第3章结构相似性优秀课件.ppt

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1、第第3章结构相似性章结构相似性第1页，本讲稿共29页二、量纲二、量纲 要度量一种物理量，可以选用不同的度量单位。我们把本质相同的度量单位概括起来就叫该物理量的量纲（或因次，尺度）。在国际单位制中的长度，质量和时间的量纲分别用L、M和T来表示，并作为它们的基本量纲，其他物理量都与它们有一定关系，所以其他物理量的量纲都可用基本量纲来表示。目前工程单位暂时还将力、长度、时间F、L和T作为基本量纲。第一节 相似理论的基本概念第2页，本讲稿共29页三、量纲的一些性质 任一物理现象，都可用一个或几个数学方程式来表示。由此可得出结论：任一方程中各项任一方程中各项的量纲量纲都是都是相同相同的。由于一个方程中各

2、项物理量的量纲是相同的，所以度量单位改变时，各项的转换系数必定各项的转换系数必定相同，可以约去，因此方程仍保持原来的形式。这种度量单位改变而方程形式不变的性质，叫做方程的量纲和谐性。对于一种物理现象，当已知它受有关物理量的影响，但尚未确定它们之间的关系方程时，根据这些物理量的量纲及单位转换关系，并利用量纲的和谐性，可以证明该物理现象的单位转换与其它各物理量的单位转换量是同步的，这种性质称为量纲的齐次性。第3页，本讲稿共29页四、相似系数、相似指标和相似判据 l相似系数 模型和原型中同一物理量或相对应物理量的比值为一常数，称为相似系数。2相似指标 模型和原型的各物理量之间具有一定关系，它们是相互

3、相互制约制约的，因此它们的相似系数之间也是相互制约的，具有一定关系，制约相似系数之间的关系式称为相似指标。受均布载荷的简支梁，原型和模型上任一截面的挠度和正应力可分别表示为(a)(b)第4页，本讲稿共29页 模型和原型相似，各对应的物理量成正比，设比例常比例常数数分别为 这些比例常数就是相似系数，将这些相似系数代入式（a）可得 (c)(d)第5页，本讲稿共29页上式（d）变成模型的相应表达式，因模型和原型相似，所以（3-1）当两现象相似时，其相似指标为1。因此，各物理量的相似系数不能全都任意选取，而只能任选其中的一部分，其它必须由相似指标式（3-1）确定。若选定了几何尺寸、荷载与弹性模量的相似

4、系数 、和 后，由式（3-1）可求出挠度和应力的相似系数为 （3-2）这两个由相似系数组成的数 和 称为相似指标。第6页，本讲稿共29页将式（c）比例常数比例常数代入式（3-2）中，可得（3-3）如果实验是采取一组不同的模型，显然各个模型和原型之间都有的式（3-3）关系，即（3-4）式（3-4）中都是无量纲组合数，说明对于一组相似现象群，它们的无量纲组合数 、都相同，将这些无量纲组合数称为相似判据（相似不变量）或相似准则，并用记号idem表示。=idem=idem（3-5）对于相似的现象群，其相似判据（相似不变量）或相似准则必定相同。第7页，本讲稿共29页第二节 相似理论 一、相似第一定理一、

5、相似第一定理 相似第一定理适用于已知数学规律的物理现象，实现模型和原型之间的相似变换。二、相似第二定理二、相似第二定理 如果两现象相似，则相似指标为1，或相似判据相同。如描述一现象的物理方程有n个物理量，其中有k个相互独立，则方程可由n-k个无量纲数群 表示，即由n-k个相似判据方程表示，这个定理也叫 定理。相似理论可解决模型实验中的以下问题：（1）合理地选择模型材料和尺寸；（2）确定加载方案、约束条件和实验方法。第8页，本讲稿共29页三、相似第三定理三、相似第三定理 凡几何相似的现象，具有同一关系方程，如果对应的单值量成比例，并且由这些比例组成的相似判据相等，或相似指标等于1，则两现象相似。

