第13章主成分分析和因子分析优秀课件.ppt

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1、第第13章主成分分析和章主成分分析和因子分析因子分析第1页，本讲稿共21页13.1 主成分分析主成分分析n13.1.1 13.1.1 主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理n13.1.2 13.1.2 主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型n13.1.3 13.1.3 主成分分析的步骤主成分分析的步骤n13.1.4 13.1.4 主成分分析的主成分分析的StataStata命令命令第2页，本讲稿共21页n主成分的概念由主成分的概念由Karl PearsonKarl Pearson在在19011901年提出年提出n考察多个变量间相关性一种多元统计方法考察多个变量间相关性一种多元统计方法n研研

2、究究如如何何通通过过少少数数几几个个主主成成分分(principal(principal component)component)来来解解释释多多个个变变量量间间的的内内部部结结构构。即即从从原原始始变变量量中中导导出出少少数数几几个个主主分分量量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关n主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释n常常被被用用来来寻寻找找判判断断事事物物或或现现象象的的综综合合指指标标，并并对对综综合合指标所包含的信息进行适当的解释指标所包含的信息进行适当的解释什么是主成分

3、分析？什么是主成分分析？(principal component analysis)第3页，本讲稿共21页n对这两个相关变量所携带的信息(在统计上信息往往是指数据的变异)进行浓缩处理n假定只有两个变量x1和x2，从散点图可见两个变量存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠主成分分析的基本思想主成分分析的基本思想(以两个变量为例以两个变量为例)n如果把两个变量用一个变量来表示，同时这一个新的变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程第4页，本讲稿共21页n数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量n设 p个原始变量为 ，新的变量(即主成分)为 ，主成分和原始变量之间

4、的关系表示为主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型aij为为第第i个个主主成成分分yi和和原原来来的的第第j个个变变量量xj之之间间的的线线性性相相关关系系数数，称称为为载载荷荷(loading)。比比如如，a11表表示示第第1主主成成分分和和原原来来的的第第1个个变变量量之之间间的的相相关关系系数数，a21表表示示第第2主主成成分分和和原原来来的的第第1个个变变量量之之间间的相关系数的相关系数第5页，本讲稿共21页n对对原原来来的的p p个个指指标标进进行行标标准准化化，以以消消除除变变量量在在水水平平和和量量纲纲上上的的影影响响n根据标准化后的数据

5、矩阵求出相关系数矩阵根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵n求出协方差矩阵的特征根和特征向量求出协方差矩阵的特征根和特征向量n确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释主成分分析的步骤主成分分析的步骤第6页，本讲稿共21页Stata命令命令npca、pcamatnestatnscreeplotnscoreplot、loadingplotnrotatenpredict第7页，本讲稿共21页【例】根据2008年一季度沪深两市农业板上市公司的9项主要指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释主成分分析主成分分析(实例分析实例分析)基

6、本情况公司成长性指标公司盈利能力性指标公司股本扩张能力指标公司名称ROA主营收入增长率净利润增长率主营业务利润率ROEEPS每股净资产每股公积金总资产增长率禾嘉股份0.0630.2320.8220.2580.0090.011.110.050亚盛集团-0.0080.1610.7090.1430.0060.0061.1440.0060.047冠农股份0.4380.7550.2840.1070.0030.0041.6210.4210.096St中农-0.02-0.4210.9830.209001.5650.757-0.206敦煌种业0.112-0.1587.1440.3670.0250.0773.0

7、961.988-0.057新农开发0.2770.041-2.3760.251-0.005-0.0163.461.860.392香梨股份0.107-0.0542.101-0.1480.0120.032.511.516-0.234新赛股份0.820.1940.0580.1130.020.1013.832.2850.392第8页，本讲稿共21页Stata的输出结果的输出结果estat smc 变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析 第9页，本讲稿共21页Stata的输出结果的输出结果(选择主成分选择主成分)该表是选则主成分的主要依据第10页，本讲稿共21页n“Initial Eigenval

8、uesInitial Eigenvalues”(初始特征根初始特征根)n实际上就是本例中的实际上就是本例中的9 9个主轴的长度个主轴的长度n特特征征根根反反映映了了主主成成分分对对原原始始变变量量的的影影响响程程度度，表表示示引引入该主成分后可以解释原始变量的信息入该主成分后可以解释原始变量的信息n特特征征根根又又叫叫方方差差，某某个个特特征征根根占占总总特特征征根根的的比比例例称称为为主主成分方差贡献率成分方差贡献率n设特征根为设特征根为，则第，则第i i个主成分的方差贡献率为个主成分的方差贡献率为n比比如如，第第一一个个主主成成分分的的特特征征根根为为3.543543.54354，占占总总

9、特特征征根根的的的的比比例例(方方差差贡贡献献率率)为为39.37%39.37%，这这表表示示第第一一个个主主成成分分解解释释了了原原始始9 9个个变变量量39.37%39.37%的的信信息息，可可见见第第一一个个主主成成分分对对原原来来的的9 9个变量解释的还不是很充分个变量解释的还不是很充分根据什么选择主成分？根据什么选择主成分？第11页，本讲稿共21页n根据主成分贡献率根据主成分贡献率n一一般般来来说说，主主成成分分的的累累计计方方差差贡贡献献率率达达到到80%80%以以上上的的前前几几个个主成分，都可以选作最后的主成分主成分，都可以选作最后的主成分n比如表中前比如表中前3 3个主成分的

