第七章 空间解析几何曲面优秀课件.ppt

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1、第七章 空间解析几何曲面第1页，本讲稿共53页一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按由三条互相垂直的数轴按右手规则右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第2页，本讲稿共53页向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 :有序数组有序数组(称为点称为点

2、M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);第3页，本讲稿共53页例例1.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点等距等距解解:设该点为设该点为解得解得故所求点为故所求点为及及离的点离的点.2、空间两点间的距离公式、空间两点间的距离公式:第4页，本讲稿共53页提示提示:(1)设动点为设动点为利用利用得得(2)设动点为设动点为利用利用得得且且思考思考:(1)如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?第5页，本讲稿共53页二、曲面及其方程二、曲面及其方程求到两定点求到两定点

3、A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程.1、曲面方程的概念、曲面方程的概念第6页，本讲稿共53页定义定义.如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程,曲面曲面 S 叫做叫做方程方程 F(x,y,z)=0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题 :

4、(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状第7页，本讲稿共53页坐标轴坐标轴:坐标面坐标面:2、常见的曲面方程、常见的曲面方程第8页，本讲稿共53页故所求方程为故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示表示上上(下下)球面球面.第9页，本讲稿共53页例例

5、2.研究方程研究方程解解:配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明:都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面.表示表示怎样怎样半径为半径为的的球面球面.球心为球心为 一个一个球面球面,或或点点,或或虚轨迹虚轨迹.第10页，本讲稿共53页3、柱面的方程、柱面的方程引例引例.分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面.的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解:在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C,沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直

6、线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面在圆在圆C上任取一点上任取一点 第11页，本讲稿共53页定义定义.平行定直线平行定直线 l 并沿定曲线并沿定曲线 C 移动的直线形成移动的直线形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的轴的平面平面.表示母线平行于表示母线平行于(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.第12页，本讲稿共53页一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴

7、轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2.母线母线第13页，本讲稿共53页斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形指出下列方程的

8、图形:第14页，本讲稿共53页定义定义2.一条平面曲线一条平面曲线三、旋转曲面三、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:第15页，本讲稿共53页建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面的方程轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到第16页，本讲稿共53页旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入第17页，本讲稿

9、共53页思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？第18页，本讲稿共53页例例3.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方第19页，本讲稿共53页例例4.求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做

10、旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为第20页，本讲稿共53页四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)第21页，本讲稿共53页1 1.椭球面椭球面(1)范围：范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆第22页，本讲稿共53页与与的交线为椭圆：的交

11、线为椭圆：(4)当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;同样同样的截痕的截痕及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.(3)截痕截痕:为正数为正数)第23页，本讲稿共53页2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）第24页，本讲稿共53页3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）第25页，本讲稿共53页虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）时时,截痕为截痕为时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴

12、平行于z 轴轴;相交直线相交直线:双曲线双曲线:第26页，本讲稿共53页(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面第27页，本讲稿共53页4.椭圆锥面椭圆锥面椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线.可以证明可以证明,椭圆椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上上任一点与原点的连线均在曲面上.第28页，本讲稿共53页第29页，本讲稿共53页第30页，本讲稿共53页第31页，本讲稿共53页第32页，本讲稿共53页第33页，本讲稿共53页第34页，本讲稿共53页第35页，本讲稿共53页第36页，本讲稿共53页第37页，本讲稿共53页第38页，本讲稿共53页第39页，本讲稿共53页第40页，本讲稿共53页第41页，本讲稿共53页第42页，本讲稿共53页第43页，本讲稿共53页第44页，本讲稿共53页第45页，本讲稿共53页第46页，本讲稿共53页第47页，本讲稿共53页第48页，本讲稿共53页第49页，本讲稿共53页第50页，本讲稿共53页第51页，本讲稿共53页第52页，本讲稿共53页练习练习:在在 xoy 面上面上 第53页，本讲稿共53页