h),得得T1(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h4)阶阶,效果比效果比 T(h)好好,它不它不是别的是别的,就是就是Si

16、mpson序列序列.66第66页，本讲稿共94页 类似地类似地上式乘以上式乘以16减去减去 T1(h)再除以再除以15,记之为记之为 T2(h),得得T2(h)逼近逼近 I 的速度是的速度是 O(h6)阶阶,效果比效果比 T1(h)好好,它它不是别的不是别的,就是就是Cotes公式序列公式序列.67第67页，本讲稿共94页 对对Cotes公式序列进行同样处理得到公式序列进行同样处理得到Romberg公式序公式序列列.Richardson外推加速方法外推加速方法也称为也称为Romberg求积算法求积算法 收敛性说明收敛性说明:如果如果 f(x)充分光滑充分光滑,那么梯形公式序那么梯形公式序列列,

17、Simpson公式序列公式序列,Cotes公式序列公式序列,Romberg公式公式序列均收敛到所求的积分值序列均收敛到所求的积分值.对于对于 f(x)不充分光滑的函数也可用不充分光滑的函数也可用Romberg算法计算法计算算,只是收敛慢一些只是收敛慢一些.也可以直接使用复化也可以直接使用复化Simpson公公式计算式计算.68第68页，本讲稿共94页例例 用用Bomberg算法计算积分算法计算积分解解在在0,1上仅是一次连续可微上仅是一次连续可微用用Romberg算法计算结果见下表算法计算结果见下表241816320.50.4267770.4070180.4018120.4004630.400

18、1180.4023690.4004320.4000770.4000140.4000020.4003020.4000540.4000090.4000020.4000500.4000090.40000269第69页，本讲稿共94页5 Gauss型求积公式型求积公式 基本思想基本思想 设计求积公式设计求积公式:在节点数在节点数 n 固定时固定时,适当地选取求积节点适当地选取求积节点 xk 与求积与求积系数系数 Ak,使求积公式具有使求积公式具有最高的代数精确度最高的代数精确度.70第70页，本讲稿共94页例例 确定确定x1,x2,A1,A2,使求积公式使求积公式具有最高次的代数精确度具有最高次的代数

19、精确度.x2x11 选取选取(A1,A2,x1,x2)使该求积公式对使该求积公式对 f(x)=1,x,x2,x3 时等号成立时等号成立.171第71页，本讲稿共94页 对对 f=1,x,x2,x3 积分精确成立积分精确成立 四个方程四个未知数四个方程四个未知数72第72页，本讲稿共94页梯形公式与梯形公式与Gauss求积公式的比较求积公式的比较 对对1,x求积公式精确求积公式精确成立成立(1(1次代数精确度次代数精确度)对对1,x,x2,x3求积公式精求积公式精确成立确成立(3 次代数精确度次代数精确度)73第73页，本讲稿共94页x3x11x2 1 选取选取(A1,A2,A3,x1,x2,x

20、3)使该求积公式对使该求积公式对 f(x)=x0,x1,x2,x3,x4,x5 时等号成立时等号成立.区间区间 1,1上的上的Gauss求积公式求积公式74第74页，本讲稿共94页 对对 f=x0,x1,x2,x3,x4,x5 求积公式等号成立求积公式等号成立75第75页，本讲稿共94页syms A1 A2 A3 x1 x2 x3eq1=A1+A2+A3-2eq2=A1*x1+A2*x2+A3*x3eq3=A1*x12+A2*x22+A3*x32-2/3eq4=A1*x13+A2*x23+A3*x33eq5=A1*x14+A2*x24+A3*x34-2/5eq6=A1*x15+A2*x25+A

21、3*x35A1,A2,A3,x1,x2,x3=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6)Matlab求解求解76第76页，本讲稿共94页 选取选取(A1,A2,An,x1,x2,xn)使该求积公式对使该求积公式对f(x)=x0,x1,x2,x2n 1时等号成立时等号成立.区间区间 1,1上的上的Gauss求积公式求积公式77第77页，本讲稿共94页 2n个方程个方程2n个未知数个未知数,非线性方程非线性方程,解是否存在唯一？若解是否存在唯一？若存在存在,如何求解？如何求解？对对 f=x0,x1,x2,x2n 1求积公式等号成立求积公式等号成立78第78页，本讲稿共94页研究最

22、一般情形的带权积分研究最一般情形的带权积分:具有具有2n1次代数精确度次代数精确度,则称这组节点则称这组节点 xk为为 Gauss 点点,上述公式称为带权函数上述公式称为带权函数(x)的的Gauss型型求积公式求积公式.定义定义 如果一组节点如果一组节点x1,x2,xn a,b能使求积公式能使求积公式Gauss型型求积公式求积公式79第79页，本讲稿共94页由上述由上述 2n个方程确定全部个方程确定全部 的的2n个待定参数个待定参数 xk,Ak(k=1,n),使求积公式至少具有使求积公式至少具有 2n 1次代数精确度次代数精确度.但上述方程组是非线性方程组但上述方程组是非线性方程组,求解十分困