10、累计方差贡献率为个主成分的累计方差贡献率为78.13%78.13%n根据特特征根的大小根据特特征根的大小n一一般般情情况况下下，当当特特征征根根小小于于1 1时时，就就不不再再选选作作主主成成分分了了，因因为为该该主主成成分分的的解解释释力力度度还还不不如如直直接接用用原原始始变变量量解解的的释释力力度度大大n比比如如表表中中除除前前3 3个个外外，其其他他主主成成分分的的特特征征根根都都小小于于1 1。所所以以只只选择了选择了3 3个主成分个主成分根据什么选择主成分？根据什么选择主成分？第12页，本讲稿共21页nStata还提供了一个更为直观的图形工具来帮助选择 主 成 分，即 碎 石 图(

11、Scree Plot)n从碎石图可以看到9个主轴长度变化的趋势n实践中，通常结合具体情况，选择碎石图中变化趋势出现拐点的前几个主成分作为原先变量的代表，该例中选择前3个主成分即可根据什么选择主成分？根据什么选择主成分？(Scree Plot)第13页，本讲稿共21页怎样解释主成分？怎样解释主成分？主成分的因子载荷矩阵 n表1中的每一列表示一个主成分作为原来变量线性组合的系数，也就是主成分分析模型中的系数aijn比如，第一主成分所在列的系数-0.0364表示第1个主成分和原来的第一个变量(ROA)之间的线性相关系数。这个系数越大，说明主成分对该变量的代表性就越大第14页，本讲稿共21页n载荷图(

12、Loading Plot)直观显示主成分对原始9变量的解释情况n图中横轴表示第一个主成分与原始变量间的相关系数；纵轴表示第二个主成分与原始变量之间的相关系数n每一个变量对应的主成分载荷就对应坐标系中的一个点n第一个主成分很充分地解释了原始的后4个变量(与每个原始变量都有较强的正相关关系)，第二个主成分则较好地var2,var3,var5,var6这2个变量(与它们的相关关系较高)，而与其他变量的关系则较弱(相关系数的点靠近坐标轴)怎样解释主成分？怎样解释主成分？(Loading Plot)第15页，本讲稿共21页13.2 因子分析因子分析n13.2.1 13.2.1 因子分析的基本原理因子分析

13、的基本原理n13.2.2 13.2.2 因子因子分析的数学模型分析的数学模型n13.2.3 13.2.3 因子分析的步骤因子分析的步骤n13.2.4 13.2.4 因子分析的因子分析的StataStata命令命令第16页，本讲稿共21页n因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，但它对问题的研究更深入、更细致一些。实际上，主成分分析可以看作是因子分析的一个特例n简言之，因子分析是通过对变量之间关系的研究，找出能综合原始变量的少数几个因子，使得少数因子能够反映原始变量的绝大部分信息，然后根据相关性的大小将原始变量分组，使得组内的变量之间相关性较高，而不同组的变量之间相关性较低。因此，因子分析属于

14、多元统计中处理降维的一种统计方法，其目的就是要减少变量的个数，用少数因子代表多个原始变量什么是因子分析？什么是因子分析？(factor analysis)第17页，本讲稿共21页n原始的p个变量表达为k个因子的线性组合变量n设p个原始变量为 ，要寻找的k个因子(kp)为 ，主成分和原始变量之间的关系表示为因子分析的数学模型因子分析的数学模型因子分析的数学模型因子分析的数学模型系系数数aij为为第第个个i变变量量与与第第k个个因因子子之之间间的的线线性性相相关关系系数数，反反映映变变量量与与因因子子之之间间的的相相关关程程度度，也也称称为为载载荷荷(loading)。由由于于因因子子出出现现在在

15、每每个个原原始始变变量量与与因因子子的的线线性性组组合合中中，因因此此也也称称为为公公因因子子。为为特特殊殊因因子子，代代表表公公因因子以外的因素影响子以外的因素影响第18页，本讲稿共21页n共同度量共同度量(Communality)(Communality)n因子的方差贡献率因子的方差贡献率 因子分析的数学模型因子分析的数学模型(共同度量共同度量Communality和公因子的方差贡献率和公因子的方差贡献率)变变量量xi的的信信息息能能够够被被k个个公公因因子子解解释释的的程程度度，用用 k个个公公因因子子对对第第i个个变变量量xi的方差贡献率表示的方差贡献率表示第第j个个公公因因子子对对变变量量xi的的提提供供的的方方差差总总和和，反反映映第第j个个公公因因子子的的相相对对重重要要程度程度第19页，本讲稿共21页Stata命令命令nfactornestatnscreeplotnscoreplot、loadingplotnrotatenpredict第20页，本讲稿共21页21本章结束，谢谢观看！第21页，本讲稿共21页