材料力学第四章 扭转优秀PPT.ppt

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1、材料力学第四章 扭转你现在浏览的是第一页，共50页 第四章第四章第四章第四章 扭扭扭扭 转转转转41 扭转的概念扭转的概念42 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图43 薄壁筒扭转薄壁筒扭转44 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件45 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件46 矩形截面杆自由扭转矩形截面杆自由扭转47 薄壁杆扭转薄壁杆扭转你现在浏览的是第二页，共50页 41 扭转的概念扭转的概念你现在浏览的是第三页，共50页 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变

2、形为扭转变形。杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：扭转：扭转角扭转角扭转角扭转角（两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度）剪切角剪切角剪切角剪切角，剪切角也称，剪切角也称切应变切应变切应变切应变。你现在浏览的是第四页，共50页42 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图mmmTx一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成结圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的为截面的扭矩扭矩扭矩扭矩，用，用T T 表示之。表示之。扭矩的正负号按扭矩的正负号按右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则来来确定，即右手握住杆的轴

3、线，卷曲确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为面外法线指向，扭矩为正，反之为负。负。你现在浏览的是第五页，共50页mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。二、扭矩图二、扭矩图 各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为截面扭矩的图象称为扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图。扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：你现在浏览的是第六页，共50页 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤：画一条

4、与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。图上表出数值和正负号。你现在浏览的是第七页，共50页例例1 画图示杆的扭矩图画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：解：1122

5、3kN.mT1ABCAC段：段：BC段：段：2kN.mT2扭矩图扭矩图3kN.m2kN.m-你现在浏览的是第八页，共50页 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算。过传递功率和转数来换算。三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（r/min）若传动轴的传递功率为若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为每分钟转数为n，则每分钟则每分钟功率作功：功率作功：力偶作功：力偶作功：你现在浏览的是第九页，共50页例例2 已知：一传动轴转数 n=300r/min，主动轮输入功率 P1=500k

6、W，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩你现在浏览的是第十页，共50页112233求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设）nA B C Dm2 m3 m1 m4你现在浏览的是第十一页，共50页绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m扭矩图扭矩图你现在浏览的是第十二页，共50页例例画图示杆的扭矩图。画图示杆的扭矩图。3m2m2m1m _扭矩图扭矩图你现在浏览的是第十三页，

7、共50页43 薄壁筒扭转薄壁筒扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。你现在浏览的是第十四页，共50页2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.结果：结果：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截轴线作了相对转动。圆周线实际

8、代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设平面假设平面假设平面假设。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。你现在浏览的是第十五页，共50页二、薄壁筒切应力二、薄壁筒切应力 A0为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。沿圆周切线，方

9、向与扭矩转向一致。T你现在浏览的是第十六页，共50页acddxb dy tz三、切应力互等定理：三、切应力互等定理：这就是这就是切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。其方向或共同指向交线，或共同背离交线。你现在浏览的是第十七页，共50页四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用

10、，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态。acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾角的倾角 称为称为切应变切应变切应变切应变，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实验单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与表明，在弹性范围内，切应力与切应切应变成正比，即变成正比，即 这就是这就是剪切虎克定律剪切虎克定律剪切虎克定律剪切虎克定律，比例常数，比例常数G 称为称为剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量。你现在浏览的是第十八页，共50页 剪切弹性模量剪切弹性模量G、与弹性模量与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是表是

11、表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。料常数并不是独立的，它们存在如下关系。根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。出第三个来。你现在浏览的是第十九页，共50页 44 44 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件你现在浏览的是第二十页，共50页3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察1.

12、横截面变形后仍为平面，满足平面假设；横截面变形后仍为平面，满足平面假设；2.轴向无伸缩，横截面上没有正应力；轴向无伸缩，横截面上没有正应力；你现在浏览的是第二十一页，共50页二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力RdxdxBCCcbd 变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变：其中其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角单位扭转角单位扭转角单位扭转角B你现在浏览的是第二十二页，共50页 物理条件物理条件横截面上横截面上b 点的切应力：点的切应力：静力条件静力条件O2dAdAbT其中其中 称为截面对圆

13、心的称为截面对圆心的极惯性极惯性极惯性极惯性矩矩矩矩。你现在浏览的是第二十三页，共50页于是得横截面上任一点的切应力为于是得横截面上任一点的切应力为Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；求应力那点到圆心的距离；求应力那点到圆心的距离；你现在浏览的是第二十四页，共50页dD环形截面：环形截面：极惯性矩的单位极惯性矩的单位：m4DdO 极惯性矩极惯性矩你现在浏览的是第二十五页，共50页 同一截面，扭矩同一截面，扭矩T，极惯性矩极惯性矩IP 为常量，