23、难求解十分困难.一般利用一般利用 正正交多项式交多项式来求出来求出Gauss点与求积系数点与求积系数.Gauss型型求积公式求积公式 对对 f=x0,x1,x2,x2n 1求积公式等号成立求积公式等号成立80第80页，本讲稿共94页定理定理 一求积公式的节点一求积公式的节点 x1,x2,xn是高斯点的充分必是高斯点的充分必要条件是以这些节点为根要条件是以这些节点为根(零点零点)的多项式的多项式与任何次数不超过与任何次数不超过n1的多项式的多项式P(x)带权正交带权正交高斯求积基本定理高斯求积基本定理81第81页，本讲稿共94页高斯求积公式的稳定性定理高斯求积公式的稳定性定理定理定理 高斯求积公

24、式的系数高斯求积公式的系数Ak(k=1,2,n)全是正的，全是正的，因而高斯求积公式是稳定的因而高斯求积公式是稳定的.证明证明对于拉格朗日插值基函数对于拉格朗日插值基函数 lj(x)(j=1,n),有有82第82页，本讲稿共94页高斯求积公式的收敛性定理高斯求积公式的收敛性定理定理定理 设设 f(x)C a,b,则高斯求积公式是收敛的则高斯求积公式是收敛的.83第83页，本讲稿共94页高斯求积公式中高斯点和求积系数的确定高斯求积公式中高斯点和求积系数的确定确定高斯求积公式中的两组不同性质的待定系数确定高斯求积公式中的两组不同性质的待定系数 xk,Ak(k=1,2,n)采用不同的方法：采用不同的

25、方法：由由a,b上带权上带权(x)正交的正交的n次多项式的零点确定高次多项式的零点确定高斯点斯点 xk(k=1,2,n);由由n 1次代数精确度条件确定求积系数次代数精确度条件确定求积系数Ak(k=1,n).84第84页，本讲稿共94页在在 1,1上权函数为上权函数为1的积分的积分 的高斯求积公的高斯求积公式的求积节点式的求积节点(高斯点高斯点)即为即为n次勒让德多次式次勒让德多次式Pn(x)的零点的零点.高斯高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式 n=1时，时，P1(x)=x,高斯点高斯点x1=0,求积系数求积系数A1=2,一点高斯一点高斯-勒让德求积公式为中矩形公式勒让德求积公式为中矩形公式8

26、5第85页，本讲稿共94页 n=2两点高斯两点高斯-勒让德求积公式为：勒让德求积公式为：高斯高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式高斯点高斯点求积系数求积系数86第86页，本讲稿共94页 n=3三点高斯三点高斯-勒让德求积公式为：勒让德求积公式为：高斯高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式高斯点高斯点求积系数求积系数 n更大时更大时Gauss-Legendre求积公式的节点与系数求积公式的节点与系数可通过查表得到，见可通过查表得到，见191页表页表7-487第87页，本讲稿共94页区间区间a,b上积分的计算上积分的计算:转化成转化成 1,1上的积分上的积分做变换：做变换：对右端积分用高斯对右端积分用高

27、斯-勒让德求积公式即可勒让德求积公式即可.88第88页，本讲稿共94页例例 利用利用n=4的的Gauss-Legendre求积公式计算求积公式计算解解令令 则则设设89第89页，本讲稿共94页则按则按n=4的的Gauss-Legendre求积公式求积公式 与前面的用复化与前面的用复化Simpson公式计算相比，精度更公式计算相比，精度更高，但计算函数值的次数是前述方法的一半高，但计算函数值的次数是前述方法的一半.90第90页，本讲稿共94页Matlab函数函数quad:自适应步长自适应步长Simpson积分法积分法用法用法:quad(Fun,a,b,tol),其中其中Fun为被积函数为被积函数

28、,a,b 为为积分下上限积分下上限,tol为误差精度为误差精度.quadl:高精度高精度Lobatto积分法积分法用法用法:同同quad(Fun,a,b,tol).91第91页，本讲稿共94页例例 求积分求积分编写编写xpluscosx_1.m文件如下文件如下function f=xpluscosx_1(x)f=1./(x+cos(x);在命令窗口中输入以下命令在命令窗口中输入以下命令quad(xpluscosx_1,0,pi,1e-6)ans=2.0430630891648192第92页，本讲稿共94页例例 求积分求积分也可用符号运算来做也可用符号运算来做 syms xint_result=int(1/(x+cos(x),x,0,pi);double(int_result)93第93页，本讲稿共94页上机作业上机作业第第260至至261页页数值实验数值实验1题，题，2题任选一题题任选一题94第94页，本讲稿共94页