6、现象相似的充要条件是：（1）关系方程相同；（2）几何相似，单值量对应成比例；（3）相似判据相等或相似指标为l。所谓单值量单值量，或者单值条件，就是把一个特定现象与其它类似的一组现象区别开来的条件。同一个数学方程或方程组，可以有无穷多的解，要确定某一特定问题的唯一确定某一特定问题的唯一解答，必须有一些特定的条件限制解答，必须有一些特定的条件限制，这就叫单值条件，这种问题在数学中称为边值问题。力学中的单值条件有：（l）几何条件：物体的形状和尺寸；（2）物理参数：弹性模量E、泊松比和容重等；（3）边界条件：边界约束、应力和载荷等；（4）初始条件。第9页，本讲稿共29页第三节 方程式分析结构相似 一般

7、三维弹性力学问题的基本方程有：1平衡微分方程（a）第10页，本讲稿共29页2几何方程（b）第三节 方程式分析结构相似 第11页，本讲稿共29页3物理方程（c）第三节 方程式分析结构相似 第12页，本讲稿共29页4边界条件（d）第三节 方程式分析结构相似 第13页，本讲稿共29页如果将模型的各物理量用上标“”表示，则各物理量的相似系数为（e）第三节 方程式分析结构相似 第14页，本讲稿共29页将这些相似系数分别代入上述原型的各平衡、几何、物理、边界方程式（a）（d）中，代入平衡（a）得（f）第三节 方程式分析结构相似 第15页，本讲稿共29页将这些相似系数代入上述原型的几何方程式（b）中得（g）

8、第三节 方程式分析结构相似 第16页，本讲稿共29页（h）将这些相似系数代入上述原型的物理方程式（c）中得 第17页，本讲稿共29页（i）将这些相似系数代入上述原型的边界方程式（d）中得 第三节 方程式分析结构相似 第18页，本讲稿共29页 式（f）式（i）应该和模型的对应方程相同，由平衡式（f）可得（j）由几何式（g）可得（k）由物理式（h）可得（l）第三节 方程式分析结构相似 由边界式（i）可得（m）式（l）中两个相似指标都成立，必须有：（n）第19页，本讲稿共29页由以上式（j）（n）可得有关应力、位移和应变与其它物理量的相似系数的关系式为：（3-6）第三节 方程式分析结构相似 由以上分

9、析得线弹性静力学问题的相似条件：（1）模型和原型的泊松比应相同，即 ；（2）除此之外还有七个相似系数，、和 ，却只有（3-6）中的4个关系式，所以从中可任意选定三个相似系数。例如选定结构的几何尺寸，材料的弹性模量和材料的容重3个相似系数 、后，再由式（3-6）导出其它相似系数。第20页，本讲稿共29页第四节 用量纲分析法分析结构相似 弹性体内一点的应力与下列因素有关：（1）该点的位置：（2）弹性体的几何尺寸：（3）弹性体的物理性质：（5）弹性体的位移：（6）弹性体各点的应变：（4）弹性体所受的各种载荷：集中力 ；线分 布力：；面分布力 ；体分布力 。第21页，本讲稿共29页于是应力与各因素的一

10、般关系式可以写为：（3-7）其中不同类的物理量有：，它们在静力学问题中与时间无关，因此在根据定理变物理方程为无量纲数群方程（即相似判据方程）时，只有两个独立物理量。（1）求 项 将各物理量的量纲（见表3-1）代入，则量纲式为 第22页，本讲稿共29页因为 是无量纲数，所以各量纲的指数都等于零（a）由（a）可得 所以（2）求 项 第23页，本讲稿共29页因为 是无量纲数，所以各量纲的指数都等于零（b）由（b）可得 所以 其它的各个项都可由同样的方法求得，原方程就可写成无量纲方程（3-8）第24页，本讲稿共29页 根据相似定理，方程就是判据方程，各无量纲数群就是相似判据 idem，idem，ide

11、m，idem idem，idem，idem，idem，idem 原型和模型的各相似判据相等，第25页，本讲稿共29页从而得到各相似指标 由于两个独立的物理量是可以任意选取的，所以得到的相似指标和相似判据的形式就会有所不同，但实质是一样的。例如取E,I 作为独立物理量时，则判据方程变为 第26页，本讲稿共29页第27页，本讲稿共29页第28页，本讲稿共29页 例例1 矩形截面矩形截面bh)杆，承受扭矩杆，承受扭矩T用量纲分析研究单位长度扭转角用量纲分析研究单位长度扭转角 与与T G(G切变切变模量模量)，b、h之间的关系。之间的关系。解：由得：并设写出量纲方程式因为 是无量纲数，所以各量纲的指数都等于零（b）第29页，本讲稿共29页