14、因此各点切应力为常量，因此各点切应力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的半径，成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。且与扭矩的转向一致。TT max max实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处。最大切应力在外圆处。你现在浏览的是第二十六页，共50页 最大切应力最大切应力令：令：Wt 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量，单位：，单位：m3实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面你现在浏览的是第二十七页，共50页例例4已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩T

15、=1kN.m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。求最大、最小切应力。dDT max min解：解：你现在浏览的是第二十八页，共50页三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：其中容许切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系数切应力除以安全系数得到。得到。你现在浏览的是第二十九页，共50页 45 45 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形 当当T、GIP 为常量时，长为为常量时，长为l 一一段杆两端面相对扭转角为

16、段杆两端面相对扭转角为其中其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度。你现在浏览的是第三十页，共50页二、刚度条件二、刚度条件 称为称为许用单位扭转角许用单位扭转角许用单位扭转角许用单位扭转角。若。若许用许用许用许用单位扭转角给的是单位扭转角给的是 ，则上式改写为则上式改写为你现在浏览的是第三十一页，共50页例例图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1=0.7m，l2=0.3m；=60MPa，=0.3/m，G=80GPa；试试选择该轴的直径选择该轴的直径。ABCmAmB mC l1l

17、22kN.m1kN.m解：解：按强度条件按强度条件你现在浏览的是第三十二页，共50页ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按刚度条件按刚度条件该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d=83.5mm.你现在浏览的是第三十三页，共50页例例45图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m；=60MPa，=1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8k

18、N.m 解：解：按强度按强度核该核该d1d2你现在浏览的是第三十四页，共50页ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2满足强度条件。满足强度条件。按刚度按刚度核该核该你现在浏览的是第三十五页，共50页ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。你现在浏览的是第三十六页，共50页例例46长为长为 l=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如的作用，如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8，G=80GPa，许用切应力许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；试设计

19、杆的外径；=2/m，试校核此杆的试校核此杆的刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径你现在浏览的是第三十七页，共50页x你现在浏览的是第三十八页，共50页 刚度校核刚度校核右端面转角右端面转角你现在浏览的是第三十九页，共50页练习练习2图示圆杆图示圆杆BC 段为空心，已知段为空心，已知 D=50mm，d=25mm；a=250mm，b=150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力和试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角自由端的扭转角。ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m11223344解：本题应分解：本题应分4段考虑。段考虑。你

20、现在浏览的是第四十页，共50页ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344你现在浏览的是第四十一页，共50页ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m 0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344你现在浏览的是第四十二页，共50页 46 矩形截面杆自由扭转矩形截面杆自由扭转 非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹

21、性力学方法求解。不适用，须由弹性力学方法求解。你现在浏览的是第四十三页，共50页hbh 1T max 注意！b 自由扭转自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。相邻截面的翘曲程度完全相同。你现在浏览的是第四十四页，共50页hbh 1T max 注意！b 一、矩形杆横截面上的切应力分布一、矩形杆横截面上的切应力分布 形心与角点的切应力等于零；形心与角点的切应力等于零；周边的切应力与周边相切，方周边的切应力与周边相切，方向与扭矩的转向一致；向与扭矩的转向一致；截面的最大切应力发生在长边截面的最大切应力发生在长边的中点，短

22、边的最大切应力发生在短边的中点，短边的最大切应力发生在短边的中点。的中点。你现在浏览的是第四十五页，共50页二、最大切应力及单位扭转角二、最大切应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！b相当极惯性矩相当极惯性矩相当极惯性矩相当极惯性矩。截面最大切应力：截面最大切应力：单位扭转角：单位扭转角：其中：其中：抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量抗扭截面模量。系数系数 、随长短边的比值随长短边的比值m=h/b 而变化，可查表获得。而变化，可查表获得。你现在浏览的是第四十六页，共50页37 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 切应力流的方向与扭矩切应力流的方向与扭矩方向一致。方向一致。开口薄壁截面杆在自由开口薄壁

23、截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（扭转时的切应力分布如图（a），），厚度中点处，应力为厚度中点处，应力为零。零。闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），），同一厚度处，应力均匀分布。同一厚度处，应力均匀分布。你现在浏览的是第四十七页，共50页图（c）d xd d 2d d1t t1t t2图（d）闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图图上取单元体如图（上取单元体如图（d）。）。dx12你现在浏览的是第四十八页，共50页 A0为壁后中线所包围的面积。为壁后中线所包围的面积。你现在浏览的是第四十九页，共50页