线性方程组解的结构精品文稿.ppt

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1、线性方程组解的结构线性方程组解的结构1第1页，本讲稿共33页4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。2第2页，本讲稿共33页(4-1)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)3第3页，本讲稿共33页非齐次方程组解的存在性定理定理定理定理定理4.1.14.1.1对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组(4-1)向量 可由A的列向量组线性表示。线性表示。4第4页，本讲稿共33页定理定理定理定理

2、4.1.24.1.2设的线性方程组的系数行列式的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解则方程组有唯一解,且解为且解为:(4-2)5第5页，本讲稿共33页齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)6第6页，本讲稿共33页定理定理定理定理4.1.34.1.3对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组(1)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关推论推论1当方程的个数当方程的个数m小于未知量的个数小于未知量的个数n，则，则(4-3)必有非零解。必有非零解。7第7

3、页，本讲稿共33页定理定理定理定理4.1.44.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)学习书学习书P.135 例例28第8页，本讲稿共33页第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理9第9页，本讲稿共33页4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为基础解系基础解系基础解系基础解系)如何

4、求如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：称：10第10页，本讲稿共33页性质1：若 是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质性质2：注：注：如果如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。性质性质性质性质推论推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)11第11页，本讲稿共33页设是的解，满足线性无关；线性无关；的任一解都可

5、以由的任一解都可以由线性线性是的一个基础解系。基础解系表示表示,则称则称下面我们用一个例子回答第下面我们用一个例子回答第(2)和第和第(3)个问题，个问题，同时也是定理同时也是定理4.2.1的例证。的例证。(取任意实数)从而从而也是也是(4-3)的解。的解。12第12页，本讲稿共33页通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步第一步第一步第一步:对系数矩阵对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形初等行变换化行最简形 B从行最简形能得到什么？从行最简形能得到什么？13第13页，本讲稿共33页第二步第二步第二步第二步：写出同解的方程组：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程保留第一个未

6、知数在方程的左边的左边,其余的都移到右边其余的都移到右边.右边的又叫自由变量右边的又叫自由变量)自由变量的个数自由变量的个数=?第三步第三步第三步第三步:令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式 14第14页，本讲稿共33页是解吗?线性无关吗?任一解都 可由 表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数=?第四步第四步第四步第四步:写出基础解系写出基础解系再来分析一下基础解系的由来再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第三步的通解为第三步的通解为15第15页，本讲稿共33页就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成的解向量.类似的类似的

7、这就启发我们这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数等于自由变量的个数(这里这里3个个).只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必然是线性无关的必然是线性无关的,从而也是基础解系从而也是基础解系.由此得到解法由此得到解法2.16第16页，本讲稿共33页第一步第一步第一步第一步:同前同前第二步第二步第二步第二步:同前同前第三步第三步第三步第三步:令令代入(1)求再拼基础解系:第四步第四步第四步第四步:写出通解写出通解17第17页，本讲稿共33页设是矩阵，如果则齐次线性方程组则齐次线性方程组的基础解系存在，的

8、基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有个解向量。个解向量。定理定理定理定理4.2.14.2.1推论推论推论推论2 2设是矩阵，如果则齐次线性方程组则齐次线性方程组的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础解系。的解向量均可构成基础解系。18第18页，本讲稿共33页例2设 ,是 的两个不同的解向量,k 取任意实数,则 Ax=0 的通解是19第19页，本讲稿共33页设 ,证明证证记则由说明都是的解因此移项重要结论重要结论重要结论重要结论推论推论推论推论3 320第20页，本讲稿共33页且线性无关，则且线性无关，则_是是AX=O的基础解系。的基础解系。(2),(3)则则_

9、可为可为AX=O的基础解系。的基础解系。(4)练习练习练习练习(1)(2)21第21页，本讲稿共33页例3证明设 ,首先证明利用这一结论证重要结论重要结论重要结论重要结论22第22页，本讲稿共33页例4求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知的 A 放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成 的列(A 的行)即可.解 得基础解系设所求的齐次方程组为 ,则取即可.解23第23页，本讲稿共33页第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方

10、程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理第24页，本讲稿共33页4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里25第25页，本讲稿共33页性质性质性质性质性质性质(1 1)设设 都是都是(1)的解的解,则则是(2)的解.(2 2)设设 是是(1)的解的解,是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设 是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解 x是(2)的解,从而存在 使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得

11、由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。注：非齐次方程组的解集不是空间。26第26页，本讲稿共33页定理定理定理定理4.3.14.3.1设 是(1)的任一解,则(1)的通解为例5解解27第27页，本讲稿共33页在对应的齐次方程中取得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解28第28页，本讲稿共33页设是非齐次方程组 Ax=b 的解,则是 Ax=0 的解是 Ax=b 的解例629第29页，本讲稿共33页例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取 ,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为30第30页，本讲稿共33页自学书P.144-145 例2、3、5。31第31页，本讲稿共33页第四章第四章线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理第32页，本讲稿共33页4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用33第33页，本讲稿共33页