数列极限的个等价性质精品文稿.ppt

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1、数列极限的个等价性质第1页，本讲稿共20页这样我们得到区间套存在唯一点由区间套定理知，由区间套定理知，因为覆盖区间所以使得因为所以使得与区间套的构做方式与区间套的构做方式矛盾矛盾.第2页，本讲稿共20页开区间被开区间系覆盖覆盖存在有限子系使得使得例如例如,令则则被开区间系覆盖,但但不不能被其任意一个有限子系覆盖能被其任意一个有限子系覆盖.第3页，本讲稿共20页闭区间被闭区间系覆盖覆盖存在有限子系使得使得例如例如,令则则被闭区间系覆盖,但但不不能被其任意一个有限子系覆盖能被其任意一个有限子系覆盖.第4页，本讲稿共20页1.非空实数集若有上非空实数集若有上(下下)界则必有上界则必有上(下下)确界确

2、界.2.单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛.3.区间套定理区间套定理.4.有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.5.数列收敛当且仅当它是数列收敛当且仅当它是Cauchy列列.6.有限覆盖定理有限覆盖定理.以上六条等价！以上六条等价！第5页，本讲稿共20页已经证过的结论：单调有界必有极限单调有界必有极限(2)有上界必有上确界有上界必有上确界(1)设设A是一个非空实数集，是一个非空实数集，某个元素不是自己的上界某个元素不是自己的上界.有上界有上界.不妨设不妨设A 的的将此元素记作A 的一个上界记作则令否则令令若是 A 的一个上界,令第6页，本讲稿共20页如此我们得到一个数列有下界记易知其每一

3、项都是其每一项都是A 的的一个上界，一个上界，数列单调减少、单调减少、所以收敛。所以收敛。由保序性由保序性,所以所以 s 是上是上确确界界.因为因为不是A的上界,所以所以第7页，本讲稿共20页有限覆盖定理有限覆盖定理(6)假设数列有界，因因为为没有收没有收敛敛子列，子列，存在有限个使得Bolzano定理定理(4)分别是其一个下界，一个上界，一个上界，但没有收敛子列.所以开区间中只含中有限项.由有限覆盖定理，由有限覆盖定理，第8页，本讲稿共20页因为每个开区间因为每个开区间只含中有限项，中有限项，中有限项，中有限项，矛盾！矛盾！中只含所以中有限项，项，中中只含所以第9页，本讲稿共20页有限覆盖定

4、理有限覆盖定理(6)但中的任意有限个中至少有一个记这样找到有界数列存在收敛子列假设开区间都不能覆盖中记作至少有一个不能被中的有限个开区间覆盖，不能被中的有限个开区间覆盖，由例题的结论，由例题的结论，Bolzano定理定理(4)第10页，本讲稿共20页记则且且有因为所以所以使得使得因为是开集，所以所以与区间列的构作方式矛盾.且第11页，本讲稿共20页Cauchy收敛准则收敛准则(5)单调有界必收敛单调有界必收敛(2)设数列单调增加且有上界,但但发散发散.由由Cauchy收敛准则知收敛准则知,对于存在对于存在对于存在因为单调增加,所以使得使得使得第12页，本讲稿共20页从而数列无界,矛盾！矛盾！第

5、13页，本讲稿共20页123456有上(下)界则必有上(下)确界Cauchy收敛准则Bolzano定理区间套定理单调有界必收敛有限覆盖定理第14页，本讲稿共20页邻域邻域点的邻域是指与点距离小于的点的集合即即开区间聚点聚点设集合若对于任意正数若对于任意正数的邻域中都含有 A 中无穷多个点,则称是A 的一个聚点.例如例如,A 中每个点都是中每个点都是A 的的聚点聚点,也都是A 的聚点.第15页，本讲稿共20页例如则则 A只有一个聚点只有一个聚点而集合没有聚点.是A 的一个聚点的充要条件是命题命题的邻域中都含有 A 中异于的点.第16页，本讲稿共20页数列有界,从而有收敛子列从而有收敛子列,记记下

6、证是 A 的一个聚点.7.有界无穷集必有聚点有界无穷集必有聚点.证明证明任取设设A是有界无穷集是有界无穷集.是有界无穷集,任取是有界无穷集,任取含有含有 A 中无穷多个点中无穷多个点即的邻域第17页，本讲稿共20页设是有界数列.记1)A 是有限集是有限集.此时中有无穷多项相等,这些项组成的子列是常数列这些项组成的子列是常数列,收敛收敛.2)A 是无限集是无限集.此时此时A有聚点有聚点,记记 a 是是 A 的的一个聚点一个聚点.任取的一项,记作令在 a 的邻域中取中标号大于n1的一项,记作第18页，本讲稿共20页这样得到的子列收敛到 a.因为因为从而从而,令中标号大于 n2 的一项,记作在 a 的邻域中取第19页，本讲稿共20页12356有上(下)界则必有上(下)确界Cauchy收敛准则4 Bolzano定理区间套定理单调有界必收敛有限覆盖定理7 有界无穷集必有聚点有界无穷集必有聚点第20页，本讲稿共20页