高等数学对坐标曲线积分精选文档.ppt

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1、高等数学对坐标曲线积分本讲稿第一页，共二十七页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.变力沿曲线所作的功.本讲稿第二页，共二十七页1)把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在“大化小大化小”.2)“常代变常代变”本讲稿第三页，共二十七页3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)本讲稿第四页，共二十

2、七页2.定义定义 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条弧弧,和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线或第二类曲线其中,L 称为称为极限记作有向光滑有向光滑函数 在 L 上有界.若对 L 的任意分割积分积分.被积函数被积函数,积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.本讲稿第五页，共二十七页若 为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,称为函数 在曲线L上对坐标 x 的曲线积分;称为函数 在曲线L上对坐标 y 的曲线积分.本讲稿第六页，共二十七页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(

3、2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!本讲稿第七页，共二十七页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理 在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明存在,且有下面先证本讲稿第八页，共二十七页对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证本讲稿第九页，共二十七页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 本讲稿第十页，共二十七页例例1其中L 为沿抛物线解法解法1解法解法2从点的一段.计算取 x 为参数,则取 y 为参数,则本讲稿第十一页，共二

4、十七页例例2其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解(2)取 L 的方程为则则计算(1)取L的参数方程为本讲稿第十二页，共二十七页例例3其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解(2)原式(3)原式 计算(1)原式本讲稿第十三页，共二十七页例例4作用下,质点由沿 移动到解解(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 设在力场(1)本讲稿第十四页，共二十七页例例5其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解求取 的参数方程本讲稿第十五页，共二十七页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之

5、间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系本讲稿第十六页，共二十七页类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为本讲稿第十七页，共二十七页二者夹角为 例例6曲线段 L 的长度为s,证明续,证证 设说明说明:在L上连 设上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.本讲稿第十八页，共二十七页例例7 将积分化为对弧长的积分,解解其中L 沿上半圆周本讲稿第十九页，共二十七页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的

6、方向!内容小结内容小结本讲稿第二十页，共二十七页3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧本讲稿第二十一页，共二十七页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:本讲稿第二十二页，共二十七页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P196 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 设一个质点在本讲稿第二十三页，共二十七页2.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:本讲稿第二十四页，共二十七页补充题补充题 1.解解线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点本讲稿第二十五页，共二十七页2.设曲线C为曲面与曲面从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解(1)本讲稿第二十六页，共二十七页(2)原式=令利用“偶倍奇零”本讲稿第二十七页，共二十七页