高等数学二重积分精选文档.ppt

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1、高等数学二重积分高等数学二重积分本讲稿第一页，共十八页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出本讲稿第二页，共十八页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积本讲稿第三页，共十八页求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄

2、片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量本讲稿第四页，共十八页二、二重积分的概念二、二重积分的概念本讲稿第五页，共十八页积积分分区区域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素本讲稿第六页，共十八页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是

3、柱体的体积的负值本讲稿第七页，共十八页 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为本讲稿第八页，共十八页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质本讲稿第九页，共十八页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有本讲稿第十页，共十八页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二

4、重积分估值不等式）本讲稿第十一页，共十八页解解本讲稿第十二页，共十八页解解本讲稿第十三页，共十八页解解本讲稿第十四页，共十八页解解本讲稿第十五页，共十八页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结本讲稿第十六页，共十八页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处们的相同之处与不同之处.本讲稿第十七页，共十八页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答本讲稿第十八页，共十八页