函数与极限优秀课件.ppt

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1、函数与极限第1页，本讲稿共27页元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、集合一、集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).2/27第2页，本讲稿共27页表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例1 1 有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例2 2 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间3/27第3页，本讲稿共27页无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区

2、间去心 邻域邻域4/27第4页，本讲稿共27页是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 2则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有5/27第5页，本讲稿共27页定义定义3 3 给定两个集合 A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或6/27第6页，本讲稿共27页二、映射二、映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座例例7/27第7页，本讲稿共

3、27页定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.8/27第8页，本讲稿共27页对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.9/27第9

4、页，本讲稿共27页X(数集 或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子.名称.例如,函数的两个要素函数的两个要素:1、定义域；、对应法则10/27第10页，本讲稿共27页2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义 定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.11/27第11页，本讲稿共27页定义则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件 不可少

5、.(2)复合映射12/27第12页，本讲稿共27页定义域三、函数三、函数1.1.函数的概念函数的概念 定义定义4 4 设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量13/27第13页，本讲稿共27页(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应法则对应法则的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域14/27第14页，本讲稿共27页例例3 3 已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 15/27第15页，本讲稿共27页2.2.函数的几种特

6、性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册 P11)(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.16/27第16页，本讲稿共27页(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有若17/27第17页，本讲稿共27页(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为

7、注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数18/27第18页，本讲稿共27页3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:19/27第19页，本讲稿共27页2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数20/27第20页，本讲稿共27页(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.

8、例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合21/27第21页，本讲稿共27页4.4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如,并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为故为初等函数.22/27第22页，本讲稿共27页非初等函数举例:符号函数符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数取整函数当23/27第23页，本讲稿共27页例例4 4 求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为24/27第24页，本讲稿共27页四、小结四、小结1.集合及映射的概念定义域对应法则3.函数的特性函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素25/27第25页，本讲稿共27页且思考题思考题证明时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.设26/27第26页，本讲稿共27页且思考题解答证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.设27/27第27页，本讲稿共27页